HOVEDVASSDRAGET 2013
Vedlegg 7: Metode trendanalyser: korreksjon for uteliggere
quena frac¸c˜ao dessa radia¸c˜ao, vinda do interior da cavidade incide sobre o orif´ıcio e vai atravess´a-lo. Portanto o orif´ıcio funciona como emissor de radia¸c˜ao t´ermica e como ele tem as propriedades do corpo negro, a radia¸c˜ao emitida por ele deve ter um espectro de corpo negro. Mas como o orif´ıcio est´a apenas a deixar passar para fora uma pequena amostra da radia¸c˜ao do interior da cavidade, ´e natural que a radia¸c˜ao dentro dela tamb´em tenha o espectro de corpo negro. De facto, ela ter´a um espectro de corpo negro caracter´ıstico da temperatura T das suas paredes. O espectro de radia¸c˜ao emitido pelo orif´ıcio na cavidade pode ser especificado em termos de um fluxo de energia (RT(ν)). No entanto, ´e mais ´util especificar
o espectro da radia¸c˜ao dentro da cavidade, chamada radia¸c˜ao de cavidade, em termos de uma densidade de energia, ρT(ν), que ´e definida como a energia contida
por unidade de volume da cavidade, `a temperatura T , no intervalo de frequˆencia de ν a ν + dν. ´E evidente que as duas quantidades s˜ao proporcionais entre si, isto ´e:
ρT(ν) ∝ RT(ν) (2.6)
Portanto, a radia¸c˜ao dentro da cavidade cujas paredes est˜ao a uma tempera- tura T tem as mesmas propriedades que a radia¸c˜ao emitida pela superf´ıcie de um corpo negro `a temperatura T .
2.2
A teoria cl´assica da radia¸c˜ao do corpo negro
No in´ıcio deste s´eculo, Rayleigh e Jeans fizeram o c´alculo da densidade de energia da radia¸c˜ao de uma cavidade, o qual mostrou uma s´eria divergˆencia entre a f´ısica cl´assica e os resultados experimentais. Os c´alculos de Rayleigh e Jeans basearam-se no seguinte: Consideraram uma cavidade com paredes met´alicas aquecidas uniformemente a uma temperatura T , para que as suas paredes emi- tam radia¸c˜ao t´ermica. Quando o equil´ıbrio t´ermico ´e atingido a radia¸c˜ao con- tida na cavidade tem o espectro caracter´ıstico do corpo negro `a temperatura T . Como se poder´a constatar mais adiante, no regime permanente, a radia¸c˜ao elec- tromagn´etica dentro da cavidade dever´a existir na forma de ondas estacion´arias com n´os (pontos em que a amplitude da onda ´e nula) nas superf´ıcies met´alicas. Rayleigh e Jeans calcularam o n´umero de ondas estacion´arias com n´os nas su- perf´ıcies da cavidade e com comprimento de onda contido no intervalo de λ a λ + dλ. Depois calcularam a energia m´edia dessas ondas. A energia de uma onda depende da temperatura e ´e avaliada a partir da teoria da mecˆanica estat´ıstica. O n´umero de ondas estacion´arias no intervalo de comprimentos de onda consi- derado vezes a energia m´edia dessas ondas, dividido pelo volume da cavidade ´e igual `a energia m´edia por unidade de volume, no intervalo de comprimentos de onda de λ a λ + dλ.Se se assumir que a cavidade met´alica cheia de radia¸c˜ao electromagn´etica tem a forma de um cubo perfeito com comprimento de lado igual a a conforme mostra a figura 2.3, a radia¸c˜ao reflectida de um lado para o outro entre as paredes pode
