Fonte: Elaborac¸˜ao pr ´opria.
A seguir ´e apresentada a notac¸˜ao que ser´a utilizada para apresentar a proposta de modelagem SMMRPM..
4.1
Nota¸c˜ao matem´atica
A estrutura do modelo SMMRPM est´a composta pelos ´ındices, conjuntos, parˆametros e vari´aveis introduzidos a seguir. A notac¸˜ao apresentada ´e similar a outras encontradas na literatura sobre produc¸˜ao de bebidas. Isto ´e intencional, e tem o objetivo de facilitar a associac¸˜ao da estrutura do modelo `as estruturas presentes em outros modelos similares. O modelo apresenta a seguinte notac¸˜ao:
Conjuntos
Os conjuntos do modelo SMMRPM podem ser classificados em dois grupos: os conjuntos prim´arios e os conjuntos secund´arios. Os conjuntos prim´arios, compreendem os conjuntos dos itens finais, xaropes, linhas, tanques, enchimentos m´aximos desses tanques e per´ıodos. Os con- juntos secund´arios, s˜ao definidos como aqueles conjuntos que dependem ou que est˜ao indexa- dos portanto, nos elementos pertencentes aos conjuntos prim´arios. Os conjuntos secund´arios provˆem de relac¸ ˜oes entre os elementos dos conjuntos prim´arios e servem tamb´em para garantir certas restric¸ ˜oes inerentes `a natureza do problema, como por exemplo o xarope que ´e usado para fazer cada produto, restric¸ ˜oes de linhas que n˜ao podem ser conectadas a certo(s) tanque(s), linhas especializadas em produtos ou fam´ılias de produtos espec´ıficos, entre outros. Estes conjuntos, prim´arios e secund´arios, s˜ao apresentados a seguir:
Conjuntos prim´arios
Estes conjuntos s˜ao:
NI: Conjunto de produtos finais.
L: Conjunto de linhas de produc¸˜ao (segundo est´agio).
NJ: Conjunto de xaropes (mat´eria prima para os produtos finais).
M: Conjunto de tanques (primeiro est´agio).
T: Conjunto de per´ıodos que comp ˜oem o horizonte de planejamento.
O: Conjunto de enchimentos poss´ıveis para cada tanque, no horizonte de planejamento. Cabe ressaltar que os elementos deste conjunto n˜ao implicam o uso do tanque para cada poss´ıvel enchimento, simplesmente estabelecem o n ´umero de vezes que o tanque pode ser utilizado, seja total ou parcialmente cheio por vez. Outros trabalhos na literatura chamam este conjunto de microper´ıodos.
´Indices
Considere os seguintes ´ındices que percorrem os elementos dos conjuntos prim´arios:
i, i′∈ NI: Produtos finais; l∈ L : Linhas de produc¸˜ao;
j, j′∈ NJ: Xaropes; m, m′ ∈M : Tanques;
o, o′ ∈O : Enchimentos; t∈T : Per´ıodos (uma unidade de tempo).
Conjuntos secund´arios
Os conjuntos secund´arios partem das relac¸ ˜oes diretas entre os elementos dos conjuntos prim´arios. A seguir eles s˜ao explicados detalhadamente:
ConjuntosOt ⊂ O : Cada conjunto Ot cont´em os poss´ıveis enchimentos de tanque dentro do per´ıodo t. A uni˜ao de todos os conjuntos Ot ´e o conjunto O.
Conjuntos δl ⊂ NI : As linhas de envase possuem velocidades distintas e produzem diferentes
conjuntos de itens. Assim, o conjunto δl cont´em os produtos finais que podem ser feitos pela linha l∈ L.
Conjuntos ρi ⊂ L :O conjunto ρi cont´em as linhas que podem produzir o produto final i ∈ NI,
pode se dizer que ´e o equivalente do conjunto δl visto acima, mas do ponto de vista dos itens.
Conjuntos θm ⊂ NJ : Estes conjuntos referem-se aos xaropes que podem ser feitos no tanque
m∈ M.
Conjuntos ζj ⊂ M : Este conjunto refere-se aos tanques que podem fazer o xarope j.
Conjuntos σm ⊂ L : Estes conjuntos relacionam os dois est´agios do processo produtivo. Estabe-
lecem quais s˜ao as linhas que podem se conectar a um determinado tanque m.
Conjuntos φl ⊂ M : Agora, indexados no conjunto de linhas L, estes conjuntos s˜ao os tanques
que podem ser conectados `a linha l.
Conjuntos ωj ⊂ NI : Como mencionado no cap´ıtulo 2, a partir de um xarope determinado
podem ser feitos v´arios produtos finais. O conjunto ωj cont´em os produtos feitos a partir do xarope (sabor) j.
Cabe ressaltar que um produto final s ´o usa um xarope determinado, ou seja um item final n˜ao pode ser feito a partir da mistura de dois xaropes distintos; deste modo, os conjuntos ωj s˜ao disjuntos; isto ´e:
ωj∩ωj′ =∅,∀j6=j′,∪j∈NJωj = NI.
