A história da ciência é a história da eliminação gradual de deuses e demônios e da transformação de noções vagas sobre luz, som, força, processos químicos e outros fenômenos em números e relações quantitativas. (KLINE, 1959, p. 180).
Indagar-se sobre a historicidade da matematização da física é uma tarefa longe de ser trivial, uma vez que se trata de uma questão tão antiga quanto a própria filosofia7. Apesar de ser possível localizar no século XVII as origens do que conhecemos hoje como física, debates sobre a aplicabilidade do pensamento matemático para a compreensão dos fenômenos naturais remontam à antiguidade clássica8. Sendo assim, longe de objetivarmos um estudo detalhado e cronológico na presente seção, optamos por recorrer a alguns trabalhos9 que destacaram aspectos e momentos importantes do extenso e conturbado processo histórico de matematização da física.
A obra do epistemólogo francês Michel Paty contém uma vasta análise de diversos episódios desse processo. Em um de seus principais artigos sobre o tema (PATY, 2003), o autor faz uma reflexão histórica sobre a noção de grandeza física, apontando como a mesma está inicialmente associada a qualidades e vai gradativamente se transformando em quantidades. Adicionalmente, Paty mostra de que maneira a noção tradicional de grandezas físicas, como quantidades expressas numericamente e medidas experimentalmente, foi sendo estendida para priorizar aspectos relacionais e estruturais. Segundo ele, essa análise é fundamental para entendermos as razões do privilégio dado à matematização para a construção de conceitos e teorias em física.
Esse resgate histórico inicia-se na antiguidade, em especial na obra de Aristóteles, onde a ideia de grandeza física era essencialmente associada a qualidades que poderiam ser diferenciadas por níveis de intensidade, mas sempre de maneira qualitativa. Um importante movimento na direção da quantificação ocorre na idade média, com os escolásticos das
7 “Não existe nenhuma outra questão que tenha sido fonte de tão belas e nobres especulações como a indagação
se o uso da matemática nas ciências físicas, como um instrumento de prova e um meio de demonstração, é oportuno ou não; em outras palavras se ele traz benefícios ou se é perigoso e prejudicial” (MAZZONI, 1597 apud KOYRÉ, 1943, p. 420).
8 “É muito bem sabido que Platão acreditava que a matemática era particularmente apropriada para
investigações físicas, sendo essa a razão pela qual ele mesmo tenha recorrido a ela para explicar os mistérios do universo físico. Mas Aristóteles tinha uma visão diferente e explicou os erros de Platão por seu grande apego à matemática” (MAZZONI, 1597 apud KOYRÉ, 1943, p. 420-21). Considere, ainda, a crença da escola pitagórica sobre a essência matemática do mundo, os trabalhos de Arquimedes, o desenvolvimento da óptica, da astronomia, entre outros exemplos (um abrangente estudo sobre o tema é encontrado em Bochner (1981)).
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17 universidades de Oxford e Paris, quando os mesmos começam a analisar a variação temporal da “qualidade do movimento” e inventam o conceito de impetus10.
O caminho rumo à quantificação passa pelos trabalhos de Galileu11, o qual tem um papel importante para a inserção do tempo12 como conceito (quantidade) fundamental para o estudo quantitativo do movimento. De fato, existe muito mais na obra de Galileu do que uma interpretação superficial de sua famosa citação “a matemática é a linguagem do universo”13 possa sugerir.
Na verdade a abordagem de Galileu ao problema da queda dos corpos, por exemplo, é muito semelhante à atitude de um matemático. Primeiramente, ele se propõe a fornecer “somente” uma descrição quantitativa do movimento, em vez de buscar uma explicação causal para o mesmo. A relação entre distância percorrida e tempo, a qual podemos escrever na notação atual como d = k.t2, generaliza de maneira compacta uma quantidade infinita de informações precisas. Porém, como aponta Kline (1959), essa fórmula “não diz nada sobre o porquê uma bola cai nem se outras bolas caíram no passado ou se continuarão caindo no
10 Naturalmente, a contribuição dos escolásticos para a matematização da ciência é muito mais ampla e
complexa do que esta breve menção (CLAGETT, 1959; GRANT, 1977; LINDBERG, 1980). Porém, um aprofundamento sobre o tema foge aos objetivos desta pesquisa.
