−2 −8 .
2.2
Subespa¸cos Vetoriais
Sejam V um espa¸co vetorial real e U ⊂ V n˜ao vazio. Dizemos que U ´e um subespa¸co vetorial de V quando: (1)∀u, v ∈ U ⇒ u + v ∈ U;
(2)∀α ∈ R e ∀u ∈ U ⇒ αu ∈ U.
Observa¸c˜oes:
(i) Devido `a condi¸c˜ao (2) da defini¸c˜ao, o elemento neutro aditivo 0 ∈ V sempre estar´a em U, pois basta fazer α = 0 e teremos 0u = 0 para qualquer u ∈ U. Portanto 0 ∈ U.
(ii) Obviamente, U tamb´em ´e um espa¸co vetorial, pois as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar est˜ao “fechadas” em U e as oito propriedades da defini¸c˜ao de espa¸co vetorial se verificam em U. Logo, podemos dizer que um subespa¸co vetorial ´e um “espa¸co vetorial dentro de outro espa¸co vetorial”.
(iii)Alguns autores adotam a nota¸c˜ao: U ⊂
seV para designar U como um subespa¸co vetorial de V.
Exemplo 2.9 Seja V espa¸co vetorial, ent˜ao U = V ou U = {0} s˜ao subespa¸cos vetoriais triviais de V.
Exemplo 2.10 Seja R2 espa¸co vetorial, ent˜ao U =(x, y)∈ R2: x + 2y = 0 ´e um subespa¸co vetorial de R2.
De fato:
(1) Para quaisquer (x1, y1) , (x2, y2)∈ U temos
x1+ 2y1= 0
x2+ 2y2= 0 ⇒(x1+ x2) + 2 (y1+ y2) = 0 ⇒ (x1+ x2, y1+ y2
)∈ U ⇒ (x1, y1) + (x2, y2)∈ U.
(2) Para quaisquer α ∈ R e (x, y) ∈ U temos
x + 2y = 0
α∈ R ⇒ αx + 2αy = 0 ⇒ (αx, αy) ∈ U ⇒ α (x, y) ∈ U.
Observemos que o subespa¸co vetorial U ´e constitu´ıdo por pares ordenados que formam uma reta de equa¸c˜ao cartesiana y = −x
2, que passa pela origem do plano cartesiano R 2.
P´agina 42 de137p´aginas UFU Algebra Linear
Exemplo 2.11 Sejam Mn(R) espa¸co vetorial e A ∈ Mn(R) matriz fixa, ent˜ao U = {X ∈ Mn(R) : AX = XA} ´e
subespa¸co vetorial de Mn(R).
De fato:
(1) Para quaisquer X, Y ∈ U temos
AX = XA
AY = YA ⇒ AX + AY = XA + YA ⇒ A (X + Y) = (X + Y) A ⇒ X + Y ∈ U. (2) Para quaisquer α ∈ R e X ∈ U temos
AX = XA
α∈ R ⇒ α (AX) = α (XA) ⇒ A (αX) = (αX) A ⇒ αX ∈ U.
Observemos que o subespa¸co vetorial U ´e constitu´ıdo por todas as matrizes quadradas de ordem n que comutam com a matriz A.
Exemplo 2.12 Seja F (R) espa¸co vetorial, ent˜ao U = {f ∈ F (R) : f (−x) = f (x)} ´e um subespa¸co vetorial de F (R). De fato:
(1) Para quaisquer f, g ∈ U temos
f (−x) = f (x)
g (−x) = g (x) ⇒f (−x) + g (−x) = f (x) + g (x) ⇒ (f + g) (−x) = (f + g) (x) ⇒ f + g ∈ U. (2) Para quaisquer α ∈ R e f ∈ U temos
f (−x) = f (x)
α∈ R ⇒ α (f (−x)) = α (f (x)) ⇒ (αf) (−x) = (αf) (x) ⇒ αf ∈ U. Observemos que o subespa¸co vetorial U ´e constitu´ıdo por todas as fun¸c˜oes pares com dom´ınio R.