ser dividida em trˆes componentes ao longo das trˆes direc¸c˜oes perpendiculares definidas pelas arestas da cavidade. Como as paredes opostas s˜ao exactamente sim´etricas, as trˆes componentes da radia¸c˜ao n˜ao se misturam e podem ser trata- das separadamente. Se se considerar a componente segundo x e a parede met´alica em x = 0, toda a radia¸c˜ao segundo esta componente que incide na parede ´e re- flectida por esta e as ondas incidente e reflectida combinam-se para formar uma onda estacion´aria. Mas como a radia¸c˜ao electromagn´etica ´e uma vibra¸c˜ao trans- versal com o vector campo el´ectrico E perpendicular `a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao, e como a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao ´e perpendicular `a parede em quest˜ao, o seu vector campo el´ectrico ´e paralelo `a parede. Mas uma parede met´alica n˜ao pode suportar um campo el´ectrico paralelo `a sua superf´ıcie, j´a que isso produziria uma corrente el´ectrica no sentido de anular tal campo. Portanto o vector campo el´ectrico deve ser nulo nas paredes, ou seja, a onda estacion´aria associada `a componente se- gundo x deve ter um n´o em x = 0 e outro em x = a. As outras componentes segundo y e z , pelas mesmas raz˜oes tamb´em tˆem n´os em y = 0, y = a; z = 0 e z = a. Estas condi¸c˜oes colocam limita¸c˜oes nos comprimentos de onda poss´ıveis da radia¸c˜ao contida na cavidade. Para determinar esta limita¸c˜ao, se a radia¸c˜ao
PSfrag replacements z z = a x x = a y
Figura 2.3: Uma cavidade c´ubica cheia de radia¸c˜ao electromagn´etica
de comprimento de onda λ e frequˆencia ν = c/λ, se propagar na direc¸c˜ao definida pelos ˆangulos α, β e γ, tal como mostra a figura 2.4, e for uma onda estacion´aria, ent˜ao as suas componentes segundo x, y e z tamb´em s˜ao ondas estacion´arias. Na figura 2.4 est˜ao indicadas algumas localiza¸c˜oes dos n´os fixos desta onda esta- cion´aria onde se fez passar em cada um deles um plano perpendicular `a direc¸c˜ao de propaga¸c˜ao. A distˆancia entre eles ´e de λ/2, onde λ ´e o comprimento da onda. Como se pode ver, os n´os das componentes segundo x, y e z podem ser dados por: λx/2 = λ/2 cos(α) λy/2 = λ/2 cos(β) λz/2 = λ/2 cos(γ) (2.7)
2.2. A teoria cl´assica da radia¸c˜ao do corpo negro
As express˜oes do campo el´ectrico segundo os trˆes eixos s˜ao as seguintes:
E(x, t) = A. sin(2πx/λx) sin(2πνt)
E(y, t) = B. sin(2πy/λy) sin(2πνt)
E(z, t) = C. sin(2πz/λz) sin(2πνt)
(2.8)
A express˜ao para a componente x representa uma onda com uma amplitude m´axima de A, com varia¸c˜oes espaciais de sin(2πx/λx) e que oscila `a frequˆencia
ν. Como sin(2πx/λx) se anula para 2x/λx = 0, 1, 2, 3, . . ., trata-se de uma onda
estacion´aria cujo comprimento de onda ´e λx, uma vez que tem n´os separados
por uma distˆancia de ∆x = λx/2. As express˜oes para y e z representam ondas
estacion´arias de amplitudes m´aximas B e C e comprimentos de onda λy e λz
respectivamente, mas todas as componentes oscilam com a frequˆencia ν. ´E de notar que as express˜oes anteriores automaticamente satisfazem a condi¸c˜ao de que a componente x tenha um n´o em x = 0, a componente y em y = 0 e a componente z em z = 0. Para fazer com que satisfa¸cam a condi¸c˜ao de que a componente x tenha um n´o em x = a, a componente y em y = a e a componente z em z = a, ´e necess´ario que: 2x/λx = nx para x = a 2y/λy = ny para y = a 2z/λz = nz para z = a ou seja: 2a/λx = nx 2a/λy = ny 2a/λz = nz (2.9) onde nx = 0, 1, 2, 3, . . .; ny = 0, 1, 2, 3, . . .; nz = 0, 1, 2, 3, . . . PSfrag replacements x y z λz / 2 λz / 2 λ/2 λ/2 λy/2 λy/2 λx/2 λx/2 Direc¸ c˜ao da onda estacion´ aria
Figura 2.4: Planos nodais de uma onda estacion´aria que se propaga numa certa direc¸c˜ao na cavidade c´ubica