11 Ao citarmos a obra de como um importante exemplo histórico de uma abordagem matemática para a
investigação da natureza, não temos a intenção de defender que o mesmo foi o único responsável por adotar tal postura, ou seja, acreditamos ser importante combater distorções históricas que apresentam o desenvolvimento da ciência como “incríveis feitos de gênios isolados”. De fato, muitos historiadores mostraram que diversos conceitos encontrados nas publicações de Galileu já estavam presentes em estudos anteriores como nos trabalhos dos pensadores do Merton College, conforme destaca Truesdell (1968, p. 30): “Pesquisas recentes nos provam que as principais propriedades cinemáticas dos movimentos uniformemente acelerados, ainda atribuídas a Galileu em livros-texto de física, foram descobertas e comprovadas por estudiosos do Merton College – William Heytesbury, Richard Swineshead e John of Dumbleton – entre 1328 e 1350. Seus trabalhos distinguiram a cinemática – geometria do movimento – da dinâmica – a teoria das causas do movimento. Suas abordagens eram matemáticas. Eles conseguiram formular um conceito bastante claro de velocidade instantânea, o que significa que prefiguraram os conceitos de função e derivada, e mostraram que o espaço percorrido por um móvel em movimento uniformemente acelerado em um determinado tempo é o mesmo que o percorrido por um movimento uniforme cuja velocidade é a média das velocidades maiores e menores do movimento acelerado. Em princípio, as qualidades da física grega foram substituídas, pelo menos para os movimentos, por quantidades numéricas que têm governado a ciência ocidental desde então. Este trabalho foi rapidamente difundido em França, Itália e outras partes da Europa. Quase imediatamente, Giovanni da Casale e Nicole Oresme encontraram uma forma de representar os resultados por gráficos geométricos, introduzindo a conexão entre a geometria e o mundo físico que se tornou um hábito característico do pensamento ocidental”. Sendo assim, fazemos menção à obra de Galileu nesta seção com o objetivo caracterizar elementos desse olhar matemático para o mundo e também porque encontramos na mesma diversos exemplos claros dessa “nova” maneira de investigar a natureza. Novamente, um resgate histórico mais detalhado foge aos objetivos de nosso trabalho.
12 De maneira retrospectiva, podemos perceber a importância da quantificação do tempo ao notarmos que
inúmeras leis fundamentais da física são evolutivas, ou seja, são representadas por equações diferenciais nas quais o tempo é a variável independente e suas soluções são funções temporais de outras grandezas.
13 “A filosofia está escrita neste grande livro que está sempre aberto diante de nós: refiro-me ao universo; mas o
mesmo não pode ser lido antes de termos aprendido a sua linguagem e de nos termos familiarizado com os caracteres em que está escrito. Ele está escrito em linguagem matemática e as letras são triângulos, círculos e outras figuras geométricas, sem as quais é humanamente impossível entender uma só palavra; sem estes meios vagamos num obscuro labirinto” (GALILEI [1623], 1983).
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futuro. Ela fornece somente uma informação quantitativa sobre como uma bola cai” (p. 179). Apesar de parecer uma limitação quando comparada a formulações mais explicativas, essa mudança de foco para descrições quantitativas influenciou sobremaneira o desenvolvimento da ciência moderna.
Outro aspecto importante do caráter matemático da obra de Galileu é a semelhança de sua linha de argumentação com o estilo encontrado em clássicos da matemática como os Elementos de Euclides. Tal modelo consiste em demonstrar proposições a partir de definições e axiomas utilizando uma linguagem geométrica. Os axiomas ou princípios fundamentais no caso de físicos como Galileu, Newton e d’Alembert, são obtidos através de um complexo misto de observação, experimentação, formulação de hipóteses, argumentos racionais e a crença de que a natureza é simples, ordenada e regida por leis.
Porém, tal ordem não é facilmente encontrada num primeiro olhar para os fenômenos naturais. Se observarmos quedas de corpos de diferentes formas, tamanhos e massas, certamente não identificaremos qualquer tipo de padrão ou regularidade. Dessa forma, Galileu fez uma série de abstrações e idealizações para atingir a essência dos fenômenos naturais por ele estudados. Segundo Kline (1959), “essa atitude é precisamente a mesma que o matemático adota quando estuda figuras geométricas. Ele elimina suas estruturas moleculares, cores, espessuras, cheiros para ser capaz de investigar as propriedades básicas dessas figuras” (p. 176). Assim, através do exercício intelectual (experiências de pensamento) de eliminar o atrito, a resistência do ar e desconsiderar irregularidades nas formas dos corpos, Galileu adotou uma postura semelhante à de um matemático para estudar as grandezas essenciais do movimento e selecionar aquelas que seriam passíveis de quantificação. Um exemplo emblemático desse processo de idealização é encontrado em sua investigação sobre as leis básicas do movimento do pêndulo14.
