ção com ângulos dados por θ = · 180° e um centro de rotação de 180º.
Figura 4.20: O ponto marcado com um ponto (•) é um centro de rotação de 60º e o ponto
marcado com um xis (x) é um centro de rotação de 180º.
Rotacionando o ladrilho ou peça fundamental, e repetindo iterativamente a imagem, gera-se uma seqüência de ladrilhos que se complementam e se encaixam, de dentro para as fronteiras do plano, pavimentando desta forma o plano infinito com o mesmo ladrilho. Para trabalhar o contraste do quadro, pinta-se cada peça alternada com cores distintas, como nos mostra a figura 4.21.
Figura 4.21: Exemplo de pavimentação por rotação do ladrilho decorado.
Matematicamente, todas as pavimentações artísticas produzidas para pavimentar via rotação, possuem as seguintes propriedades matemáticas:
a) Todos os ladrilhos são congruentes.
b) Todos os ladrilhos possuem a mesma área e perímetro. c) As pavimentações originais precisam ser regulares.
d) É admitido somente um tipo de vértice, camuflado pelo contraste do jogo de cores e pela ornamentação adotada.
e) Possui mais de um centro de rotação, e a paridade do número de lados do polígono fundamental define se existem 1 ou 2 tipos, com angulações diferentes.
f) Todo vértice que une lados simétricos ou espelhados é um centro de rotação. g) Todo centro de rotação é um ponto fixo.
h) A pavimentação deve ser construída de dentro para fora, partindo de um centro de rotação do ladrilho fundamental.
i) Não existe eixo de simetria na pavimentação artística. j) Não admitem ladrilhos invariantes.
Figura 4.22: Outro exemplo de pavimentação por rotação com hexágonos.
Maurits Cornellius Escher utilizou a técnica da rotação em muitas de suas obras. Uma de suas obras mais famosas é a Xilogravura de Nº 25, apresentada na figura 4.24, onde o po- lígono fundamental é um hexágono e a ornamentação produzida nele é um réptil, como pode ser visto na figura 4.23, abaixo.
Primeiramente é feita uma análise ilustrada das simetrias de lados consecutivos usando um esquema de flechas, numerações e sinais. Peças com a mesma numeração se complemen- tam, enquanto a seta levando do sinal negativo para o positivo indica a parte do polígono que deve ser refletida para manter a rotação. Os pontos A, B e C são centros rotação de 120º.
Figura 4.24: Xilogravura Nº 25.
Deste ponto em diante até o fim desta seção, serão apresentadas algumas obras do au- tor, enfatizando o ladrilho fundamental, de forma que o leitor possa interpretar mais clara- mente a isometria adotada por Escher na criação de suas obras.
Figura 4.26: Pavimentação artística Nº70.
Figura 4.27: Pavimentação artística Nº21.
4.4.3 – Reflexões
O princípio da reflexão é um tanto quanto diferente da translação e da rotação, pois é o único que exige a “peça” do quebra-cabeças imaginário tenha, necessariamente, que sair do plano no qual está inserido para o jogo possa ser montado. Em outras palavras, a reflexão diferencia a frente e o verso do polígono fundamental, exigindo assim que existam mais de um ladrilho ornamentado, apesar de todos se basearem no mesmo polígono fundamental, como mostram as figuras 4.29 e 4.30 a seguir.
Figura 4.29: O ladrilho é refletido como em um espelho, onde a projeção do espelho no
plano forma um eixo de simetria para o ladrilho.
Figura 4.30: Exemplo de uma pavimentação simples por reflexão. Note que todas as linhas
Observe na figura 4.31 abaixo, os passos da construção de um ladrilho decorativo para a pavimentação por reflexão, começando de um quadrado até a obtenção de um peixe, simé- trico em relação a diagonal vertical do quadrado:
Figura 4.31: Passos para a construção de um ladrilho decorativo mais complexo para a pavi-
mentação por reflexão.
A construção dos ladrilhos fundamentais ornamentados, seguindo a técnica da reflexão, deve seguir algumas regras fundamentais como: só pode ser criado a partir de pavimentações de polígonos com número par de lados, os ornamentos de lados consecutivos devem ser espelhados ou idênticos alternadamente, e o número de cores usadas na contrastação da obra pode ser de duas em diante, a gosto do artista.