Se se resolver a equa¸c˜ao 2.7 em ordem a λx, λy e λz para de seguida os seus
valores serem substitu´ıdos na equa¸c˜ao 2.9, esta fica:
2a/λ cos(α) = nx 2a/λ cos(β) = ny 2a/λ cos(γ) = nz (2.10)
o que, elevadas ao quadrado e somadas, resultam na equa¸c˜ao 2.11:
2a
λ
2
cos2α + cos2β + cos2γ= n2x+ n2y+ n2z : (2.11) Mas os ˆangulos α, β e γ tˆem a propriedade de:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1, logo: 2a λ = q n2 x+ n2y+ n2z
onde nx, ny e nz podem tomar qualquer valor inteiro. Esta equa¸c˜ao descreve a
limita¸c˜ao nos comprimentos de onda poss´ıveis para a radia¸c˜ao electromagn´etica contida na cavidade.
A partir daqui ´e conveniente continuar a discuss˜ao em termos de frequˆencias poss´ıveis em vez de comprimentos de onda.
ν = c λ = c 2a q n2 x + n2y+ n2z (2.12)
A partir deste ponto ainda ´e necess´ario contar o n´umero de frequˆencias conti- das num intervalo de ν a ν +dν. Para isso ´e necess´ario definir uma grelha de forma c´ubica desenhada no primeiro octante de um sistema de coordenadas rectangular, de tal modo que as trˆes coordenadas de cada ponto da grelha correspondam a um poss´ıvel valor para os trˆes inteiros nx, ny e nz. Por constru¸c˜ao, cada ponto da
grelha corresponde a uma frequˆencia, portanto o n´umero de frequˆencias poss´ıveis entre ν e ν + dν (N (ν)dν) ´e igual a N (r)dr, o n´umero de pontos contidos entre volumes de forma esf´erica de raio r e r + dr respectivamente, onde
r = qn2
x+ n2y+ n2z,
ou seja, a partir da equa¸c˜ao 2.12:
r = 2a
c ν (2.13)
Ent˜ao N (r)dr ´e igual ao volume entre as esferas vezes a densidade de pontos da grelha, que por constru¸c˜ao ´e de um ponto por unidade de volume, ou seja, um ponto por frequˆencia de onda estacion´aria.
2.2. A teoria cl´assica da radia¸c˜ao do corpo negro
O elemento de volume em coordenadas cartesianas ´e dada por: dV = dx.dy.dz
em que dx, dy e dz s˜ao os deslocamentos elementares segundo x, y e z. Se se usar um referencial em coordenadas esf´ericas 1 (r, θ e φ), o elemento de volume
´e dado por:
dV = r2sin(φ).dr.dφ.dθ
Para calcular o volume elementar entre as duas esferas ´e necess´ario integrar a express˜ao anterior no primeiro octante:
N (r)dr = π 2 Z 0 π 2 Z 0 r2sin(φ).dφ.dθ.dr
e como resultado obtˆem-se que:
N (r)dr = π 2r
2dr (2.14)
A partir da equa¸c˜ao 2.13 pode ser calculado o valor de dr que ´e igual a 2a cdν,
logo a express˜ao final de N (ν)dν ´e a seguinte: N (ν)dν = π
2a
c
3
ν2dν (2.15)
Com isto fica conclu´ıdo o c´alculo do n´umero de ondas estacion´arias contidas numa cavidade c´ubica de comprimento de aresta igual a a, no entanto o resultado da equa¸c˜ao 2.15 vem multiplicado por dois j´a que, considerando uma radia¸c˜ao segundo o eixo dos xx, por exemplo, o seu vector campo el´ectrico, tendo uma direc¸c˜ao perpendicular, pode tomar qualquer direc¸c˜ao entre os eixos yy e zz. A amplitude da radia¸c˜ao pode ser escrita da seguinte forma:
A =qA2
yy + A2zz
Se for considerado que o n´umero de radia¸c˜oes ´e suficientemente elevado, pode-se dizer que em m´edia Ayy = Azz, o que faz que a amplitude m´edia das
radia¸c˜oes possa ser dada por:
A =√2Ayy
Sabendo que a energia de uma radia¸c˜ao ´e dada pelo quadrado da sua am- plitude, essa energia ser´a ent˜ao de 2A2
yy, o que significa que se pode multiplicar
o n´umero de ondas por um factor dois e calcular de seguida o valor da energia m´edia de cada componente da radia¸c˜ao.
