Chapter 5: Analysis
5.1 Qualitative analysis results
5.1.2 Measures of successfulness
Nesta sessão são apresentados os resultados numéricos para a constante dielétrica efetiva e constante de atenuação de linhas de lâmina bilaterais simétricas de acordo com a teoria desenvolvida neste capítulo. Os resultados foram obtidos através de programas elaborados na linguagem FORTRAN POWERSTAION, que tem como
princípio a solução de equações não lineares com duas incógnitas, as constantes de atenuação e fase α e , respectivamente.
Para o cálculo das constantes de atenuação α e dielétrica efetiva εef, é feito
seguindo-se a teoria descrita no capítulo 3 que conduz a uma equação transcendental (equação característica) cuja raiz é a própria freqüência angular complexa ω.
As raízes da equação característica foram calculadas extraindo-se o determinante da equação (3.107) e utilizando uma sub-rotina numérica, que é a combinação dos métodos de Newton e Gradiente para a obtenção dos zeros de um sistema de N equações não lineares com N variáveis. Como a equação característica é complexa, a sub-rotina numérica é utilizada de modo que suas equações sejam a parte real e imaginária da equação característica, onde a constante de atenuação α e a constante de fase , são incógnitas.
O conjunto de funções de base utilizado nas expansões dos campos elétricos na fendaExg, Ezg, E , xt E é encontrado em [3]. A seguir estão as funções empregadas: zt
( )
(
)
(
1)
2 1 1 s s+w 2 , 1 1 0 , nas lâminas x x s fx x w ⎧ ≤ ≤ ⎪ − ⎡ ⎤ ⎪ =⎨ −⎢ − ⎥ ⎣ ⎦ ⎪ ⎪ ⎩ (3.113)( )
( )
(
)
(
)
1 1 2 1 sen x-s / s s+w 2 , 1 1 0 , nas lâminas w x x s fz x w π ⎧ ⎡⎣ ⎤⎦ ≤ ≤ ⎪ ⎪ ⎡ − ⎤ = ⎨ −⎢ − ⎥ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎩ (3.114)onde, para o caso em que a fenda está centrada no plano-E, temos:
1
2b=2s+ w (3.115)
As transformadas de Fourier correspondentes a (3.113) e (3.114) são, respectivamente [3],[6]:
i
( )
[
]
(
)
(
)
1 n 0.5 1 0 0.5 n 1 cos 0.5 1 sen s+0.5w1 f x α = πw J α w ⎡⎣ s+ w + j ⎤⎦ (3.116) i( )
{
(
)
(
)
}
(
)
(
)
1 1 0 1 0 1 1 1 0.25 0.5 0.5 cos 0.5 sen s+0.5w n n n f z w J w J w s w j α = π ⎣⎡ α +π ⎤⎦+ ⎣⎡ α −π ⎤⎦ + + ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ (3.117) onde: / 2 n n b α = πe J0 (x) é a função de Bessel de ordem zero e argumento x.
Inicialmente, serão considerados materiais dielétricos com perdas (σ2≠ 0) e sem
perdas (σ2 = 0) na região 2 da Fig. 3.1. Esta consideração é feita para verificar o
funcionamento do programa computacional e sua convergência com os resultados da literatura, onde pode ser constato que a atenuação para o caso da região 2 sem perdas deve ser zero.
Para determinar a eficácia do programa computacional é traçada uma curva de comprovação com a Ref [24], onde é utilizado um substrato semicondutor. A Fig. 3.3 mostra a atenuação em função da freqüência em uma linha de lâmina bilateral simétrica num guia de ondas WR-28, com largura 2b = 3.556 mm, altura 2a = 7.112 mm, espessura do dielétrico 2g = 0.125mm na região 2 e espessura do dielétrico f = 3.4935 mm nas regiões 1 e 3, permissividades relativas εr1=εr3= 1.0, εr2 = 12, condutividades
σ1= σ3= 0.0 e σ2= 1. Pode ser observado que o programa obteve um desempenho muito
bom, apresentando uma boa convergência com os resultados obtidos na referência. Observa-se aí um crescimento da atenuação um aumento de α com o aumento da freqüência e com valores coincidentes com aqueles obtidos na referência [24].
