3. MÉTODOS DE VALORACIÓN
3.2. Métodos de valoración de empresas basados en la cuenta de pérdidas y ganancias
3.2.1. Método basado en los dividendos
Parte das propriedades elementares dos n´umeros inteiros, racionais e reais dizem respeito `a manipula¸c˜ao de desigualdades, ou seja, dizem respeito `a rela¸c˜ao de ordem existente nestes an´eis. Nesta sec¸c˜ao vamos estudar a or- dena¸c˜ao dum anel de uma forma abstracta, exibindo propriedades que s˜ao comuns a todos os an´eis ordenados. Procuraremos compreender os motivos pelos quais certos an´eis podem ser ordenados, enquanto outros n˜ao o podem ser, e se a ordena¸c˜ao ´e ´unica. Faremos ainda referˆencia a propriedades de ordem que s˜ao caracter´ısticas dos inteiros, e mostraremos que as proprie- dades de ordem deste anel s˜ao consequˆencia dos axiomas mencionados na sec¸c˜ao anterior. Parte das no¸c˜oes que utilizaremos podem ser definidas no contexto dum qualquer conjunto, sem referˆencia a opera¸c˜oes alg´ebricas, e ´e isso que passamos a fazer.
Defini¸c˜ao 2.2.1. Uma rela¸c˜ao bin´aria “>” num conjunto X diz-se uma relac¸˜ao de ordem estrita e total5 se:
(i) Transitividade: ∀x, y, z ∈ X, x > y e y > z ⇒ x > z.
(ii) Tricotomia: ∀x, y ∈ X, verifica-se exactamente um dos trˆes casos x > y ou y > x ou x = y.
Note que a condi¸c˜ao (ii) afirma que quaisquer dois elementos podem sempre ser comparados.
Dado um conjunto X com uma rela¸c˜ao de ordem “>”, que lemos “maior que”, podem definir-se (tal como no caso dos n´umeros) as rela¸c˜oes “<”, “≥” e “≤”, que se lˆeem da forma usual, por
• a < b se e s´o se b > a;
• a ≥ b se e s´o se a > b ou a = b; • a ≤ b se e s´o se a < b ou a = b.
Relembramos a seguir alguns conceitos elementares aplic´aveis em qualquer conjunto ordenado X.
Defini¸c˜ao 2.2.2. Se Y ⊂ X e x ∈ X,
(i) x diz-se majorante (respectivamente minorante) de Y se x ≥ y (respectivamente x≤ y), ∀y ∈ Y ;
(ii) Y diz-se majorado (respectivamente minorado) em X se Y tem pelo menos um majorante (respectivamente minorante) em X; (iii) Y diz-se limitado em X se ´e majorado e minorado em X.
2.2. Desigualdades 67
Com estas no¸c˜oes temos ainda as no¸c˜oes usuais de m´aximo, m´ınimo, supremo e ´ınfimo, que passamos a enunciar para referˆencia futura.
Defini¸c˜ao 2.2.3. Se Y ⊂ X e x ∈ X, ent˜ao
(i) se x ´e majorante (respectivamente minorante) de Y e x pertence a Y , x diz-se m´aximo (respectivamente m´ınimo) de Y , e designamos x por max Y (respectivamente min Y );
(ii) o m´ınimo (respectivamente m´aximo) do conjunto dos majorantes de Y , se existir, chama-se supremo (respectivamente ´ınfimo) de Y , de- signado por sup Y (respectivamente inf Y ).
Os diferentes tipos de intervalos que nos s˜ao familiares podem ser gene- ralizados a qualquer conjunto ordenado. Por exemplo, se a, b∈ X, ent˜ao
]a, +∞[ = {y ∈ X : y > a}, ]a, b] ={y ∈ X : a < y ≤ b},
.. . Exemplo 2.2.4.
Seja X = R com a rela¸c˜ao usual “>”, e Y =]− ∞, 0[. Neste caso, Y n˜ao tem
minorantes em R, e portanto n˜ao pode ter ´ınfimo ou m´ınimo. O conjunto dos
seus majorantes ´e o intervalo [0, +∞[, com m´ınimo 0 que n˜ao pertence a Y .
Claramente 0 = sup Y , e Y n˜ao tem m´aximo.
