Relació entre el cabal i els sediments i els índexs obtinguts amb imatges de

aceitáveis, sete respostas traziam a notação 2/10, ou seja, traziam a compreensão da questão no significado parte-todo e, com isso, conduziram interpretar que esta situação não fora de certa forma compreendida como quociente, isto porque o foco de análise desta questão fica centrada no subitem 7.b.

Entre outras respostas expressas nos protocolos, encontrei a resposta 2/5, que me leva a compreender a dificuldade do professor, em foco, trabalhar com os dados do problema ao tomar a resposta duas bolas como numerador e não como o resultado quociente; a resposta 2/1 chama atenção porque é possível indicar que o professor chegou ao resultado 10/5, mas simplificou chegando ao resultado 2/1. Porém, 2/1 levará ao resultado duas bolas, e não a pergunta solicitada, qual seja. que fração representa essa distribuição.

Compreender que 10/5 é uma fração possível nesse contexto pode ter comprometido o desempenho dos professores, pois como visto anteriormente, a ideia de fração menor que 1 é muito forte nos saberes dos professores. A pesquisa de Canova (2006: 188) indica que os professores das séries iniciais, mesmo compreendendo esta situação, registravam de forma equivocada os termos da fração, como ocorreu neste estudo com alguns professores especialistas. A pesquisa de Moutinho (2005: 130) também indica dificuldades dos estudantes de oitava série/nono ano e quarta série/quinto ano de compreender números fracionários nesse contexto, por isso, o autor indica a notação 2/10 como possível teorema-em-ato. Esta análise indica que os professores participantes apresentaram o mesmo esquema.

A notação 10/2 em relação à notação 10/5 foi predominante ocasionando, certamente, resultados diferentes. Para a notação 10/2 a resposta contemplará cinco bolas; enquanto que a notação 10/5 conduzirá a resposta a duas bolas. Com isso, pode-se inferir que, embora as respostas para a primeira pergunta - duas bolas - representem quase cem por cento de respostas tidas como aceitáveis, a resposta do item 7.b - que fração representa essa

distribuição - apresentou um índice considerável de respostas não aceitáveis (61,9%).

Eis aqui mais um indício do que se tem afirmado sobre as representações tipo que induzem os professores ao erro sistemático sempre que o assunto é representação. Isto está de

acordo com a hipótese de Vergnaud sobre o tripleto S.I.R, que explica o campo conceitual, em especial sobre o conjunto de representações necessárias ao conjunto de situações.

Observando a tendência em alguns professores responderem 10/2, para a pergunta que fração representa essa divisão, é possível indicar que a tendência foi querer se referir a resposta 2/10 o que indicaria a fração que representa o que cada criança receberia, ou seja,

representaria duas bolas. Nesse contexto, o significado seria de parte-todo, pois o

numerador e denominador envolvem apenas uma grandeza (bolinhas de gude), contexto que não se aplicaria ao objetivo pensado para esta questão que era enfocar o significado Quociente e, desta forma, envolve duas grandezas

A resposta do participante designado por P.J - 10/2, isto é a metade -, demonstra a dificuldade em lidar com os termos dos números fracionários. Nesse sentido, o participante usou o número (2) como denominador, quando deveria ter usado o número cinco. Abaixo, algumas respostas presentes nos protocolos da questão 7, como segue:

A questão 9, sobremaneira conhecida em contextos educativos, aparentemente demonstra lidar com situação de domínio dos professores a partir do modelo apresentado. Nesta situação, o intuito também é possibilitar ao professor perceber que a divisão é uma boa estratégia de resolução, bem como averiguar a abordagem conceitual que os professores utilizariam para justificar essa partição. Esta questão se encontra a seguir.

 P.G= cada criança ganhará 5 bolas. 10/5

 P.T: Cada criança receberá duas bolas. A fração que representa

esta distribuição é 10/2, isto é, 1/2 (metade).

 P.J= Se a divisão for justa cada criança ganhará duas bolas.

2/10.

Esta situação-problema envolve dois itens: o primeiro como pertencente ao contexto escolar e pouca exigência de domínio conceitual, a qual, nove professores apresentaram notação, o segundo item que solicita ao professor justificar suas respostas, como pode ser visto abaixo, foram elementares. Em relação a pergunta cada criança receberá um chocolate inteiro os professores apresentaram um bom desempenho com notações como segue: 3/4; 1/4; 0,75. A notação 0,75 demonstra que o professor P.R relacionou números relativos em suas representações fracionárias e decimais porém, em termos de contexto, a situação requeria o emprego da notação fracionária. Das respostas consideradas não aceitáveis trago o exemplo de um professor que considerou que cada criança comeria uma barra inteira de chocolate, como foi a resposta do professor P.P como exposto a seguir

QUESTÃO 9 - Foram divididas igualmente para 4 crianças, 3 barras de chocolate. Marque com um X a resposta que você considera correta.

Cada criança receberá um chocolate inteiro? SIM ( ) Não ( ) Justifique sua resposta:

Em relação a primeira pergunta: Dezenove respostas aceitáveis (90,4%) Duas respostas não aceitáveis: (9,5 7%)

Em relação as justificativas: Quatro respostas aceitáveis de forma substancial do ponto de vista matemático (19%). Dezessete respostas não aceitáveis de forma substancial do ponto de vista matemático (80,9%)

De acordo com este protocolo, quando o professor parece preparado para usar a representação visual para auxiliar sua compreensão sobre a situação-problema, ele considera quatro inteiros e não três inteiros, o que o leva a crer que cada criança receberá uma barra de chocolate. Isso reforça as críticas já citadas em relação ao ensino de números fracionários pela compreensão quase que exclusiva na representação figural.

No significado quociente, posto na questão 9, mais do que perceber o domínio conceitual solicitado na primeira pergunta, o intuito era provocar os professores a justificarem suas respostas com o propósito de analisar os argumentos anunciados se estes eram revestidos de um domínio conceitual substancial ou não do ponto de vista matemático. Mediante os protocolos é possível perceber que, quando os professores justificavam suas respostas – sem perder de vista - que são professores especialistas seus argumentos ficavam em nível de senso comum e, assim, é possível indicar que o conhecimento de base (domínio conceitual) apresenta-se frágil, como pode ser visto nos excertos que seguem abaixo:

O significado quociente possibilita compreender a relação entre fração e divisão, ou seja, possibilita um alargamento conceitual para compreender que, no campo dos números fracionários, a divisão é uma estratégia possível. Nesses termos, conhecendo o número de grupo a ser formado, o quociente representa o tamanho de cada grupo. No caso da questão 9 – três chocolates para quatro crianças -, como significado quociente, a fração corresponde à divisão (três chocolates para quatro crianças) e, também, ao resultado da divisão (cada criança receberá 3/4).

No que diz respeito às justificativas dos protocolos apresentados acima, é percebido o distanciamento conceitual entre os argumentos usados pelos professores e o domínio das estruturas conceituais internas que constituem o corpo de conhecimento existente nos números fracionários.

P.E= Não. O número de criança é maior que a quantidade de barra de chocolate, por