A defesa da legitimidade de se investigar a natureza por meio do pensamento matemático é, segundo o historiador Alexander Koyré (1892-1964), o cerne da principal obra de Galileu:
[...] é o direito à ciência matemática, à explicação matemática da natureza, em oposição àquela não-matemática do senso comum e da física aristotélica, muito mais do que a oposição entre dois sistemas astronômicos, que constitui o tema central dos Diálogos sobre dois máximos sistemas do mundo. De fato o Diálogos é muito mais uma obra de filosofia do que de ciência pela simples razão de que a solução do problema astronômico dependia da constituição de uma nova física; que por sua vez implicava na solução do problema filosófico
14 Para uma análise detalhada sobre aspectos históricos, filosóficos e pedagógicos dos estudos sobre o
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da aplicabilidade da matemática na constituição da ciência da natureza. (KOYRÉ, 1943, p. 419)
Em sua análise histórica sobre o processo de transformação da noção de grandeza física, e consequentemente sobre a legitimação da matematização da física, Paty (2003) dá um papel de destaque para as contribuições do pensamento de Descartes. De fato, no início de suas “Regras para a direção do espírito”, Descartes defende a importância de um método para a emissão de “juízos sólidos e verdadeiros” sobre todas as investigações do espírito humano. Na Regra IV ele explicita sua crença na superioridade e segurança do pensamento matemático para tais investigações, concebendo a noção de matemática universal (mathesis universalis):
Refletindo mais atentamente, pareceu-me por fim óbvio relacionar com a Matemática tudo
aquilo em que apenas se examina a ordem e medida, sem ter em conta se é em números,
figuras, astros, sons, ou em qualquer outro objeto que semelhante medida se deve procurar; e, por conseguinte, deve haver uma ciência geral que explique tudo o que se pode investigar acerca da ordem e da medida, sem as aplicar a uma matéria especial: esta ciência designa-se pelo vocábulo já antigo e aceito pelo uso de Matemática universal, porque esta contém tudo o que contribui para que as outras ciências se chamem partes da Matemática. (DESCARTES [1628], 2002, p. 7, grifo nosso).
Dessa forma, a física, como uma tentativa de compreender os fenômenos do mundo deveria, por princípio, adotar a maneira matemática de pensar. Isso implica em abstrair conceitos supérfluos e selecionar variáveis relevantes para o entendimento de fenômenos, conforme fica evidente na seguinte passagem da Regra XIII:
[...] se me pergunta a minha opinião sobre a natureza do som, atendendo precisamente a estes três fatos: três cordas A, B, C, produzem o mesmo som e, entre elas, B é, por hipótese, duas vezes mais grossa que A, sem ser mais comprida mas esticada por um peso duas vezes mais pesado, ao passo que C não é mais grossa que A, mas apenas duas vezes mais comprida e esticada por um peso quatro vezes mais pesado, etc. Percebe-se assim facilmente como é que
todas as questões imperfeitas se podem reduzir às perfeitas. Vê-se também como é preciso
observar esta regra para que uma dificuldade bem compreendida seja abstraída de todo o
conceito supérfluo e reduzida a uma forma tal que já não tenhamos o pensamento ocupado
neste ou naquele assunto em particular, mas apenas em comparar certas grandezas entre
si. (DESCARTES [1628], 2002, p. 26, grifo nosso).
É na Regra XIV que encontramos uma definição de grandeza como sendo “a extensão real do corpo abstraída de todo o resto” e uma criteriosa descrição dos conceitos de dimensão, medida, unidade e figura. Portanto, para Descartes, a física, sendo uma ciência que estuda relações entre grandezas (ordem e medida) sujeitas a proporções, não pode prescindir do uso da matemática em seus métodos.