No espa¸co vetorial F (I) h´a v´arios subespa¸cos vetoriais interessantes do ponto de vista matem´atico: seja k ∈ N, o conjunto Ck(I) = f : I⊂ R −→ R x 7−→ f (x) : f´e de classe C k
´e definido como sendo o conjunto das fun¸c˜oes reais, de uma vari´avel real, com dom´ınio I, tais que existem, e s˜ao cont´ınuas, suas derivadas at´e ordem k. Tais fun¸c˜oes s˜ao ditas, em Matem´atica, fun¸c˜oes de classe Ck em I. Se
incluirmos k = 0, definimos C0(I)como sendo o subespa¸co vetorial de F (I) constitu´ıdo pelas fun¸c˜oes cont´ınuas deste
espa¸co vetorial. Tamb´em temos o subespa¸co vetorial de F (I) constitu´ıdo pelas fun¸c˜oes que possuem derivadas de qualquer ordem, indicado por C∞(I). ´E ´obvia a seguinte cadeia de inclus˜oes:
F (I)⊃ C0(I)⊃ C1(I)⊃ C2(I)⊃ · · · ⊃ Ck(I)⊃ Ck+1(I)⊃ · · · ⊃ C∞(I).
Exemplo 2.13 (N˜ao subespa¸co vetorial) Verifiquemos que U =(a, b, c)∈ R3: a > 0 n˜ao ´e subespa¸co vetorial
de R3.
´
E f´acil perceber que se (a, b, c) , (a′, b′, c′) ∈ U, ent˜ao (a, b, c) + (a′, b′, c′) = (a + a′, b + b′, c + c′) ∈ U, pois
a + a′> 0.
No entanto, para α = −1 e (1, 1, 1) ∈ U, por exemplo, temos que (−1) (1, 1, 1) = (−1, −1, −1) /∈ U, pois −1 < 0. Logo, U n˜ao ´e subespa¸co vetorial de R3.
A proposi¸c˜ao abaixo fornece uma importante maneira de construir um subespa¸co vetorial a partir de outros dois.
Proposi¸c˜ao 2.2 Intersec¸c˜ao de subespa¸cos vetoriais ´e subespa¸co vetorial, ou seja, se U e W s˜ao subespa¸cos vetoriais do espa¸co vetorial real V, ent˜ao U ∩ W ´e, tamb´em, subespa¸co vetorial de V.
Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2.
Verifiquemos as condi¸c˜oes da defini¸c˜ao de subespa¸co vetorial.
(1)∀u, v ∈ U ∩ W ⇒ u, v ∈ U e u, v ∈ W ⇒ u + v ∈ U e u + v ∈ W ⇒ u + v ∈ U ∩ W;
Exemplo 2.14 (Bem simples) U =(a, 0, 0)∈ R3 e W =(0, b, c)∈ R3 s˜ao subespa¸cos vetoriais de R3(verifique
isso). ´E f´acil ver que U ∩ W = {(0, 0, 0)} ´e subespa¸co vetorial de R3.
A Proposi¸c˜ao2.2diz que intersec¸c˜ao de subespa¸cos vetoriais ´e subespa¸co vetorial. Mas, e com rela¸c˜ao `a reuni˜ao de subespa¸cos vetorais? A reuni˜ao seria um espa¸co vetorial? Infelizmente, a resposta nem sempre ´e positiva, conforme podemos constatar no pr´oximo exemplo.
Exemplo 2.15 (Reuni˜ao pode n˜ao ser subespa¸co) Mostremos, por meio de exemplos, que se U e W s˜ao su- bespa¸cos vetoriais do espa¸co vetorial V, ent˜ao U ∪ W nem sempre ´e subespa¸co vetorial de V.
De fato, consideremos os seguintes exemplos de subespa¸cos vetoriais de R2:
U =(x, y)∈ R2: x + y = 0 W =(x, y)∈ R2: x − y = 0
que, geometricamente, s˜ao retas que passam pela origem do plano cartesiano. (verifique isso)
Temos que A (−1, 1) ∈ U e B (1, 1) ∈ W. Entretanto, A + B = C (0, 2) /∈ U ∪ W, pois x = 0 e y = 2 n˜ao satisfazem x + y = 0ou x − y = 0.
