– Compartimentalização: Considera-se a mesma divisão dos individuos feita nos
modelos de epidemiologia ,vistas no capitulo anterior. Assim ,os individuos sao classificados como Suscetiveis, Infetados e Recuperados
– Onde a característica considerada desta rede é a sua distribuição dos graus
4.2
Conceitos Novos
4.2.1
Bloco de Aproximação de Grau
Os nós são separados por graus e se assume que nós que tenham o mesmo grau são estatisticamente equivalente . Sendo, assim, deve-se considerar o grau de cada nó como uma variável implícita dentro dos modelos epidemiológicos. O bloco de aproximação com 7 nós , de grau 1, 2 e 3 são mostrados na figura 12
42 Capítulo 4. Modelos Epidemiológicos em Redes
Figura 11: Bloco de Aproximação de Grau
4.2.2
Função Densidade
A função de densidade Θ𝑘 fornece a fracção de nós infectados na vizinhança de um nó
suscetível com grau k.
Na hipótese de mistura homogênea Θ𝑘é simplesmente a fração dos nós infectados, i. Numa
rede não homogênea, no entanto , a fraçao de nós infectados na vizinhança de um nó pode depender do grau k do nó e do tempo t. Faremos a suposição de que a probabilidade de que uma ligação de um nó com grau k para um nó com grau 𝑘′é independente de k, o que quer dizer que a rede não tem correlação de grau . Por isso, a probabilidade de que uma aresta escolhido aleatoriamente tenha uma ligação com o nó 𝑘′ é representado por
𝑘′𝑝′𝑘 ∑︀𝑁 𝑘=1𝑘𝑝𝑘 = 𝑘 ′𝑝′ 𝑘 < 𝑘 > (4.1)
Pelo menos uma ligação de cada nó infectado é ligado a outro nó infectado aquele que transmitiu o patogeno. Portanto, o número de ligações disponível para a transmissão futuro é (𝐾′ − 1), o que nos permite escrever:
Θ𝑘 =
∑︀
𝑘′(𝑘′ − 1)𝑝𝑘′𝑖𝑘′
< 𝑘 > = Θ (4.2)
A segunda igualdade se deve a que a densidade não depende de k Diferenciando (4.2) obtemos 𝑑Θ 𝑑𝑡 = ∑︀ 𝑘(𝑘 − 1)𝑝𝑘 < 𝑘 > 𝑑𝑖𝑘 𝑑𝑡 (4.3)
Para progredir, é preciso considerar o modelo específico na qual o patógeno se insere.Portanto, será visto os modelos em Redes
4.3. Modelos 43
4.3
Modelos
4.3.1
SI em redes
Se um patógeno se espalha em uma rede, os indivíduos com mais ligações são mais sus- ceptíveis de estar em contacto com um indivíduo infectado, portanto, eles tem mais pro- babilidade de serem infectadas. Assim, no formalismo matemático se deve considerar o grau de cada nó como uma variável implícita. Isto é conseguido pelo bloco de aproximação grau, que distingue os nós com base no seu grau e assume que os nós com o mesmo grau são estatisticamente equivalente .figura 12. Dessa forma obtemos
𝑖𝑘 =
𝐼𝑘
𝑁𝑘
(4.4)
onde 𝑖𝑘 representa a fração de nós com grau k que estão infectados entre todos os nós de
grau k
A fracção total de nós infectados, é a soma de todos nós infetados com graus k
𝑖 =
𝑘𝑚𝑎𝑥
∑︁
1
𝑝𝑘𝑖𝑘 (4.5)
Tendo em conta os diferentes graus de nós, podemos escrever o modelo SI para cada grau k separadamente:
𝑑𝑖𝑘
𝑑𝑡 = 𝛽(1 − 𝑖𝑘)𝑘Θ𝑘 (4.6)
Esta equação tem a mesma estrutura que (3.6), A taxa de infecção é proporcional a 𝛽 e a fração de nós de grau k que ainda não estão infectadas,o qual é (1 − 𝑖𝑘) . No entanto,
existem algumas diferenças fundamentais:
– O grau medio em (3.6) é substituído com cada nó de grau k real
– A função densidade Θ𝑘 representa a fração de vizinhos infectados de um nó
susceptível k. Na hipótese de mistura homogênea Θ𝑘 é simplesmente a fracção
dos nós infectados, i. Numa rede não homogênea, no entanto, a fracção de nós infectados na vizinhança de um nó pode depender do grau k do nó e do tempo t
– Enquanto (3.6) capta com uma única equação o tempo dependente do com-
portamento de todo o sistema, (4,6) representa um sistema de k equações acopladas, uma equação para cada grau presente na rede.