Conjuntos ηi ⊂ NJ : O conjunto ηi ´e um conjunto unit´ario. O ´unico elemento desse conjunto ´e o
xarope (sabor) utilizado para produzir o item i. Este elemento ´e chamado Ji e ´e utilizado como parˆametro mais ´a frente . Isto ´e:
ηi := {Ji}, ∀i∈ NI. Al´em disso,
∪i∈NIηi = NJ.
Conjuntos ΛP(i′, l, m, o)e ΛS(i′, l, m, o) ⊂M×O: Estes conjuntos definem as poss´ıveis conex ˜oes
’predecessoras’ (ΛP(i′, l, m, o)) e conex ˜oes ’sucessoras’ (ΛS(i′, l, m, o)), de uma conex˜ao atual de tanque m e enchimento o(m, o)em uma linha l∈ σmpara uma conex˜ao(m′, o′), quando h´a uma troca de conex˜ao que envolve o item i′como predecessor ou sucessor, ou seja ele ser´a produzido a partir da conex˜ao(m′, o′).
poderem ser realizadas essas trocas de conex˜ao linha-tanque: Primeiro, o tanque sucessor ou predecessor (m′) deve poder se conectar `a linha l, isto ´e m′ ∈ φl. Deve tamb´em ser capaz de produzir o xarope que ser´a utilizado para produc¸˜ao do item i′(Ji), isto ´e m′ ∈ ζ(Ji).
A respeito dos o′ predecessores/sucessores, a utilizac¸˜ao destes enchimentos tˆem uma ordem impl´ıcita, pois o o-´esimo enchimento n˜ao pode ser usado em um tanque sem que antes tenha sido usado o enchimento anterior(o−1)-´esimo daquele tanque. Assim, se a pr ´oxima conex˜ao da linha ´e no mesmo tanque ( m′ = m ), est´a impl´ıcito que os enchimentos anteriores s˜ao todos o′ <o e os sucessores o′ >o.
Assim, cada conjunto estabelece dois poss´ıveis casos a serem observados entre a conex˜ao da linha-tanque:
i. A linha troca para um tanque diferente. Nesse caso o enchimento predecessor (sucessor) da conex˜ao atual, pode ser qualquer um dos enchimentos do novo tanque. Desde que ele esteja dispon´ıvel naquele momento (determinado pelo modelo).
ii. A linha mant´em-se conectada no mesmo tanque. Nesse caso o enchimento predecessor da conex˜ao atual ser´a anterior ao atual, e o sucessor deve ser posterior ao atual.
O conjunto ΛP(i′, l, m, o)estabelece as configurac¸ ˜oes tanques/enchimentos(m′, o′)que s˜ao os predecessores da configurac¸˜ao atual(m, o): se o tanque predecessor for diferente do tanque co- nectado, o enchimento predecessor o′ pode ser qualquer um do tanque m′; contudo, se o tanque predecessor for o mesmo atual(m′ = m), o enchimento predecessor deve ser necessariamente anterior ao atual(o′ < o), ou seja trocou para um outro enchimento do mesmo tanque. Obvia- mente o tanque m′ deve ser capaz de produzir o xarope para produzir o item i′.
Em notac¸˜ao matem´atica, para cada linha l ∈ L temos:
ΛP(i′, l, m, o) = {(m′, o′)|m′ ∈φl∩ζ(Ji′), o
′ ∈O : m′ 6=m∨ (m′ =m∧o′ <o)}
Analogamente, o conjunto de enchimentos sucessores ΛS(i′l, m, o)estabelece que: se a linha for mantida no mesmo tanque, ou seja se m′ = m, ent˜ao o enchimento sucessor o′ deve ser necessariamente posterior ao atual(o′ > o). Se o tanque sucessor for diferente(m′ 6= m), na configurac¸˜ao seguinte, o enchimento sucessor pode ser qualquer enchimento desse outro tan- que. Sempre conservando a condic¸˜ao de que o tanque m′ possa ser capaz de fabricar o xarope requerido.
Matematicamente, para cada linha l ∈ L o conjunto de sucessores ´e:
ΛS(i′, l, m, o) = {(m′, o′)|m′ ∈ φ
l∩ζ(Ji′), o
Note que a ´unica diferenc¸a entre os conjuntos ΛP(i′, l, m, o)e ΛS(i′, l, m, o)est´a em diferenciar que quando a linha se mant´em conectada ao mesmo tanque(m′ = m), ent˜ao os enchimentos o′ devem ser anteriores para ΛP(i′, l, m, o), e posteriores para ΛS(i′, l, m, o).
Para entender melhor os conjuntos ΛP(i′, l, m, o)e ΛS(i′, l, m, o), considere uma linha W que est´a conectada a um tanque P no enchimento 2 desse tanque produzindo o item a. Considere tamb´em que o item b est´a envolvido na troca de conex˜ao da linha W, ou seja, h´a uma configurac¸˜ao (i′, l, m, o) = (b, W, P, 2). Considere tamb´em que al´em do tanque P, existe um tanque Q e s˜ao permitidos 3 enchimentos para cada tanque e qualquer um dos tanques pode fabricar qualquer xarope. A Figura 4.2 apresenta essa situac¸˜ao. Veja que os ´unicos enchimentos realizados de fato s˜ao os lotes(P, 2), que corresponde `a conex˜ao atual de W, o que implica que(P, 1)j´a deve ter sido utilizado para que possa ser utilizado(P, 2).