Se o conjunto X ´e o suporte dum anel, ´e natural considerar apenas rela¸c˜oes de ordem que de algum modo respeitam as opera¸c˜oes alg´ebricas desse anel. Exigiremos no caso dum anel que
a > b⇐⇒ a − b > 0,
i.e, que a > b se e s´o se a− b ´e positivo, e que a soma e o produto de elementos positivos seja um elemento positivo. ´E por isso mais conveniente descrever uma rela¸c˜ao de ordem num anel em termos do conjunto dos seus elementos positivos.
Defini¸c˜ao 2.2.5. O anel A diz-se um anel ordenado se existe um sub- conjunto A+ em A que verifique:
(i) Fecho em rela¸c˜ao `a soma e ao produto: a + b, ab∈ A+,∀a, b ∈ A+. (ii) Tricotomia: Para todo o a∈ A n˜ao-nulo verifica-se exactamente um
Se A ´e um anel ordenado, definimos em A a rela¸c˜ao “>” por a > b⇐⇒ a − b ∈ A+
Em particular, temos a > 0 se e s´o se a∈ A+, e consequentemente dizemos que A+´e o conjunto dos elementos positivos do anel A. Temos naturalmente a < 0 se e s´o se−a ∈ A+, e por isso os elementos do conjunto A−={a ∈ A : −a ∈ A+} dizem-se negativos. Note-se que esta rela¸c˜ao ´e efectivamente uma rela¸c˜ao de ordem em A. A transitividade da rela¸c˜ao “>” segue-se do fecho de A+ em rela¸c˜ao `a soma, e a tricotomia de “>” ´e consequˆencia imediata de (ii) na Defini¸c˜ao 2.2.5.
Indicamos a seguir regras b´asicas para manipular desigualdades que s˜ao v´alidas em qualquer anel ordenado.
Proposi¸c˜ao 2.2.6. Seja A um anel ordenado. Para quaisquer a, b, c ∈ A, temos as seguintes propriedades:
(i) a > b⇐⇒ a + c > b + c; (ii) a > b⇐⇒ −a < −b; (iii) ab > 0⇐⇒ (a > 0 e b > 0) ou (a < 0 e b < 0); (iv) ab < 0⇐⇒ (a > 0 e b < 0) ou (a < 0 e b > 0); (v) ac > bc⇐⇒ (a > b e c > 0) ou (a < b e c < 0); (vi) a6= 0 ⇐⇒ a2 = aa > 0.
Assim, uma boa parte das propriedades de ordem dos inteiros, racionais e reais s˜ao idˆenticas, porque s˜ao comuns a todos os an´eis ordenados.
A demonstra¸c˜ao destas propriedades ´e muito simples, e remetemo-la para os exerc´ıcios, exemplificando aqui apenas a demonstra¸c˜ao da propriedade (i): Demonstra¸c˜ao. Pela Defini¸c˜ao 2.2.5,
a + c > b + c⇔ (a + c) − (b + c) ∈ A+ ⇔ a − b ∈ A+⇔ a > b.
´
E evidente das considera¸c˜oes acima que o anel dos inteiros pode ser or- denado fazendo Z+ = N, o que corresponde `a ordena¸c˜ao usual dos inteiros. A propriedade de tricotomia de N ´e exactamente o Axioma II sobre os intei- ros, e j´a prov´amos que em qualquer anel com identidade o conjunto N (A) ´e fechado em rela¸c˜ao `a soma e ao produto. Talvez mais interessante ´e verificar que a ordena¸c˜ao usual dos inteiros ´e a ´unica poss´ıvel neste anel. Para isso necessitamos de mais um resultado aplic´avel a qualquer anel ordenado A com identidade 16= 0 (i.e., com mais de um elemento).
2.2. Desigualdades 69
Teorema 2.2.7. Se A ´e ordenado com identidade 16= 0, ent˜ao N(A) ⊂ A+. Demonstra¸c˜ao. Temos apenas de provar que A+´e indutivo e usar a defini¸c˜ao de N (A):
(a) Como 1 6= 0 e 1 = (1)(1) = 12, segue-se da propriedade (vi) da Pro- posi¸c˜ao 2.2.6 que 1 > 0, i.e., que 1∈ A+;
(b) Como A+ ´e fechado em rela¸c˜ao `a adi¸c˜ao, a∈ A+⇒ a + 1 ∈ A. Assim, A+ ´e indutivo e conclu´ımos que N (A)⊂ A+.