44 Capítulo 4. Modelos Epidemiológicos em Redes 𝑑Θ 𝑑𝑡 = 𝛽 ∑︀ 𝑘(𝑘2− 𝑘)𝑝𝑘 < 𝑘 > [1 − 𝑖𝑘]Θ (4.7)
Considerando 𝑖𝑘muito pequeno, é dizer no início da epidemia
integrando : Θ(𝑡) = 𝐶𝑒𝜏𝑡 (4.8) considerando: 𝜏 = < 𝑘 > 𝛽 < 𝑘2 > − < 𝑘 >; 𝐶 = 𝑖0 (< 𝑘 > −1) < 𝑘 > (4.9) Obtemos: Θ(𝑡) = 𝑖0 < 𝑘 > −1 < 𝑘 > 𝑒 𝑡 𝜏 (4.10)
para t pequeno , (3.6) fica:
𝑑𝑖𝑘 𝑑𝑡 = 𝛽𝑘Θ𝑘 (4.11) De(4.10) e (4.11), chegamos: 𝑑𝑖𝑘 𝑑𝑡 = 𝑖0 < 𝑘 > −1 < 𝑘 > 𝑒 𝑡 𝜏 (4.12) integrando: 𝑖𝑘= 𝑖0(1 + 𝑘 < 𝑘 > −1 < 𝑘2 > − < 𝑘 >)𝑒 𝑡 𝜏−1 (4.13)
Pode-se expressar esta equaçao como: 𝑦 = 𝑓 (𝑡) + 𝑘(𝑔(𝑡) o que quer dizer que quanto maior o k , mais rápido o nó fica infectado como mostrado na figura 13
4.3. Modelos 45
O Tempo Carateriscico (𝜏 ) em Redes
Considerando o tempo Carateristico como :
𝜏 = < 𝑘 >
(𝛽 < 𝑘2 > − < 𝑘 >) (4.14) Pode-se achar o tempo Caraterístico aproximado, tanto em Redes aleatórias como em redes livre de escala
1) Redes aleatorias
– Podendo escrever o segundo momento como:
< 𝑘2 >≈< 𝑘 > (< 𝑘 > +1) (4.15)
– Podemos obter o tempo carateristico como:
𝜏 ≈ 1
𝛽 < 𝑘 > (4.16)
– Obtendo dessa forma um resultado similar á rede homogênea
Redes Livre de escala 𝛾 >= 3
– Considerando < 𝑘2 > e < 𝑘 > finitos ,obtemos
𝜏 = 1
𝛽 < 𝑘 > (4.17)
– Resultado igual a rede aleatoria
3) Redes Livre de escala 𝛾<=3
– considerando 𝑁 → ∞ ,𝑙𝑖𝑚 < 𝑘2 >→ ∞
𝜏 → 0 (4.18)
– Este resultado é bassicamente a presença dos Hubbs
4.3.2
SIS em redes , e o desaparecimiento do limiar de epidemia
Ao modelo SI acrescenta-se 𝜇𝑖𝑘 obtendo:𝑑𝑖𝑘
𝑑𝑡 = 𝛽(1 − 𝑖𝑘)𝑘𝑘− 𝜇𝑖𝑘 (4.19)
46 Capítulo 4. Modelos Epidemiológicos em Redes
𝜏 = < 𝑘 >
(𝛽 < 𝑘2 > −𝜇 < 𝑘 >) (4.20) Para suficientemente grande 𝜇 o tempo característico é decaimentos negativos,
Taxa de espalhamento(𝜆)
𝜆 = 𝛽
𝜇 (4.21)
a qual depende apenas das características biológicas do agente patogénico,ou seja, da probabilidade de transmissão 𝛽 e da taxa de recuperação 𝜇. Quanto maior é 𝜆, o mais provável é que a doença se espalhe. No entanto, o número de infectado não aumenta gradualmente com 𝜆,em vez disso, o agente patogênico pode se espalhar somente se a sua taxa de propagação excede um 𝜆𝑐 limiar de epidemia. Se fará uma análise de como
varia 𝜆𝑐 para redes aleatórias e sem escala.