Fig. 3.3 – Gráfico de comprovação da atenuação em função da freqüência para uma linha de lâmina bilateral simétrica.
Desta forma, será simulado o caso onde o substrato é composto de material PBG bidimensional de Silício (Si), no qual é obtida a permissividade efetiva da estrutura, que tem sua dependência de acordo com a polarização do campo elétrico s (paralelo ao eixo z) e p (perpendicular ao eixo z) de acordo com a teoria da homogeneização [9].
Como já foi citado anteriormente, no cálculo computacional quando se considera a região dielétrica onde está situado o substrato (região 2) como sem perdas, a constante de atenuação α obtida é zero, contudo, quando a condutividade é considerada, são obtidos valores significativos de α. A Fig. 3.4 mostra estes resultados para vários valores de w1, nesta análise os parâmetros da estrutura são determinados com um substrato fotônico PBG, num guia de ondas WR-28, com espessura do dielétrico 2g = 0.125mm, largura da fenda W1=W2 = 0.15 mm e W1=W2=0.20 mm e permissividades εr1=εr3= 1.0, εr2 = 8.7209 (polarização p) e εr2 = 10.233 (polarização s), condutividades
Fig. 3.4 – Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28.
Além disso, são apresentadas as curvas para a constante dielétrica efetiva εef em
função da freqüência para alguns valores de w1. Estas curvas são mostradas na Fig. 3.5.
Fig. 3.5 – Constante dielétrica efetiva versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-28.
Pode ser observado nas Fig. 3.5 e 3.6 que as curvas das constantes de atenuação e dielétrica efetiva para uma linha de lâmina bilateral simétrica, calculadas com o método LTT, apresentaram um comportamento muito bom, com valores de atenuação menores que aqueles obtidos em trabalhos utilizando substratos semicondutores, com uma melhora de desempenho considerável devido à introdução do material PBG 2D como substrato. Na Fig. 3.5 a constante de atenuação aumenta com o aumento da freqüência e diminui com o aumento da largura entre as lâminas, apresentando um ponto de mínimo em torno de 23 GHz. Já na Fig. 3.6 pode ser observado que a constante dielétrica efetiva aumenta com o aumento da freqüência e da permissividade relativa da região 2 e diminui com o aumento da largura entre as lâminas.
Outros resultados, ainda analisando a estrutura do guia de ondas WR-28, são obtidos através de uma análise em três dimensões de alguns de seus parâmetros. A Fig. 3.6 mostra resultados em 3D para W1 = W2 = 0.15 mm, da constante de atenuação em função da freqüência e da constante dielétrica relativa da região 2 (a) = 8.7209 (polarização p) e (b) εr2 = 10.233 (polarização s), para uma linha de lâmina bilateral
simétrica sobre um substrato dielétrico fotônico PBG 2D.
(b)
Fig. 3.6 – Constante de atenuação versus a freqüência e a constante dielétrica relativa da região 2 (a) εr2 =
8.7209 (polarização p) (b), εr2 = 10.233 (polarização s), de uma linha de lâmina bilateral
simétrica para a largura entre as lâminas W1 = W2 = 0.15 mm e condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)- 1
num guia WR-28.
Pode ser observado nas duas curvas da Fig. 3.6, que a constante de atenuação aumenta tanto para o aumento da freqüência quanto para o aumento da permissividade da região 2.
Posteriormente a estrutura é analisada num guia de ondas WR-8, com largura 2b = 1.016 mm, altura 2a = 2.032 mm, espessura do dielétrico 2g = 0.0357mm na região 2 e espessura do dielétrico f = 0.9981 mm nas regiões 1 e 3, largura da fenda W1=W2 = 0.042 mm e W1=W2=0.057 mm e permissividades εr1=εr3= 1.0, εr2 = 8.7209
(polarização p) e εr2 = 10.233 (polarização s), condutividades σ1=σ3= 0 (Ω.m)-1 e σ2= 1
(Ω.m)-1. A Fig. 3.7 mostra curvas para a constate de atenuação α em função da freqüência.
Fig. 3.7 – Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-8.
Na Figura 3.8, vê-se curvas para a constante dielétrica efetiva εef em função da
Fig. 3.8 – Constante dielétrica efetiva versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-8.
