CHAPTER 7: DISCUSSION
7.1 M ETHODOLOGICAL DISCUSSION
Seja B = {v1, . . . , vn} um conjunto finito de vetores em V. Se todo elemento de V for
uma combinação linear dos elementos de B, diremos que B gera V.
Exemplo 2.11 O conjunto B = {(1, 2), (1, 0), (0, 1)} gera o R2. Qualquer par ordenado (x, y) pode ser decomposto nas combinações lineares
(x, y) = 0(1, 2) + x(1, 0) + y(0, 1) ou
(x, y) = x(1, 2) + 0(1, 0) + (y− 2x)(0, 1).
Neste exemplo, o modo de escrever (x, y) como combinação linear dos elementos de B não é única.
Exemplo 2.12 O conjunto B = {(2, 1), (1, 0) } gera o R2 pois podemos escrever um par
ordenado (x, y) qualquer como combinação linear desses dois vetores (x, y) = x(2, 1) + (y− x)(1, 0).
Neste exemplo, o modo de escrever (x, y) como combinação linear dos elementos de B é única.
Que diferença existe entre os conjuntos geradores dos exemplos acima? O primeiro é linearmente dependente e o segundo é linearmente dependente.
Definição 2.13 Um conjunto finito de vetores linearmente independente e que gera V é uma base de V.
Uma base B = {v1, . . . , vn} gera V. Assim, para cada vetor v em V existem escalares
α1, . . . , αn tais que
v = α1v1+ · · · + αnvn.
Os vetores α1v1, . . . , αnvn são denominados de componentes do vetor v na base B, os
escalares α1, . . . , αn são as coordenadas de v na base B e a matriz coluna
[v]B = [α1 . . . αn]T
é a matriz das coordenadas de v na base B.
Uma base ordenada B = {v1, v2, . . . , vn} é aquela em que se estabelece que v1 é o
seu primeiro elemento, que v2 é o seu segundo elemento, e assim por diante. A ordem em
que seus elementos são escritos é relevante.
Proposição 2.14 A matriz das coordenadas de um vetor numa base ordenada é única. Prova. Seja B = {v1, . . . , vn} uma base ordenada de um espaço vetorial V. Se v =
x1v1+ · · · + xnvn e v = y1v1+ · · · + ynvn forem duas decomposições de v nos elementos
da base B, então
0 = v− v = (x1− y1)v1+ · · · + (xn− yn)vn
e, da independência linear dos vetores da base, xi = yi para i = 1, . . . , n. ¤
De ora em diante, uma base ordenada será chamada simplesmente de base. O contexto indicará a necessidade de ser a base ordenada ou não.
Exemplo 2.15 Considere as ênuplas e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, . . . , 0), en = (0, 0,
. . . , 1), onde ek é a linha k da matriz identidade n × n. O conjunto de vetores {e1, e2,
. . . , en} é uma base tanto do Rn quanto do Cn e é chamada de base canônica. Se x =
(x1, . . . , xn), então x = x1e1+ · · · + xnen. Isto significa que as coordenadas de x na base
canônica são exatamente os elementos da ênupla x.
Exemplo 2.16 O conjunto {1, x, x2} é uma base do espaço vetorial dos polinômios de
grau menor ou igual a dois com coeficientes complexos.
Nem todo espaço vetorial possui uma base tal como se definiu acima. O espaço vetorial de todos os polinômios com coeficientes complexos não possui base no sentido definido neste texto. Não existe conjunto finito de polinômios que gera todos os demais. Todo conjunto finito de polinômios tem um polinômio de grau máximo, que não seria capaz de gerar os polinômios de grau superior ao polinômio de grau máximo do conjunto.
Todas as bases de um espaço vetorial possuem o mesmo número de elementos, como provaremos em seguida. Precederemos o teorema principal por três lemas.
Lema 2.17 Seja {v1, . . . , vn} uma base de V e w = α1v1+ · · · + αnvn. Se αi 6= 0, então
{v1, . . . , vi−1, w, vi+1, , . . . , vn}
Prova. Para simplificar, provaremos o teorema supondo α1 6= 0. Se α1 = 0, podemos
reordenar os elementos da base para trazer para a primeira posição uma componente de w diferente de zero. Sendo α1 6= 0, podemos explicitar v1 na igualdade w = α1v1+· · ·+αnvn
para obter v1 = 1 α1 w− α2 α1 v2− · · · − αn α1 vn = β1w + β2v2+ · · · + βnvn.