1)Redes Aleatorias
Se um patógeno se espalha em uma rede aleatória, podemos usar < 𝑘2 >=< 𝑘 >< 𝑘 +1 >
em (4.20) , obtendo-se que o agente patogénico na população persistir se
𝜏 = < 𝑘 >
𝛽 < 𝑘 >< 𝑘 + 1 > −𝜇 < 𝑘 > (4.22)
obtemos
𝜏 ≈ 1
𝛽(< 𝑘 > +1) − 𝜇 (4.23)
Considerando: 𝜏 > 0 para verificar que a doença se espalha. Déve-se considerar o deno- minador >0, obtendo-se:
𝜆 = 𝛽 𝜇 >
1
< 𝑘 > +1 (4.24)
obtendo o limiar de epidemia de uma rede aleatória como:
𝜆𝑐=
1
< 𝑘 > +1 (4.25)
como k é sempre finito, uma rede aleatória diferente de zero tem sempre um limiar de epidemia ,com consequências importantes:
4.3. Modelos 47
– Se 𝜆 > 𝜆𝑐 o patógeno vai se espalhar até que ele atinja um estado endêmico,
onde uma fracção finito 𝑖(𝜆) da população está infectada em qualquer momento
𝜆 > 𝜆𝑐
– Se 𝜆 < 𝜆𝑐, o patógeno morre, ou seja, 𝑖(𝜆) = 0
Por isso, o limiar de epidemia nos permite decidir se um agente patogénico permane- cerá ou não na população. Esta transição do ausência à presença de um surto epidémico, aumentando o 𝜆 taxa de propagação está na base da maior parte das campanhas para combater um patógeno
1)Redes livre de escala
Já se um patôgeno se espalha numa rede com grau de distribuição arbitrária não pode- remos usar < 𝑘2 >=< 𝑘 >< 𝑘 + 1 >no tempo caraterístico(4.20).Dessa forma devemos
considerar o denominador de 𝜏 > 0 para obter o limiar 𝜆𝑐 de epidemia.Assim:
𝛽 < 𝑘2 > −𝜇 < 𝑘 > > 0 (4.26) 𝛽 < 𝑘2 >> 𝜇 < 𝑘 > (4.27) 𝜆 = 𝛽 𝜇 > < 𝑘 > < 𝑘2 > (4.28)
como n tende ao infinito entao <k2 > 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑎𝑜𝑖𝑛𝑓 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜
, não podemos considerar:< 𝑘2 >=< 𝑘 >< 𝑘 + 1 >, pois o segundo momento <k2 > o tempo carateristico dado por :
𝜏 = < 𝑘 >
(𝛽 < 𝑘2 > −𝜇 < 𝑘 >) (4.29) (10,21), obtendo-se o limiar de epidemia como
𝑐 = < 𝑘 >
< 𝑘2 > (4.30)
Quanto a uma rede sem escala , com N grande, diverge, portanto, para grandes redes é esperado que o limiar de epidemia desapareça isto significa que mesmo patógenos que são difíceis de passar de indivíduo para indivíduo pode se espalhar com sucesso,a qual representa a segunda previsão fundamental da rede de epidemias.