Geometricamente temos a seguinte figura:
0 1 C 0 2( , ) x 1 2 y W U -1 A 1 1(- , ) B 1 1( , )
Soma de Subespa¸cos Vetoriais
Conforme vimos, uma das maneiras de construir subespa¸cos vetoriais ´e por meio da intersec¸c˜ao. Al´em desse modo, podemos construir subespa¸cos vetoriais por meio de soma (de subespa¸cos), conforme defini¸c˜ao e proposi¸c˜ao abaixo.
Sejam V espa¸co vetorial real, U e W subespa¸cos vetoriais de V. Definimos a soma de U com W, e indicamos por U + W, como sendo o seguinte subconjunto de V:
U + W = {u + w : u∈ U e w ∈ W} ⊂ V .
Proposi¸c˜ao 2.3 Soma de subespa¸cos vetoriais ´e subespa¸co vetorial, ou seja, se U e W s˜ao subespa¸cos vetoriais do espa¸co vetorial real V, ent˜ao U + W ´e, tamb´em, subespa¸co vetorial de V.
Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.3.
Verifiquemos as condi¸c˜oes da defini¸c˜ao de subespa¸co vetorial.
(1) v1, v2 ∈ U + W ⇒ v1 = u1+ w1 e v2 = u2+ w2 com u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈ W ⇒ u1+ u2 ∈ U e
w1+ w2∈ W ⇒ (u1+ u2) + (w1+ w2)∈ U + W ⇒ (u1+ w1) + (u2+ w2)∈ U + W ⇒ v1+ v2∈ U + W.
(2) α∈ R e v ∈ U + W ⇒ α ∈ R e v = u + w com u ∈ U e w ∈ W ⇒ αu ∈ U e αw ∈ W ⇒ αu + αw ∈ U + W ⇒
α (u + w)∈ U + W ⇒ αv ∈ U + W.
Observa¸c˜oes: Sejam V espa¸co vetorial, U e W subespa¸cos vetoriais de V. Temos: (1) U + {0} = U;
(2) U⊂ U + W e W ⊂ U + W, ou seja, U e W s˜ao subespa¸cos de U + W e, al´em disso, U ∪ W ⊂ U + W.
(3)Se S ´e subespa¸co de V, ent˜ao (U + W) + S tamb´em ´e subespa¸co de V. Genericamente, se S1, . . . , Sn s˜ao subespa¸cos
de V, ent˜ao S1+· · · + Sn ´e subespa¸co de V.
Vimos que em um espa¸co vetorial, a reuni˜ao de dois de seus subespa¸cos pode n˜ao ser um subespa¸co vetorial. J´a a soma ´e sempre subespa¸co vetorial e, portanto, soma e reuni˜ao n˜ao ´e a mesma coisa quando lidamos com subespa¸cos. Apesar disso, h´a uma rela¸c˜ao interessante entre a soma e a reuni˜ao que ´e a seguinte: a soma de subespa¸cos ´e o menor subespa¸co vetorial que cont´em a reuni˜ao desses subespa¸cos. Trata-se da pr´oxima proposi¸c˜ao.
P´agina 44 de137p´aginas UFU Algebra Linear
Proposi¸c˜ao 2.4 Se V ´e espa¸co vetorial real, U e W s˜ao subespa¸cos vetoriais de V, ent˜ao U + W ´e o menor subespa¸co de V que cont´em U ∪ W.
Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.4.
S eja L subespa¸co de V tal que U ⊂ L e W ⊂ L.
Mostremos que U + W ⊂ L e, como L ´e arbitr´ario, U + W ser´a o menor subespa¸co que cont´em U ∪ W.
Seja v ∈ U + W ⇒ v = u + w com u ∈ U e w ∈ W ⇒ u ∈ L e w ∈ L ⇒ u + w ∈ L (pois L ´e subespa¸co) ⇒ v ∈ L.