Vamos provar que {w, v2, . . . , vn} gera V. Sendo v um vetor qualquer de V, existem
escalares x1, x2, . . . , xn tais que
v = x1v1 + x2v2+ · · · + xnvn
= x1(β1w + β2v2+ · · · + βnvn) + x2v2 + · · · + xnvn
= (x1β1)w + (x1β2+ x2)v2+ · · · + (x1βn+ xn)vn,
provando que o conjunto {w, v2, . . . , vn} gera V.
Vamos provar que {w, v2, . . . , vn} é linearmente independente. Sejam k1, k2, . . . , kn
escalares tais que k1w+ k2v2+ · · · + knvn= 0. Se k1 6= 0, então
k1(α1v1+ α2v2+ · · · + αnvn) + k2v2+ · · · + knvn= 0
ou
k1α1v1+ (k1α2+ k2)v2+ · · · + (k1αn+ kn)vn = 0
com k1α1 6= 0, o que contraria o fato de {v1, v2, . . . , vn} ser base de V. Logo, k1 = 0
e a combinação linear k1w+ k2v2+ · · · + knvn = 0 se reduz a k2v2+ · · · + knvn = 0. Da
independência linear do conjunto {v2, . . . , vn}, obtemos k2 = · · · = kn = 0, provando a
independência linear de {w, v2, . . . , vn} que, portanto, é base de V. ¤
Lema 2.18 Seja {v1, . . . , vn} uma base com n elementos do espaço vetorial V. Todo
conjunto linearmente independente com n elementos é base de V.
Prova. Seja {w1, . . . , wn} um conjunto linearmente independente com n vetores de
V. Pode-se decompor w1 na base {v1, . . . , vn} e escrever
w1 = c11v1+ · · · + cn1v1.
Como w1 6= 0, pelo menos um dos coeficientes desta combinação linear é diferente de zero.
Podemos supor que c11 6= 0 (se o c11 fosse nulo, bastaria reordenar a base {v1, v2, . . . , vn}
de modo que, nesta nova ordem, c11 6= 0).
Pelo lema anterior, {w1, v2, . . . , vn} é base e podemos escrever
w2 = c12w1+ c22v2+ · · · + cn2vn.
Os coeficientes c22, . . . , cn2não podem ser todos nulos. De fato, se todos eles fossem nulos,
independente. Assim, pelo menos um dos coeficientes c22, . . . , cn2 não é nulo. Como
antes, podemos supor, sem perda de generalidade, que c22 6= 0.
Pelo lema anterior, {w1, w2, v3, . . . , vn} é base de V.
Prosseguindo com este raciocínio, substituímos todos os elementos da base {v1, . . . ,
vn} por w1, w2, . . . , wn, provando que {w1, w2, . . . , wn} é base. ¤
Lema 2.19 Se um espaço vetorial V possuir uma base com n elementos, então todo conjunto de vetores em V com mais de n elementos é linearmente dependente.
Prova. De fato, se houvesse um conjunto linearmente independente com mais do que n elementos, qualquer subconjunto dele com n elementos seria base e os vetores restantes seriam combinações lineares desses n selecionados, contrariando a hipótese de independên- cia linear do conjunto. Logo, não existe conjunto de vetores linearmente independente com mais do que n elementos. ¤
Estes lemas nos permitem enunciar o
Teorema 2.20 Se um espaço vetorial V possuir uma base com n elementos, todas as outras bases deste espaço vetorial têm o mesmo número de elementos.
Prova. De fato, como todo conjunto com mais do que n elementos é linearmente dependente, não há base com mais do que n elementos.
Seja B1 a base com n elementos. Se existisse alguma base B2 com k elementos e k <
n, pelo lema anterior, a base B1 seria linearmente dependente, possibilidade que se exclui
pela definição de base. Logo não existe base com menos do que n elementos. ¤
Este teorema garante que todas as bases de um espaço vetorial possui o mesmo número de elementos o que justifica a definição que segue.
Definição 2.21 Se um espaço vetorial possui uma base, diremos que ele possui dimen- são finita e que o número de elementos das bases é a sua dimensão. Por definição, a dimensão do espaço vetorial trivial, aquele que contém apenas o vetor nulo, é zero.