O limiar de epidemia de fuga é uma consequência direta dos hubbs. Com efeito, um patogéno que não consegue infectar outros nós antes do indivíduo infectado se recuperar,
48 Capítulo 4. Modelos Epidemiológicos em Redes
lentamente vai desaparecer da população. Em uma rede aleatória todos nós têm grau comparável, kk, portanto, se a taxa de espalhamento está sob o limiar de epidemia, o patógeno não tem como se espalhar. Numa rede sem escala, no entanto, mesmo se um agente patogénico é apenas fracamente infecciosa, se infecta um hubb, o hubb pode passá- lo para um grande número de outros nós, permitindo que persistam na população
4.4
Aplicações e Discussões
Algumas doenças que foram rapidamente espalhadas em algumas populações específicas podem ter uma explicação plausível baseado no tipo de rede social na qual a doença se transmitiu.
Assim por exemplo a Síndrome da Imunodeficiência Adquirida, AIDS , em São Francisco nos EUA , na década dos 80 do século passado , se difundiu rapidamente na populacão de homosexuais . Isto pode ter acontecido ao ser infectado um ou vários "hubs"provavelmente os quais tiveram contatos sexuais com vários indivíduos fazendo com que a doença se espalhe rapidamente nesta comunidade. Um caso parecido de difusão rápida da AIDS ocorreu na Inglaterra , onde se verificou um alto índice de contaminação de usuários de drogas na troca de seringas. Este grupo também pode ter sido rapidamente atingido ao ser contaminado um "Hub"deste grupo.Dessa forma, para a transmissão da AIDS podem-se considerar redes de contato como a rede sexual ou a rede social de transfusão sanguínea. Outro caso onde a rapidez do espalhamento da doença pode ser explicado pela existência de redes livre de escala é o Cólera , o qual até o século XIX só existia na Asia e na India. Na América do Sul , aparece em 1991 em Chancay no Perú , e se espalhou rapidamente para outras cidades como Lima e algumas cidades do litoral, e logo para todo América. Em muitas destas cidades pode -se ter a presença de Hubs os quais podem ter sido a ligação entre algumas cidades. Como a doença é transmitida basicamente pela batéria Vibrio cholerae a qual tem a capacidade de se multiplicar em grande velocidade dentro do intestino ; o contato físico de mãos por exemplo pode causar rapidamente uma difusão desta bactéria , o que pode explicar de alguma forma a difusão entre regiões e logo entre países.
49
5 Testes e Resultados
O objetivo dos testes é simular uma rede de contato aleatória e outra rede livre de escala nas quais se infectam algums nós e se tenta reproduzir o modelo SIS , para analisar o limiar de epidemia nos dois tipos de redes.
No algoritmo , primeiro se cria uma sequencia de números que tenham a distribuiçao de Poisson(para simular redes aleatórias) e outrass que tenham a distribuição de pareto(para simular redes livres de escala) ,estas sequencias representarão a distribuição de grau de cada rede. Logo, a partir desta sequencia se estabelece a matriz de adjacencia. Por último se simula o modelo SIS , através desta matriz de adjacencia.A forma como foi implemen- tado encontra-se no apêndice.
Foram realizados dos tipos de testes , no primeiro considerando (𝜆 > 𝜆𝑐) tanto nas redes
aleatórias quanto nas redes livre de escala. Já no segundo teste considerou-se (𝜆 < 𝜆𝑐) ,
em ambas as redes
Para a realização dos Testes foi implementado um algoritmo no matlab , o qual se simula 1000 vezes a difusão da doença
5.1
Teste 1
Para analisar se o patógeno persiste ou morre na rede aleatória e livre de escala , no modelo SIS , levando em consideração (𝜆 > 𝜆𝑐). Se obteve que em todas as experiencias o
patôgeno persistiu , tanto nas redes de contato com distribuição aleatória como nas redes de contato livre de escala.
