A discretização das malhas foi realizada para a implementação digital em DSP. A amostragem foi realizada com dobro da freqüência de chaveamento, ou seja a 39960Hz.
A técnica utilizada para a discretização do sistema foi o amostrador de ordem zero, também conhecido como resposta invariante ao degrau, pois mantém a resposta ao degrau da função de transferência de tempo contínuo, porém não mantém a mesma resposta ao impulso e em freqüência.
O método do amostrador de ordem zero consiste em inserir, em série com a função a ser discretizada o termo mostrado na Equação (4.56) antes da aplicação da transformada z.
(4.56)
O representa o retardo inserido pelo processo de amostragem e representa o período de amostragem.
Assim, dada uma função de transferência , utilizando-se o amostrador de ordem zero para a discretização, a função discretizada , é mostrada na Equação (4.57).
88 Onde o argumento Z{} representa a transformada Z.
Para o emprego desta técnica, foi utilizada a função c2d do software MatLab®, que recebe a função de transferência no domínio contínuo, o período de amostragem e a técnica de discretização e retorna a função no domínio discreto. A primeira função discretizada foi a função de transferência para a corrente do indutor L1 em relação à tensão gerada pelo inversor
mostrada na Equação (4.58).
(4.58)
Posteriormente, foram discretizadas as funções de transferência para a corrente no indutor L1 em relação à rede c.a. que é idêntica a função de transferência da corrente no
indutor L2 em relação à tensão no inversor como mostra a Equação (4.59).
(4.59)
Por fim, foi discretizada a função de transferência para o indutor L2 em relação à rede
c.a exibida na Equação (4.60).
(4.60)
Para os controladores, foi preciso analisar a maneira em que os softwares de simulação utilizados, MatLab® e PSpice® implementam os seus controladores. Para assim realizar a discretização da função de transferência do controlador. Para implementação dos controladores em PSpice® foi utilizado um bloco que se comporta de maneira semelhante ao PI do MatLab®. Para o procedimento de discretização do controlador PI, é necessário esboçar e relacionar as funções de transferência para o PI em tempo contínuo, o PI discreto convencional e o PI discreto implementado pelo bloco disponível na ferramenta Simulink® integrada ao MatLab®.
(4.61)
(4.62) (4.63)
Nas Equações (4.61) a (4.63), K, , , e , são parâmetros dos controladores projetados e é o período de amostragem definido para a discretização. Para obter a função de transferência do PI convencional, faz-se a transformação exibida na Equação (4.64).
Capítulo IV – Dimensionamento da carga eletrônica: Push-Pull em corrente e inversor
89 Desta maneira, as constantes e podem ser escritas em função das constantes do controlador PI contínuo como exibem as Equações (4.65) e (4.66).
(4.65)
(4.66) Por fim, os PI’s discretos devem ser iguais, portanto as constantes do bloco do
MatLab® podem ser escritas em função do PI discreto convencional e dos parâmetros do PI de tempo contínuo.
(4.67)
(4.68)
Desta maneira é possível obter o controlador discreto para o controlador exibido na Equação (4.40). Para o caso da malha de controle da corrente da rede, o controlador PI discreto, obtido com a freqüência de amostragem de 19980Hz, possui os seguintes parâmetros.
, , ,
Comparando-se a resposta em freqüência dos controladores analógico e digital, se obtém o gráfico da Figura 4.29.
Figura 4.29 - Comparação entre o controlador analógico e discreto para a malha de controle da corrente entregue à rede c.a. 0 5 10 15 20 25 30 M a g n it u d e ( d B ) 102 103 104 105 -90 -60 -30 0 F a s e ( d e g )
Resposta em frequencia dos controladores continuo e discreto
Frequencia (Hz)
Controlador de Tempo contínuo Controlador discretizado
90 Pela análise da Figura 4.29 percebe-se que o controlador PI, discretizado de acordo com o software MatLab® , é um pouco diferente em relação ao PI de tempo contínuo, mas tem uma resposta muito semelhante, principalmente nas baixas freqüências, de onde é possível concluir que apresentará um bom desempenho na malha de controle discretizada.
Também foram discretizados os controladores destinados ao controle da corrente de entrada do conversor Push-Pull em corrente e para o controle de tensão no barramento c.c. A função que representa a corrente a ser drenada da bateria e entregue ao conversor Push-Pull em corrente pode ser representada pela Equação (4.69).
(4.69)
A Equação (4.69) corresponde à forma discretizada, com amostragem em 39960Hz, para a função de transferência de tempo contínuo exibida na Equação (4.32). O controlador discreto para a malha da corrente de entrada baseado no controlador analógico da Equação (4.33) pode ser visto na Equação (4.70). A Figura 4.30 compara a resposta em freqüência do controlador discreto com o de tempo contínuo.
(4.70)
Figura 4.30 -Comparação entre o diagrama de bode do controlador em tempo contínuo e discreto para a malha de corrente de entrada da carga eletrônica.
-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 M a g n it u d e ( d B ) 100 101 102 103 104 105 -90 -60 -30 0 F a s e ( d e g ) Diagrama de Bode Frequencia (Hz)
Controlador de Tempo contínuo Controlador discretizado
Capítulo IV – Dimensionamento da carga eletrônica: Push-Pull em corrente e inversor
91 Pela análise da resposta em freqüência da Figura 4.30, nota-se que os controladores, analógico e discreto, apresentam exatamente a mesma resposta em freqüência, indicando um desempenho do controlador discreto semelhante ao analógico projetado.
A função de transferência que representa a malha de controle para a corrente entregue à rede c.a., considerando-se apenas um filtro LC, discretizada a partir da Equação (4.52) se apresenta na Equação (4.71).
(4.71)
O controlador discreto baseado no controlador da Equação (4.53), empregado na malha externa de controle da tensão no barramento c.c. pode ser visto na Equação (4.72). A comparação da resposta em freqüência entre o controlador discreto e analógico é expressa na Figura 4.31.
(4.72)
Figura 4.31 -Comparação entre controladores, analógico e discreto, para a malha de corrente entregue à rede c.a. Nota-se uma pequena diferença entre a resposta em freqüência dos controladores, analógico e discreto, porém nada a ponto de prejudicar o controle discreto.
0 5 10 15 20 25 30 M a g n it u d e ( d B ) 102 103 104 105 -90 -60 -30 0 F a s e ( d e g ) Diagrama de Bode Frequencia (Hz)
Controlador de Tempo contínuo Controlador discretizado
92 A Equação (4.73) mostra a função de malha aberta discretizada com base na Equação (4.54) para o controle de tensão no barramento c.c.
(4.73)
O controlador discretizado a partir do controlador analógico exibido na Equação (4.55) é mostrado na Equação (4.74).
(4.74)
A Figura 4.32 ilustra a comparação da resposta em freqüência dos dois controladores. Nota-se, pela análise da Figura 4.32, que as respostas em freqüência dos controladores, discreto e analógico, são praticamente idênticas a baixas freqüências (0 a 300Hz), o que indica que o comportamento do controlador discreto será semelhante ao controlador projetado dentro da banda passante do sistema.
Figura 4.32 - Comparação da resposta em freqüência para os controladores, discreto e analógico, da malha de controle de tensão no barramento c.c.