Logo, U + W ⊂ L, como quer´ıamos.
Exemplo 2.16 Sejam U =(x, y, z)∈ R3: x = z e W =(x, y, z)∈ R3: x + y + z = 0 subespa¸cos vetoriais de R3.
Encontremos U + W.
Primeiramente observemos que U e W s˜ao planos concorrentes que passam pela origem do sistema de coordenadas cartesianas no espa¸co. Temos U + W =(x, y, z)∈ R3: (x, y, z) = (x 1, y1, z1) + (x2, y2, z2) com (x1, y1, z1)∈ U e (x2, y2, z2)∈ W =(x, y, z)∈ R3: (x, y, z) = (x 1, y1, x1) + (x2, y2, −x2− y2) =(x, y, z)∈ R3: (x, y, z) = (x1+ x2, y1+ y2, x1− x2− y2) Assim, x1 + x2 = x .(-1) y1 + y2= y x1 − x2− y2= z + ⇒ x1 + x2 = x y1 + y2= y − 2x2− y2= z − x
Trata-se de um sistema linear SPI. Tomando, por exemplo, y2= 0, temos
x2= x−z2 y1= y x1= x − x2= x −x−z2 = x+z2
Assim, qualquer (x, y, z) ∈ R3pode ser escrito como
(x, y, z) | {z } ∈R3 = (x1, y1, x1) + (x2, y2, −x2− y2) = x+z2 , y,x+z2 | {z } ∈U + x−z 2 , 0, z−x 2 | {z } ∈W ,
o que permite que concluamos que R3⊂ U + W. Como, obviamente, U + W ⊂ R3, conclu´ımos que U + W = R3.
Desta forma, o menor subespa¸co vetorial de R3 que cont´em os planos U e W ´e o pr´oprio R3.
Observa¸c˜ao: mais adiante veremos m´etodos mais simples e eficientes para encontrar subespa¸cos soma U + W, como os desse exemplo.
Soma Direta de Subespa¸cos Vetoriais
Sejam V espa¸co vetorial real, U e W subespa¸cos vetoriais de V. Dizemos que U + W ´e uma soma direta de U com W, e indicamos por U ⊕ W, quando U ∩ W = {0}.
Nesta situa¸c˜ao ainda podemos dizer que W ´e um subespa¸co suplementarde U em V e vice-versa.
Exemplo 2.17 Aproveitando o Exemplo2.14, p´agina43, vimos que U = {(a, 0, 0) : a ∈ R} e W = {(0, b, c) : b, c ∈ R} s˜ao subespa¸cos vetoriais de R3 e U ∩ W = {(0, 0, 0)}. Sendo assim, temos U + W como soma direta de subespa¸cos e
indicamos por U ⊕ W.
Exemplo 2.18 (Soma n˜ao direta) Aproveitando o Exemplo 2.16, p´agina 44, determinamos U + W sendo U =
(x, y, z)∈ R3: x = z e W =(x, y, z)∈ R3: x + y + z = 0 subespa¸cos vetoriais de R3. A soma U + W n˜ao ´e direta.
Vejamos: Seja (x, y, z) ∈ U ∩ W ⇒ x = z x + y + z = 0 ⇒ x = z y = −2z . Logo, U ∩ W =(x, y, z)∈ R3: x = ze y = −2z = {(z, −2z, z) : z∈ R} 6= {(0, 0, 0)}.
Conclus˜ao: U + W n˜ao ´e soma direta.
Uma pergunta natural a esta altura: qual ´e a importˆancia do conceito de soma direta de subespa¸cos? Antes de responder a pergunta, observemos que no Exemplo 2.16, podemos escrever um elemento qualquer de R3 como soma
de elementos de U e W de diversas maneiras, por exemplo, (1, 2, 3) = (2, 2, 2) | {z } ∈U + (−1, 0, 1) | {z } ∈W = 5 2, 1, 5 2 | {z } ∈U + −3 2, 1, 1 2 | {z } ∈W .