Na tabela 2 encontra-se os dados , e na figura 13 os resultados expressos através dos quartis e a mediana dos resultados . Já na figura 13, um exemplo de como o agente se comporta em redes aleatórias e livres de escala através do tempo
Tabela 2: Modelo SIS (𝜆 > 𝜆𝑐). )
Rede Aleatoria Rede livre de escala Rede livre de escala
n=10000 n=10000 n=10000 𝛽 = 0.8 𝛽 = 0.8 𝛽 = 0.8 <k>=20 <k>=12 <k>=12 - X𝑚𝑖𝑛 = 4 X𝑚𝑖𝑛 = 4 𝜇 = 0.1 𝜇 = 0.1 𝜇 = 0.1 - y=3.1 y=2.5
50 Capítulo 5. Testes e Resultados
Figura 13: Mediana e Quartis de Redes Aleatórias e Livres de Escala
Figura 14: Comportamento do Agente Patogênico em Redes Aleatórias e Livre de Escala
5.2
Teste 2
A diferença do teste 1 , será considerado (𝜆 < 𝜆𝑐), em Redes Aleatórias e Livres de
Escala. Nas redes aleatórias , em 100% das repetiçoes o patôgeno não se espalhou, assim como nas redes livre de escala com 𝛾 =3.1. Já nas redes livre de escala com 𝛾=2.5 em aproximadamente 10% dos casos o agente patogênico se espalhou.Desses 10% dos casos que se espalharam foi analisado a mediana e calculado os quartis . Na Tabela 3 observa- se os dados utilizados para a implementação.Já na figura 15 se colocou os resultados das Redes aleatórias , na qual observa-se que sempre se obteve resultado 0 , é dizer a doença desaparece, da mesma forma obten-se o mesmo resultados em Redes livres de Escala para 𝛾= 3.1. Já para 𝛾= 2.5 , só em aproximadamente 10% dos casos o resultado foi diferente de zero , como mencionado anteriormente. Desses 10% de casos , no qual a doença sobreviveu, se obteve os quartis e a mediana , como observado na figura 15. Já na figura 16 , observa-se um exemplo de como o agente se comporta em redes aleatórias e livres de escala através do tempo , quando 𝜆 > 𝜆𝑐
5.2. Teste 2 51
Tabela 3: Modelo SIS (𝜆 > 𝜆𝑐). )
Rede Aleatoria Rede livre de escala Rede livre de escala
n=10000 n=10000 n=10000 𝛽 = 0.1 𝛽 = 0.1 𝛽 = 0.1 <k>=6 <k>=6 <k>=6 - X𝑚𝑖𝑛 = 2 X𝑚𝑖𝑛 = 2 𝜇 = 0.8 𝜇 = 0.8 𝜇 = 0.8 - y=3.1 y=2.5
morre morre morre ou persiste
53
Conclusão
Os modelos Epidemiologicos SI, SIS e SIR se assemelham nas fases iniciais de uma epi- demia: Quando o número de indivíduos infectados é pequeno, a doença propaga-se livre- mente e o número de indivíduos infectados aumenta exponencialmente.Já para grandes momentos : No modelo SI todos torna-se infectados; no modelo SIS ou atinge um estado endêmico, em que uma fracção dos indivíduos são sempre infectados, ou um estado livre da doença em que a infecção morre; no modelo SIR todos os indivíduos se recuperam no final.
Já o número reprodutivo prevê o destino a longo prazo de uma epidemia: para 𝑅0 > 1 o patógeno persiste na população, enquanto que para 𝑅0 < 1 morre naturalmente.
Até agora os modelos consideraram a hipótese de mistura homogênea o que significa que todos os indivíduos tem em media <k> ligações , ou seja sem considerar a topología presente em redes de contato reais.
Dessa forma , para prever com precisão a dinâmica de uma epidemia, é preciso considerar o papel de uma rede de contatos. Ao considerar uma rede de contatos aleatorias, com dis- tribuição de poisson para grandes número de nós , a difusão da doença se comporta como nos modelos clássicos. Porém , as redes sociais, nas quais os patógenos se difundem apre- sentam uma distribuição da lei de Potencia,com 2>𝛾>3 na qual muitos nós tem poucas interações , enquanto poucos nós apresentam muitas ligações os quais são chamados de Hubbs. A presença destes nós requer que a modelagem matemática das doenças os incluía para assim ser analisados o limiar de epidemia. O desaparecimento do limiar de epidemia é uma consequência direta dos hubs. Se consideramos uma rede aleatória todos nós têm grau comparável, 𝑘 ≈< 𝑘 > , portanto, se a taxa de espalhamento está sob o limiar de epidemia, o patógeno não tem como se espalhar na população já que um patogéno que não consegue infectar outros nós antes o indivíduo infectado se recuperar, lentamente vai desaparecer da população. Numa rede sem escala, no entanto, mesmo se um patógeno é pouco infeccioso, se infecta um hubb, o hubb pode passá-lo para um grande número de outros nós, permitindo que o patógeno continue na população , verificando-se desta forma o desaparecimento do limiar de epidemia.