´
E claro que existem an´eis A para os quais A+ 6= N(A), ou seja, para os quais N (A) ( A+. Exemplos ´obvios s˜ao os an´eis dos racionais e dos reais. No entanto, e como sugerimos acima, se A ´e o anel dos inteiros, ent˜ao N (A) = A+.
Teorema 2.2.8. O anel dos inteiros s´o pode ser ordenado fazendo Z+= N. Demonstra¸c˜ao. Suponha-se Z ordenado duma forma possivelmente diferen- te da usual, e seja Z+ o correspondente conjunto de inteiros “positivos“. Sabemos do resultado anterior que N⊂ Z+. Resta-nos portanto provar que Z+⊂ N.
Se m ∈ Z+, ent˜ao m 6= 0 e −m 6∈ Z+, de acordo com a propriedade de tricotomia na Defini¸c˜ao 2.2.5. Como N ⊂ Z+, segue-se tamb´em que −m 6∈ N. Finalmente, segue-se do Axioma II que, neste caso, m ∈ N.
N˜ao se deve concluir do resultado anterior que a ordena¸c˜ao de um anel arbitr´ario ´e sempre ´unica! Indicaremos nos exerc´ıcios desta sec¸c˜ao um su- banel de R que pode ser ordenado de maneiras distintas.
Como dissemos acima, os primeiros resultados desta sec¸c˜ao mostram que uma boa parte das propriedades de ordem dos inteiros ´e comum aos an´eis dos racionais e dos reais. O resultado anterior sugere por sua vez que as propriedades de ordem espec´ıficas dos inteiros resultam de, no caso A = Z, termos A+ = N (A), i.e., Z+ = N. A t´ıtulo de exemplo, provamos que os inteiros positivos s˜ao os inteiros maiores ou iguais a 1, afirma¸c˜ao que se torna obviamente falsa se substituirmos a palavra “inteiros” por “racionais” ou “reais“.
Proposi¸c˜ao 2.2.9. Z+={m ∈ Z : m ≥ 1}.
Demonstra¸c˜ao. Seja S ={m ∈ Z : m ≥ 1}. Se m ∈ S, ent˜ao m ≥ 1, e como 1 > 0, temos que m≥ 0. Logo, S ⊂ N.
´
E evidente que 1∈ S e que
Portanto, se m ∈ S, ent˜ao m + 1 ≥ 1 + 1 > 1, donde m + 1 ∈ S, e S ´e indutivo. Pelo Princ´ıpio de Indu¸c˜ao e pelo Teorema 2.2.8, S = N = Z+.
A proposi¸c˜ao anterior ´e ainda equivalente a dizer que no anel dos inteiros ]0, +∞[= [1, +∞[, ou que ]0, 1[= ∅. Note-se que em Q e R o intervalo ]0, 1[ ´e um conjunto infinito. Discutiremos outras propriedades de ordem espec´ıficas dos inteiros nos exerc´ıcios que se seguem e na sec¸c˜ao seguinte.
A no¸c˜ao de valor absoluto (ou m´odulo) pode ser introduzida sem dificul- dades num qualquer anel ordenado A.
Defini¸c˜ao 2.2.10. Seja A um anel ordenado e a∈ A. O valor absoluto ou m´odulo de a designa-se por |a| e define-se por |a| = max{−a, a}.
Indicamos a seguir algumas das propriedades do valor absoluto que po- dem ser provadas directamente desta defini¸c˜ao. A respectiva demonstra¸c˜ao faz parte dos exerc´ıcios.
Proposi¸c˜ao 2.2.11. Para quaisquer a, b∈ A, temos: (i) −|a| ≤ a ≤ |a|;
(ii) |a + b| ≤ |a| + |b|; (iii) |ab| = |a||b|. Exerc´ıcios.
1. Complete a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.2.6.
2. Mostre que, se A ´e um anel com identidade 16= 0 e existe em A um elemento i tal que i2=
−1, ent˜ao A n˜ao pode ser ordenado. 3. Prove que, se m∈ Z, ent˜ao ]m, m + 1[= ∅ em Z. 4. Prove que em Z: (a) m > n⇔ m ≥ n + 1; (b) mn = 1⇔ (m = n = 1) ou (m = n = −1); (c) m = sup S se e s´o se m = max S; (d) m = inf S se e s´o se m = min S. 5. Prove a Proposi¸c˜ao 2.2.11.
6. Mostre que em qualquer anel ordenado: (a) |a| ≤ |b| ⇔ −|b| ≤ a ≤ |b| ⇔ a2
≤ b2;