Refletindo o ladrilho ou peça fundamental, e repetindo iterativamente a imagem, gera- se uma seqüência de ladrilhos que se complementam e se encaixam, tanto na horizontal quanto na vertical do plano, pavimentando desta forma o plano infinito com o mesmo ladri- lho. Para trabalhar o contraste do quadro, pinta-se cada peça alternada com cores distintas, como nos mostra a figura 4.32.
Figura 4.32: Exemplo de pavimentação por reflexão com o ladrilho construído.
É relevante observar que uma pavimentação por reflexão pode apresentar uma série de eixos de reflexão, cuja quantidade é de difícil estimação, principalmente porque toda reflexão pode ser em relação a uma reta ou um ponto, e tanto a rotação quanto a translação podem ser sempre decompostas em reflexões consecutivas, como visto no capítulo 2 deste trabalho.
Consequentemente, isto nos traz uma gama de possibilidades de construir uma pavi- mentaçao por reflexão, exponencialmente proporcional ao número de lados do polígono fun- damental utilizado. Por exemplo, poderiamos usar as arestas, as diagonais ou mediatrizes do polígono com eixos de simetria, ou então uma combinação variada delas, ou ainda mais usar reflexão em relação aos pontos médios das arestas, etc...
Em suma, as diversas possibilidades constituem uma riqueza de ferramentas que foram abilidosamente exploradas por Escher.
Figura 4.34: As pavimentações por reflexão também possuem pontos fixos, que são os cen-
tros de reflexão (e portanto centros de rotação de 180º simultaneamente).
Para ilustrar a afirmação feita acima, repare na figura 4.34, onde o ponto marcado é um ponto fixo por ser centro de reflexão. Como toda reflexão em relação a um ponto pode ser interpretada como uma rotação de 180º, a pavimentação também possui um centro de rota- ção. Complementando, na figura 4.35, percebes-se claramente que a reflexão pode ser substi- tuída ainda por uma composição de uma rotação de 90º (1) com uma translação (2).
Figura 4.35: A reflexão pode ser substituída ainda por uma composição de rotação de 90º (1)
Matematicamente, todas as pavimentações artísticas produzidas para pavimentar por reflexão, possuem as seguintes propriedades matemáticas:
a) Todos os ladrilhos são congruentes.
b) Todos os ladrilhos possuem a mesma área e perímetro. c) As pavimentações originais não precisam ser regulares. d) É admitido mais de um tipo de vértice.
e) Possuem diversos eixos de simetria, todos perpendiculares ou paralelos entre si. f) Os eixos de simetria podem ser coincidentes com as arestas, diagonais ou mediatri-
zes do polígono fundamental.
g) Admitem infinitos pontos fixos por reflexão.
h) Podem ser compostas por reflexões centrais, axiais ou mistas.
i) Se compostas por reflexões centrais admitem centros de rotação de 180º. j) Não admitem ladrilhos invariantes.
k) Podem ser decompostas ou compostas com translações e rotações, gerando as refle- xões transladadas ou reflexões deslizantes que constituem a maior parte dos trabalhos de Escher.
4.5 Criações Artísticas Sobre as Pavimentações
Um das grandes idéias de M. C. Escher, tão impressionante quanto usar as ferramentas matemáticas da geometria ou os estudos cristalográficos para desenvolver suas obras, foi tra- balhar a noção de perspectiva e seus dotes artísticos para introduzir tridimensionalidade em seus trabalhos, produzindo uma dinâmica única e cativante, encantando matemáticos, artistas e apreciadores de artes de todas as épocas.
Este capítulo, bem como este trabalho, serão finalizados com uma breve mostra destas obras de arte, que creio, podem ser melhor apreciadas pelo leitor agora que já possui uma idéia mais apurada da “mecânica” por trás criação destes desenhos tão belos.
Figura 4.37: Da esquerda para direita: Day and Night (1938); Xilogravura Nº 18.
Figura 4.39: Da esquerda para direita: Swan (1942); Xilogravura Nº 36.
Figura 4.40: Da esquerda para direita: Encouter (1944); Xilogravura Nº 63.