A importˆancia da soma direta ´e justamente para evitar essa situa¸c˜ao, ou seja, quando uma soma de subespa¸cos ´e direta, um elemento dessa soma direta ´e sempre escrito de modo ´unico como soma de elementos de cada subespa¸co. Este ´e o conte´udo da pr´oxima proposi¸c˜ao.
Proposi¸c˜ao 2.5 (Unicidade da soma) Sejam V espa¸co vetorial real, U e W subespa¸cos vetoriais de V. Temos: S = U + W ´e soma direta, ou seja, S = U ⊕ W se, e somente se, para qualquer v ∈ S, existem, e s˜ao ´unicos, u ∈ U e w∈ W tais que v = u + w.
Demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.5.
(⇒) Suponhamos que v = u1+ w1e v = u2+ w2com u1, u2∈ U e w1, w2∈ W ⇒ u1+ w1= u2+ w2⇒
u1− u2 | {z } ∈U = w2− w1 | {z } ∈W ∈ U ∩ W. Como a soma ´e direta temos
u1− u2= 0
w2− w1= 0 ⇒
u1= u2
w1= w2 . Logo, a decomposi¸c˜ao de v como soma de
elementos de U e W ´e ´unica.
(⇐) Seja v ∈ U ∩ W ⇒ v ∈ U e v ∈ W. Sejam u ∈ U e w ∈ W quaisquer. Temos u
↓ ∈U + w ↓ ∈W = (u − v) | {z } ∈U + (w + v) | {z } ∈W . Mas, por hip´otese, o elemento u + w ´e escrito de maneira ´unica como soma de elementos de U e W. Logo, u = u − ve w = w + v ⇒ v = 0.
Conclus˜ao U ∩ W = {0} e, portanto, a soma ´e direta.
Por fim, observemos que a hip´otese garante que todo v ∈ S ´e escrito como soma de elementos de U e W.
Portanto, S = U ⊕ W.
Observa¸c˜ao. Embora a Proposi¸c˜ao 2.5 acima seja importante do ponto de vista te´orico, na pr´atica, geralmente ´e mais f´acil provar que S = U ⊕ W verificando que S = U + W (S ´e uma soma de dois subespa¸cos) e que U ∩ W = {0} (a soma ´e direta).
Exemplo 2.19 Sejam P ⊂ F (R) subespa¸co vetorial das fun¸c˜oes reais pares com dom´ınio R e I ⊂ F (R) subespa¸co vetorial das fun¸c˜oes reais ´ımpares com dom´ınio R. Mostremos que F (R) = P ⊕ I.
Temos
P = {g∈ F (R) : g (−x) = g (x)} I = {h∈ F (R) : h (−x) = −h (x)} (i) Dada f ∈ F (R), definamos g (x) = 1
2(f (x) + f (−x)) e h (x) = 1 2(f (x) − f (−x)). Observemos que: g (−x) = 12(f (−x) + f (− (−x))) = 12(f (−x) + f (x)) =12(f (x) + f (−x)) = g (x). Logo, g ∈ P. h (−x) = 1 2(f (−x) − f (− (−x))) = 1 2(f (−x) − f (x)) = − 1 2(f (x) − f (−x)) = −h (x). Logo, h ∈ I. Mas g (x) | {z } ∈P + h (x) | {z } ∈I = 1 2(f (x) + f (−x)) + 1 2(f (x) − f (−x)) = f (x) ⇒ f = g + h.
Portanto, F (R) ⊂ P + I. Como, obviamente, P + I ⊂ F (R), ent˜ao F (R) = P + I. (ii) Seja f ∈ P ∩ I. Temos
f (x) = f (−x)
f (x) = −f (−x) ⇒f (−x) = −f (−x) ⇒ f (x) = −f (x) (pois f (x) = f (−x) ) ⇒ 2f (x) = 0 ⇒ f (x) = 0 para qualquer x ∈ R.
Logo, P ∩ I = {0} e, portanto, a soma ´e direta. Conclus˜ao: F (R) = P ⊕ I.
P´agina 46 de137p´aginas UFU Algebra Linear