Observa-se nas Fig. 3.7 e 3.8 uma grande influência relacionada à variação das larguras w1 nas freqüências mais altas de ondas milimétricas. Na Fig. 3.7 um aumento da freqüência ocasiona um aumento de α (Np/m). Já na Fig. 3.8 um aumento na freqüência ocasiona um aumento da constante dielétrica efetiva εef.
Seguindo, a estrutura é analisada num guia de ondas WR-3, com largura 2b = 0.4318 mm, altura 2a = 0.8636 mm, espessura do dielétrico 2g = 0.0151 mm na região 2 e espessura do dielétrico f = 0.4242 mm nas regiões 1 e 3, largura da fenda W1=W2 = 0.018 mm e W1=W2=0.024 mm e permissividades εr1=εr3= 1.0, εr2 = 8.7209
(polarização p) e εr2 = 10.233 (polarização s), condutividades σ1=σ3= 0 (Ω.m)-1 e σ2= 1
(Ω.m)-1. A Fig. 3.9 mostra a constate de atenuação α em função da freqüência com algumas curvas para variações de w1 e εr2, utilizando-se uma estrutura composta de uma
Fig. 3.9 – Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-3.
A Fig. 3.10 corresponde a constante dielétrica efetiva εef em função da
freqüência, com curvas para variações de w1 e para variações de constantes relativas na região dielétrica 2. A estrutura, nelas analisada, é composta por um guia de ondas WR-3 com substrato fotônico PBG 2D.
Fig. 3.10 – Constante dielétrica efetiva versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-3.
Destas figuras, conclui-se que seus parâmetros e características são idênticos aos observados nas Fig. 3.7 e 3.8, porém com variações menos acentuadas. Na seqüência é analisada a uma estrutura de um guia de ondas WR-1 na faixa de Tera Hertz, com altura 2a = 0.127 mm, largura 2b = 0.254 mm, espessura do dielétrico 2g = 0.0125 mm na região 2 e espessura do dielétrico f = 0.4242 mm nas regiões 1 e 3, permissividades εr1=εr3= 1.0, εr2 = 8.7209 (polarização p) e εr2 = 10.233 (polarização s), condutividades
σ1=σ3= 0 (Ω.m)-1 e σ2= 1 (Ω.m)-1 freqüências F1 = 1000 GHz e F2 = 800 GHz. A Fig.
3.11 mostra a constante de atenuação α em função da freqüência com algumas curvas para variações da largura entre as lâminas W e alguns valores da freqüência F e de εr2,
utilizando-se uma estrutura composta de uma guia de ondas WR-1, com as fitas da região dielétrica 2 sobre um substrato fotônico PBG 2D.
Fig. 3.11 – Constante de atenuação versus freqüência de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-1.
Na Fig. 3.12 é mostrada a constante dielétrica efetiva εef em função da largura
entre as lâminas W com algumas curvas para variações da freqüência e de εr2, num guia
de ondas WR-1.
Fig. 3.12 – Constante dielétrica efetiva versus largura entre as lâminas de uma linha de lâmina bilateral simétrica para a condutividade σ2 = 1,0 (Ω.m)-1 num guia WR-1.
O comportamento das constantes de atenuação e dielétrica efetiva nas Fig. 3.11 e Fig. 3.12, respectivamente, pode-se constatar que com o aumento da variação da largura entre as fendas W há um decaimento da curva sendo este mais acentuado na Fig. 3.12.
3.5 Conclusões
As componentes dos campos elétrico e magnético foram obtidas em função das
componentes transversais Ey
~
e Hy
~
no Domínio da Transformada de Fourier – FDT para linhas de lâmina bilaterais simétricas com substrato fotônico PBG bidimensional. Com a aplicação das condições de contorno adequadas a cada estrutura na região dielétrica e nas lâminas, foi calculada a equação característica em função da constante de propagação Γ, na determinação desta constante além do método LTT foi utilizado o método de Galerkin caso particular do Método dos Momentos. As raízes desta equação possibilitam a determinação das constantes de fase e de atenuação, tornando possível a obtenção da constante dielétrica efetiva.
Os comportamentos da constante dielétrica efetiva e da constate de atenuação são apresentados e foram feitas comparações, com uma excelente concordância de resultados, com outros resultados da literatura quando o material dielétrico é considerado com condutividade nula, ou seja, sem perdas.