55
Referências
ANDERSON, R.; MAY, R. Infectious diseases of humans:dynamics and control.
Oxford University. Citado na página 21.
BARABASI. Emergence of scaling in random network. science, n. 286, p. 509–512, 1999. Citado 2 vezes nas páginas 21e 24.
BERNOULLI, D. Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et de advantages de l’inoculation pour la prévenir. Mémorires de
Mathématiques et de Psique, 1760. Citado na página 33.
ERDOS; RENYI. On randon graphs. Publicationes Mathematicae, n. 6, p. 290–297, 1959. Citado 2 vezes nas páginas 24e 27.
EULER. Solutio problemat is ad geometriam situs pertinentis. Academiae
Scientiarum Imperialis, n. 8, p. 128–140, 1741. Citado na página 23.
FILHO, A.; M, R. Introdução á epidemiologia. 4a ed Guanabara Koogam, 2006. Citado na página 33.
GILBERT, . Randon graphs. The Annals of Mathematical Statistics, n. 30, p. 1141–1144, 1959. Citado na página 27.
NEWMAN, M. The structure and function of complex networks. Siam Review, n. 45, p. 11–19, 2003. Citado na página 23.
PARETO, . Cours d’economie politique. Librairie Droz, p. 299–345, 1964. Citado na página 29.
PRICE, D. S. Networks of scientific papers. Sciencie, n. 149, p. 510–515, 1965. Citado na página 38.
ROSEN. Matematica discreta e suas aplicaçoes. 2009. Citado na página 24. SANTORRAS, P.; VESPIGNANI. Epidemic spreading in scalefree. Physical
Review Letters, n. 86, p. 3200–3203, 2001. Citado na página 21.
VERHULST, P. F. Notice sur la loi que la population poursuit dans son
accroissement. Correspondance mathématique et physique, n. 10, p. 113–121, 1838. Citado na página 36.
W, K.; KENDRICK, M. A contribution to the mathematical theory of epidemics.
Proccedings of the Royal Society of London Series A Mathematical and Physical Sciences, n. 115, p. 700–721, 1927. Citado na página 33.
59
APÊNDICE A – Criação de uma rede com
distribuiçao livre de escala
para criar uma rede com distribuiçao livre de escala será usado o modelo de Configuração. Será explicado este modelo e logo como foi gerado uma sequencia de numeros que sigam a distribuição da lei de potencia
Modelo de Configuração com uma sequencia pre definida pode-se construir uma rede
livre de escala , como mostrado na figura 14.a Na rede gerada pelo modelo de configuração cada no tem um grau 𝐾𝑖 predefinido , passando a se fazer as conexoes aleatoriamente.
Dessa forma , ao aplicar este procedimento varias vezes com a mesma sequencia de graus dos nós pre definida se pode obter diferentes redes como mostrado na figura 14.b
Figura 17: a)serie predefinida; b)redes formadas com a series predefinidas em a
A probabilidade de ter uma ligaçao entre os nós de grau 𝑘𝑖 e 𝑘𝑗 é
𝑃𝑖𝑗 =
𝐾𝑖𝐾𝑗
(2𝐿 − 1) (A.1)
Obtemos uma rede com nós ligados a si mesmos e ligaçoes multiplas entre os mesmos nós , podemos rejeitar isso , porém isso significa que nem todos os emparelhamentos possíveis aparecem com igual probabilidade e dessa forma a igualdade encima nao será valida. Além disso ao aumentar 𝑁 a quantidade de auto-ligaçoes e multi-ligaçoes serão insignificantes. Dessa forma não será excluído
Geração de uma sequencia de numeros com Graus de distrituição livre de Escala
Sequência de grau de uma rede é uma sequência de graus de nó. Assim, na figura 6.a temos a sequencia 3,2,2,1. Com essa sequencia podemos formar diversas redes como mostrado na figura
60 APÊNDICE A. Criação de uma rede com distribuiçao livre de escala
Para gerar uma sequência de grau a partir de um grau de distribuição pré-definida que começam a partir de um grau de distribuição pré-definida analiticamente, como
𝑝𝑘= 𝑘−𝑦 (A.2)
mostrada na Figura 4.16a.
