Data: 18/08/2014
Objetivos: ampliar os conhecimentos matemáticos aprendidos com as atividades para aplicá-los em outras situações e apresentar conceitos de Análise Combinatória: permutação, combinação e arranjo.
Materialpara o Grupo: 1 folha para o Registro Documental Número de Participantes: 12
Organização dos participantes: individual, porém alguns participantes solicitaram discutir as situações em grupo e assim o fizeram.
Desenvolvimento da atividade:
Teve duração de duas aulas de 50 minutos cada e constou de 10 itens relacionados ao jogo Blackjack e a situações do dia a dia.
Antes da distribuição das folhas do Registro Documental, foi necessário que a pesquisadora abordasse o conceito de fatorial de um número para auxiliar no desenvolvimento das atividades. Ela solicitou aos participantes que evitassem copiar o que escrevia no quadro para participar melhor das explicações e discussões sobre o tema abordado.
Assim, a pesquisadora escreveu no quadro um número com a exclamação (simbologia do fatorial) e os participantes logo perguntaram: “o que aquela exclamação estava fazendo ali? Ela explicou que era o sinal do fatorial de um número: “Quando vocês veem 4², o 2 significa que o 4 está elevado ao quadrado”. E continuou: “Quando há uma exclamação depois de um número, quer dizer que está sendo pedido o fatorial desse número. Por exemplo: 4! Lê-se fatorial de 4”. Nesse momento, os participantes perguntaram o que era fatorial de um número. A pesquisadora explicou com alguns exemplos. Com isso, os participantes entenderam: fatorial de um número é o produto de todos os naturais menores ou iguais a ele, excetuando-se o zero. E que 0!=1. Depois foi explicada como pode ser feita a simplificação da divisão de números fatoriais. Para verificar se de fato os participantes entenderam esses conceitos, a pesquisadora propôs o cálculo de fatoriais, corrigindo-os em seguida.
Feito isso, a pesquisadora deu a cada um dos participantes a folha do Registro Documental relativa à Atividade 4 Mudando as regras do jogo, programada para o encontro. Os participantes perguntaram se podiam fazer em grupo, como nas atividades anteriores. A pesquisadora disse que podiam, porém solicitou que cada um fizesse um registro individual para entregar.
Os itens constantes da Atividade 4 foram apresentados sempre após a apresentação do conceito correspondente na Análise Combinatória, em situações adequadas.
Os itens 1 e 2 apresentavam situações de permutação, nas quais os elementos destacados sofriam mudança de posição. Para explicar melhor o que era permutar, a pesquisadora convidou P8, P10 e P19 para se colocarem à frente da turma. Depois colocou três cadeiras perto deles. Em seguida perguntou aos demais participantes como P8, P10 e P19 poderiam se distribuir entre as três cadeiras. P13 respondeu: “Coloca P19, depois P10 e P8 por último!” P11 disse: “Troca P8 por P10”. A pesquisadora foi escrevendo no quadro as possibilidades apontadas. Com isso, os participantes concluíram que o total de distribuições para sentar os três participantes nas três cadeiras era 6.
Na situação apresentada, a quantidade de elementos era 3 (3 pessoas) e a permutação de 3 pessoas se dava pelo cálculo de . Assim, os participantes fizeram a associação entre a teoria e a prática.
Por fim, a pesquisadora explicou o enunciado da permutação com base na situação apresentada, como mostra o Quadro 21 a seguir.
Quadro 21 – Atividade 4 itens 1 e 2
Quando todos os elementos (cartas, pessoas) são distribuídos de formas variadas, dá se o nome de PERMUTAÇÃO. A permutação de n elementos pode ser encontrada por
1) Imagine que tenhamos 3 cartas disponíveis nas mãos. Podemos dispor estas cartas de várias formas, como por exemplo, por ordem crescente, ordem decrescente, por naipes, etc. de quantas formas diferentes podemos dispor estas 3 cartas?
2) Se em um jogo temos 6 pessoas, em que 5 serão os jogadores e um será o dealer. De quantas formas diferentes estas 6 pessoas podem sentar-se à mesa para participar do jogo? Fonte: Arquivo pessoal da pesquisadora
Para a resolução de 1 e 2, P13 perguntou em voz alta: “Na 1 é 3 fatorial e na 2 é 6 fatorial então?”. E a pesquisadora respondeu: “Sim, mas por quê?” “Porque na 1 a gente tá mudando o lugar de 5 cartas e na 2 a gente troca o lugar de 6 pessoas!”. Essa fala de P13 indica que ele compreendeu o conceito. A pesquisadora complementou: “E também porque não sobraram cartas nem pessoas nos dois casos”.
Os itens de 3 a 8 apresentavam situações de combinação, tópico da Análise Combinatória em que parte dos elementos disponíveis é disposta de forma que a ordenação não importa, conforme o Quadro 22 a seguir.
Quadro 22 – Atividade 4 definição de combinação
Quando uma parte dos elementos (cartas, pessoas) é agrupada, e a ordem de escolha deles não interfere no resultado, dá-se o nome de COMBINAÇÃO. A combinação de p dos n elementos disponíveis pode ser encontrada por
Fonte: Arquivo pessoal da pesquisadora
Para explicar o enunciado da combinação, foi apresentada a seguinte situação: “Fazendo duplas em um conjunto de três pessoas, digamos João, Maria e Paulo, quantas duplas podem ser formadas?”. Os participantes começaram a citar as duplas, até notarem que algumas se repetiam, como Maria e João, João e Maria. Sendo assim, o total de duplas diferentes seria 3. Com isso, tomando como 3 e como 2 (devido à formação de duplas) e substituindo esses números na fórmula da combinação, os participantes
concluíram que .