1
A descri¸c˜ao detalhada de como se pode calcular o elemento de volume em coordenadas esf´ericas pode ser visto em [Simm 85].
Sendo conhecido o n´umero de ondas estacion´arias contidas na cavidade, agora s´o ´e necess´ario saber qual ´e a energia m´edia de cada onda para que seja poss´ıvel calcular a densidade de energia, por unidade de volume, num certo intervalo de frequˆencias.
Mas segundo a teoria cin´etica cl´assica, mais concretamente segundo a lei da equiparti¸c˜ao da energia, a energia cin´etica m´edia de uma entidade em equil´ıbrio t´ermico `a temperatura T ´e de kT /2 por grau de liberdade, onde k = 1.38 × 10−23
J/K ´e a constante de Boltzmann. Como cada uma das ondas estacion´arias tem apenas um grau de liberdade, a amplitude do seu campo el´ectrico, a sua energia cin´etica m´edia ´e de kT /2. Facilmente se chega `a conclus˜ao que para um sistema oscilante com apenas um grau de liberdade, a energia total ´e o dobro da energia cin´etica m´edia (imagine-se por exemplo uma massa suspensa numa mola a oscilar: a sua energia cin´etica varia de zero at´e um valor m´aximo e ao mesmo tempo, de forma inversa, a energia potencial el´astica varia do valor m´aximo at´e zero. A energia total ´e dada pela soma da energia potencial m´edia com a energia cin´etica m´edia e como a energia cin´etica m´edia ´e igual `a energia potencial m´edia, a energia total ´e o dobro da energia cin´etica m´edia). A energia total de cada onda estacion´aria ´e dada por
ε = kT (2.16)
Voltando `a equa¸c˜ao 2.15 que relaciona o n´umero de frequˆencias poss´ıveis com o volume da cavidade e sabendo que em m´edia a energia de uma radia¸c˜ao ´e dada pela lei da equiparti¸c˜ao da energia traduzida pela equa¸c˜ao 2.16, a primeira ideia que surge ´e que a densidade de energia por unidade de volume de uma cavidade `a temperatura T ser´a dada pela multiplica¸c˜ao das duas express˜oes, a dividir pelo volume da cavidade (a3), ou seja,
ρt(ν)dν =
8πν2kT
c3 dν (2.17)
Esta ideia surgiu pela primeira vez a Rayleigh e Jeans, e embora aparentemente baseada em teorias s´olidas, n˜ao coincide com os resultados experimentais. A figura 2.6 faz a compara¸c˜ao entre as previs˜oes da equa¸c˜ao 2.17 e as experiˆencias. Como se pode observar, a discrepˆancia ´e evidente. A baixas frequˆencias as duas curvas s˜ao aproximadamente iguais, no entanto, `a medida que a frequˆencia cresce, a previs˜ao te´orica aponta que a energia tende para infinito, enquanto que na pr´atica todas as experiˆencias conduzem ao resultado de que essa energia tende para zero.