Na tentativa de localizar momentos relevantes para a matematização da física, a publicação dos “Princípios matemáticos da filosofia natural” por Newton em 1687 é, indiscutivelmente, um marco importante. Em seu artigo “O que a matemática fez com a
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física?”, Gingras (2001) apresenta um interessante estudo que cobre um período de aproximadamente dois séculos, tendo como ponto de partida a publicação dos Principia de Newton. Segundo Gingras, essa análise evidencia três principais consequências da matematização da física:
1 – Social: O uso da matemática teve o efeito de excluir atores da participação legítima nos discursos de filosofia natural, uma vez que contribuiu para a criação de uma ciência privada, na qual só os que possuem um adequado conhecimento de matemática podem participar. 2 – Epistemológica: A matematização da física mudou o próprio significado do termo explicação. A necessidade de explicar por meio de mecanismos físicos foi gradualmente substituída por formulações matemáticas estruturadas logicamente.
3 – Ontológica: A matematização contribuiu para o “desaparecimento de substâncias” como vórtices, fluidos, éteres ou o calórico. O tratamento teórico cada vez mais abstrato fez com que essas imagens concretas se tornassem obsoletas e desnecessárias.
Em relação à consequência social, são particularmente interessantes os inúmeros protestos contrários à matematização da física citados por Gingras ao longo do artigo. Um dos principais argumentos dos opositores à aplicação da matemática ao estudo da natureza está associado à imprecisão dos fenômenos naturais. Esse argumento, já presente em Aristóteles15, fica evidente nas críticas apresentadas pelo físico e matemático francês Joseph Privat de Molières (1677-1742) quando o mesmo defende que “princípios físicos não são tão precisos quando aplicados aos fenômenos” (1733, apud GINGRAS, 2001, p. 389) e também no alerta do físico experimental francês Jean-Antoine Nollet (1700-1770) ao mencionar que “é perigoso que um físico desenvolva muito gosto por geometria, pois em física nunca encontramos nem precisão nem certeza” (apud GINGRAS, 2001, p. 389).
Outro forte argumento contrário à matematização é que a mesma provoca uma drástica redução no número de atores em condições de participarem da construção da ciência. Isso ia de encontro, por exemplo, às convicções do matemático e filósofo francês Louis- Bertrand Castel (1688-1757), o qual defendia que a filosofia natural deveria “ser acessível ao homem comum e portanto não somente a matemática superior, mas também experimentos não facilmente reprodutíveis deveriam ser excluídos dos métodos científicos aceitáveis” (GINGRAS, 2001, p. 391). Reações contrárias à tal exclusão provocada pela metodologia
15 “[…] a precisão da matemática não deve ser demandada em todos os casos, mas somente nos casos de coisas
que não são materiais. Assim, seu método não é o método da ciência natural.” (ARISTÓTELES apud GINGRAS, 2001, p. 389).
21 adotada no trabalho de Newton também são encontradas na argumentação de M. Massière16: “parte da filosofia de Newton que concerne o movimento dos planetas consiste puramente de cálculos [...] para mim, que não sou um calculista, preciso admitir que me sinto revoltado com esse novo tipo de filosofia” (1759, apud GINGRAS, 2001, p. 394).
Gingras ilustra o “ressentimento dos excluídos” com curiosos relatos que evidenciam não somente um tom de indignação, mas também de extrema ironia. Ainda em 1826, numa tentativa de explicar a gravitação em termos mecânicos, J. Mangin manifesta sua reprovação às abordagens descritivas newtonianas:
Reconheço que todos os cálculos analíticos dos defensores do sistema de atração são
plenamente capazes de assustar muitos leitores, mas ainda é verdade que esses cálculos são
apenas baseados em suposições, uma vez que a causa física da atração é desconhecida. (MANGIN, 1826, apud GINGRAS, 2001, p. 395, grifo nosso)17.
Dentre as manifestações de revolta mais inusitadas, encontramos a do conde Bernard Germaine de Lacépède (1756-1825):
[...] seguindo o exemplo do grande Newton, vou envolver minhas hipóteses com mantos
geométricos e algébricos para torná-las invisíveis aos olhos e críticas dos não iniciados.
Se alguém criticar tal obscuridade, citarei d’Alembert e outros que modestamente admitem a existência proposições na obra prima do grande filósofo inglês que não são acessíveis até para os mais competentes geômetras. (LACÉPÈDE, 1784 apud GINGRAS, 2001, p. 394, grifo nosso).