Os itens de 3 a 8 da Atividade 3 motivaram o título da atividade: Mudando as regras do Jogo. Em vez de somar as cartas, multiplicá-las, alterar o produto de 21 para outros números e mudar a forma de jogar de individualmente para pôr duplas. O Quadro 23 apresenta as perguntas correspondentes a esses itens.
Quadro 23 –Atividade 4 itens de 3 a 8
3) Suponhamos que o jogo de 21 seja obtido agora pelo produto das duas cartas, e não mais pela soma. De quantas maneiras um jogador pode fazer 21 com as duas cartas iniciais? 4) Ainda pensando no jogo 21 como um produto de duas cartas e lembrando que um baralho é constituído por 4 naipes que contém cartas de números/e figuras iguais, de quantas maneiras ele pode alcançar:
a) Produto 15; b) Produto 16; c) Produto 20;
5) Nas condições de jogo dos exercícios anteriores, a ordem em que as cartas aparecem nas mãos do jogador faz diferença?
6) Se o jogo 21 pudesse ser jogado entre duplas de jogadores, quantas duplas diferentes poderiam existir entre 4 jogadores? (Ex.: Paulo e Maria, Paulo e José, José e Maria, etc.) 7) No caso exposto acima, quantas duplas poderiam ser formadas se tivéssemos 10 jogadores disponíveis?
8) No caso de se formarem duplas de jogadores, a ordem de escolha do primeiro e segundo jogador faz diferença?
Fonte: Arquivo pessoal da pesquisadora
Para responder ao item 3, P14 falou em voz alta: “para dar 21, só se for 3 vezes 7”. Todos aceitaram que no baralho não havia outras cartas que dariam o produto 21.
Seguindo o mesmo raciocínio, no item 4 o produto era alterado de 21 para 15, 16 e 20. A pesquisadora teve de intervir, pois para cada produto havia uma realidade diferente. A pesquisadora conversou com os participantes sobre as possibilidades de se obter o produto 15, o mesmo caso do produto 21. Para o produto 16, de e , lembrou que uma das cartas 4 não podia ser levada em consideração, pois já tinha sido utilizado o produto 20, por meio de e de , e que eram várias as opções de cartas com valor 10.
Após os esclarecimentos, os participantes responderam ao item 4 de forma correta, como P17, cujo Registro Documental se encontra na Figura 14 a seguir.
Figura 14 – Resposta de P17 para Atividade 4 item 4
Fonte: Registro Documental da atividade 4 item4 de P17
A resposta aos itens 5 e 8 eram mais simples, pois demandavam pensar em situações com que os participantes estavam acostumados. A solução de P15 está apresentada na Figura 15 a seguir.
Figura 15 – Resposta do participante P15 aos itens 5 e 8 da atividade 4
Fonte: Registro documental da atividade 4 itens 5 e 8 de P15
Na pergunta 6 os participantes puderam enumerar as duplas formadas entre 4 pessoas, conforme cópia escaneada do registro documental de P04contida na Figura 16 tal a seguir.
Figura 16 – Resposta de P04 à Atividade 4 item 6
Fonte: Registro Documental da atividade 4 item 6 de P04
O item 7 exigia cálculo e raciocínio mais aprofundado. Os participantes se viram diante de uma situação de difícil resolução se não usassem a fórmula da combinação. Responderam conforme a solução de P01, apresentada na Figura 17 a seguir.
Figura 17 – Resposta de P01 à Atividade 4 item 7
Os dois últimos itens da Atividade 4, constantes do Quadro 24, a seguir, apresentam situações do tópico arranjo, em que parte dos elementos são dispostos de forma em que a ordenação importa.
Quadro 24 – Definição de Arranjo Atividade 4 itens 9 e 10
Quando uma parte dos elementos (cartas, pessoas) é agrupada, e a ordem de escolha deles interfere no resultado, dá-se o nome de ARRANJO. O arranjo de p dos n elementos disponíveis pode ser encontrada por
9) Suponhamos que haja uma premiação para os três primeiros colocados no jogo
Blackjack. Quantas possíveis premiações podemos ter se tivéssemos 4 jogadores concorrendo?
10) E se ao invés de quatro jogadores tivéssemos seis jogadores disponíveis, quantas possíveis premiações podemos ter?
Fonte:Arquivo pessoal da pesquisadora
Para explicar o tópico, a pesquisadora exemplificou com a situação proposta no item 9, em que se supôs que houvesse premiações para os 3 primeiros colocados de um total de 4 jogadores de Blackjack. No caso, a ordem das pessoas importava, por isso era um
arranjo opção de premiar 3 de 4 pessoas segundo a
colocação.
A solução do item 9 de P11 está apresentada na Figura 18 a seguir. Figura 18 – Resposta de P11 à Atividade 4 item 9
No item 10 da Atividade 4 o número de opções disponíveis se alterava, o que tornava mais difícil responder somente enumerando as possibilidades e levando os participantes à conclusão de que poderiam utilizar a fórmula aprendida. Assim, os participantes responderam a pergunta conforme a solução de P14, apresentada na Figura 19 a seguir.
Figura 19 – Resposta de P14 à Atividade 4 item 10
Fonte: Registro Documental da atividade 4 item 10 de P14
Dessa forma se desenvolveu a Atividade 4 e, no final da aula, os participantes entregaram as folhas do Registro Documental.