Nosso objetivo é gerar uma sequência grau 𝑘1, 𝑘2, ..., 𝑘𝑁 que seguem o 𝑝𝑘 distribuição.
Começamos por calcular a função Acumulada , a qual é :
𝑦 = 1 − 𝑥𝑚𝑖𝑛𝑒𝑥𝑝−1𝑥1−𝑒𝑥𝑝 (A.3)
cujo gráfico concontramos na figura 5.3.1 cuja funçao inversa é:
𝑦 = [(1 − 𝑥)(𝑥𝑚𝑖𝑛
1−𝑒𝑥𝑝
)]1−𝑒𝑥𝑝 (A.4)
cujo grafico encontramos na figura 5.3.2. na qual o dominio é [0,1]
geramos N números aleatórios ri, i = 1, ..., n, escolhido de modo uniforme a partir da (0, 1) intervalo. Para cada ri colocamos na funçao inversa para assim obter o y que é o grau do nó . Note-se que a sequência de grau atribuído a um pk não é única - que pode gerar vários conjuntos de 𝑘1, ..., 𝑘𝑛 sequências compatíveis com o mesmo pk.
61
63
APÊNDICE B – Pseudocodigo de criação de
uma rede livre de escala e o
modelo SIS
Criando uma sequencia de numeros com grau de distribuição livre de escala
Criando uma matriz de adjacencia
65
APÊNDICE C – Codigo Fonte em Matlab de
uma rede livre de escala e o
modelo SIR
//CRIANDO UMA SERIE //xmin= minimo grau //exp =expoente n="entrar valor" xmin="entrar valor" exp= "entrar valor" D=rand(1,n) E=zeros(1,n); for i=1:n x=D(1,i); y=((1-x)*(xmin.(1 − 𝑒𝑥𝑝))).(1/(1 − 𝑒𝑥𝑝)); E(1,i)=round(y); end E
//ACHANDO A MATRIZ ADJACENCIA //L numero de arestas
//F matriz 1 tem aresta, 0 nao tem aresta
//E vetor que informa o numero de aresta de cada no //M=2L=somatoria da quantidades de arestar(sempre par) E; n=length(E); F=zeros(n,n); G=zeros(n,n); M=0; for i=1:n
66 APÊNDICE C. Codigo Fonte em Matlab de uma rede livre de escala e o modelo SIR
M=E(1,i)+ M; end
//criando uma matriz F com probabilidades de conexão for i=1:n for j=(i+1):n F(i,j)= (E(1,i)*E(1,j))/(M-1); b=rand ; if F(i,j)>b G(i,j)=1; G(j,i)=1;//colocar na simetrica end end end F G //MODELO SIR //B taxa infeçao //t tempo(iteraçoes) //i vetor infetados //u taxa recuperaçao t="Entrar valor" B="entrar valor; I="entrar valores; u="entrar valor; G; V= zeros(1,length(G)); for i=1:length(I) m=I(1,i); V(1,m)=1; end
67
Z=V’;
L=zeros(1,t);// vetor que contera os infetados em cada iteraçao K=[]
for j=1:t
C=G*Z ; //C associa cada no com nos adjacentes doentes N=zeros(length(C),1);
for i=1:length(C’) D=C’; l=D(1,i);
N(i,1)=1-(1-B)𝑙;
N; //vetor que contem as probabilidades de ficar infectado