A menção a d’Alembert reflete a posição do físico e matemático francês como um dos principais defensores da matematização da física. Essa defesa fica evidente no trecho a seguir:
[...] é tarefa dos cálculos confirmar a existência dessas causas [gravitação] através da determinação exata dos efeitos produzidos e da comparação de tais efeitos com resultados experimentais. [...] não é suficiente que um sistema satisfaça o fenômeno apenas de maneira vaga e geral, ou que forneça explicações plausíveis para alguns deles: os detalhes e os
cálculos precisos são decisivos; somente eles podem dizer se podemos adotar, rejeitar ou modificar uma hipótese. (D’ALEMBERT, 1749 apud GINGRAS, 2001, p. 392-93, grifo
nosso).
Assim, Gingras defende que a matemática contribuiu para o surgimento de uma ciência privada (em oposição a pública), acessível somente àqueles que possuem treinamento adequado. Os não integrantes, tendo que se contentar com um entendimento superficial do que realmente estava acontecendo, não poderiam mais ser considerados participantes dessa comunidade. Para d’Alembert, a era da física verbal (ou literal) estava acabada, pelo menos no que concerne o sistema newtoniano (p. 393).
16 M. Massière, Réflexions critiques sur le système de l’attraction (Nice, 1759), p. v.
17 J. Mangin, Le tombeau de l’attraction universelle ou démonstrations incontestables de la fausseté du système
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Se o trabalho de Newton é um marco na direção da matematização da mecânica, em outros campos como estudos sobre o calor, eletricidade e magnetismo, personagens com abordagens puramente qualitativas e experimentais ainda encontram espaço até meados do século XIX. Porém, seguindo a tradição newtoniana, era uma questão de tempo para que os trabalhos de Fourier para o calor e de Maxwell para o eletromagnetismo dessem uma formulação matemática a essas teorias. No último caso, Gingras cita a reação de Michael Faraday (1791-1867) ao tratamento matemático dado por James Clerk Maxwell (1831-1879) às suas intuições: “inicialmente eu fiquei quase assustado quando vi tal força matemática tomar conta do tema”. Com ares semelhantes aos ressentimento de exclusão previamente citados, Faraday questiona Maxwell:
Existe algo que eu gostaria muito de lhe perguntar. Quando um matemático que se engaja em investigar ações e resultados físicos chega em suas conclusões, não poderiam estas serem expressas em linguagem comum de maneira clara, completa e definitiva ao invés de por meio de fórmulas matemáticas? (FARADAY, 1852 apud GINGRAS, 2001, p. 397).
Em uma de suas aulas inaugurais, Maxwell, que havia sido formado na tradição newtoniana, revela sua concepção sobre o fazer ciência argumentando que “a filosofia natural é, e precisa ser, matemática, isto é, a ciência na qual leis que relacionam quantidades são tratadas de acordo com princípios do raciocínio rigoroso” (MAXWELL, 1852, apud GINGRAS, 2001, p. 397).
As citações de Maxwell e d’Alembert ilustram o que Gingras chamou de consequência epistemológica da matematização da física, uma vez que a própria concepção sobre o que seria considerado aceitável como uma explicação física foi alterada. Segundo o autor, explicações que envolviam mecanismos físicos – como os vórtices de Descartes, as engrenagens de Maxwell ou as diferentes tentativas de explicação da gravitação através de modelos mecânicos – foram sendo gradualmente substituídas por formulações matemáticas.
Naturalmente, Gingras deixa claro que esse processo não se deu de maneira harmoniosa e unânime. Estudioso dos Principia, Louis-Bertrand Castel faz questão de enfatizar critérios de demarcação defendendo a tese de que o que Newton fez não é física. Para ele, a física se ocupa de promover explicações mecânicas (associadas a mecanismos), tarefa esta bastante distinta dos objetivos de um geômetra. Nos trechos a seguir (CASTEL, 1753 apud GINGRAS, 2001, p. 400-01, grifos nossos), Castel apresenta uma empenhada, e até certo ponto agressiva, defesa dessa tese:
“Para Newton, pensar e calcular, raciocinar e calcular, filosofar e calcular são todos sinônimos”
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“Na verdade, permitam-me dizer, com o extremo respeito que é preciso ter por Newton, que
só existe geometria em seu sistema e que a boa física irá desaparecer se o deixarmos continuar. [...] Eu admiro seu raciocínio geométrico profundo, mas não há uma só palavra de raciocínio físico em sua obra”.
“Geometria é geometria somente através da simplicidade abstrata de seu objeto. Apenas isso