7. Results
7.6 Testing of polymers and combining coagulation-flocculation with filtration
7.6.1 Gardermoen wastewater treatment plant
Na Seção 4.3.1 encontramos uma equação para o momentum angular de uma estrela. Consideremos agora um planeta tipo Júpiter de raio Rpl e massa Mpl, com
um período de rotação de Ppl,rot. Usando as mesmas argumentações usadas para as
estrelas, podemos dizer que
Lpl = 2π
MplR2pl
Ppl,rot
(4.32) em que Ppl,roté o período de rotação do planeta, igual a 2π/ωpl.
Para encontrar o período de rotação do planeta, consideramos a obliquidade ǫ = 0, e podemos usar a expressão dada por Correia & Laskar (2010)
Porb Ppl,rot = 1 + 15e 2 /2 + 45e4 /8 + 5e6 /16 (1 + 3e2+ 3e4 /8)(1 − e2)3/2 (4.33)
em que Porbé o período orbital do planeta.
Um outro caminho para encontrar o valor da velocidade angular de rotação do planeta é considerar a sincronização da mesma, que ocorre após o acoplamento de maré. Assim, pelas leis de Kepler, temos que a frequência angular planetária ωpl será
função da massa estelar M⋆ e do semieixo maior da órbita a, conforme a equação 3.1:
ωpl =
r M⋆G
Resultados e discussão
Magnetic fields are to
astrophysicists what sex is to psychoanalysts.
Henk van de Hulst
5.1
Amostra de trabalho
As diferentes questões tratadas nesta tese dependem de vários parâmetros físicos, tanto planetários quanto estelares, de modo que o tamanho da amostra traba- lhada está relacionada diretamente com a existência ou não de valores para todos os parâmetros necessários. Os fatores que mais limitaram nossa amostra foram as me- didas de fluxo de cálcio para as estrelas hospedeiras e o raio planetário. Um aspecto que também levamos em conta foi o tipo do planeta estudado: somente trabalha- mos com os jupíteres quentes e com as superterras, ou seja, planetas que possuem núcleos similares a Júpiter ou a Terra, de tal modo que podemos inferir sobre a com- posição interna dos mesmos. Esta escolha não foi arbitrária, mas seguiu um critério de objetividade na hora de estimarmos os momentos magnéticos e os momentum angulares.
No momento em que definimos nossa amostra existiam 695 planetas extrasso- 102
lares catalogados, dentre os quais 659 possuíam semieixos determinados. A partir desta amostra selecionamos 208 planetas extrassolares que estão a distâncias meno- res que 0,1 UA da sua estrela hospedeira, entretanto, três dentre eles não possuem massas determinadas e 59 possuem massas abaixo da massa de Saturno. Dentre os 146 potenciais jupíteres quentes restantes da amostra 25 não possuem raios determi- nados ainda. Aqui estamos interessados somente em planetas que orbitam estrelas da sequência principal e que possuam valores de log R′
HK determinados na literatura,
de modo que nossa amostra final de jupíteres quentes é formada por 50 planetas (Fig. 1.2).
Quanto a escolha das superterras, no momento em que definimos nossa amos- tra existiam 51 planetas com massa menor que 10 massas terrestres catalogados den- tre as quais, infelizmente, somente 3 possuíam raios determinados e medidas para fluxo de cálcio, de modo que ficamos com apenas 3 superterras em nossa amostra final.
A Fig. 5.1 apresenta o diagrama HR para as estrelas hospedeiras de nossa amostra, enquanto a Fig. 5.2 ilustra o diagrama semieixo - massa para os planetas extrassolares da amostra, separados por tipos espectrais: nossa amostra final é com- posta por estrelas F, G e K, sendo que as superterras estão todas em torno de estrelas tipo K. Mostramos ainda, na Fig. 5.1 e na Fig. 5.4 a distribuição por classes de lumi- nosidade e por tipos espectrais para todos os planetas conhecidos no momento em que definimos nossa amostra, a fim de ilustrar que a maior parte dos planetas desco- bertos o são em torno de estrelas da sequência principal, com tipos espectrais F, G e K. Observamos ainda que existe uma considerável quantidade de estrelas sem tipos espectrais e/ou classes de luminosidade determinados na literatura. Nesta tese, isto não criou um problema na hora de definir a amostra.
A Tabela C.1 (Apêndice C) fornece a lista de objetos selecionados neste traba- lho, incluindo as três superterras: 55 Cnc e, CoRoT-7 b e HD 97658. Os parâmetros planetários foram retirados da Enciclopédia dos Planetas Extrassolares1, mantida por
Figura 5.1: Diagrama de Hertzsprung-Russell para as estrelas de nossa amostra. Os símbolos fechados representam as estrelas que hospedam as superterras, enquanto os símbolos abertos representam as estrelas hospedeiras dos jupíteres quentes. O Sol é representado por ⊙, para fins comparativos. Os traçados evolutivos são de do Nascimento Jr. et al. (2000).
CoRoT-7
55 Cnc e
HD 97658 b
Figura 5.2: Diagrama a - Mpl para os planetas extrassolares de nossa amostra: 50
Figura 5.3: Direita acima: Distribuição de todos os planetas encontrados até o mo- mento por classes de luminosidade.
Figura 5.4: Distribuição de todos planetas encontrados até o momento por tipos es- pectrais. Em ambos os gráficos, o ponto de interrogação “?” indica que as estrelas que hospedam estes planetas não possuem o tipo espectral (ou a classe de luminosidade) definidos na literatura.
Jean Schneider(Schneider et al. (2011)). Os parâmetros estelares retirados desta En- ciclopédia são: massa, raio e temperatura efetiva. Observe que em nossa análise necessitamos de uma medida de fluxo de cálcio para as estrelas hospedeiras de pla- netas, o que também foi um fator limitante para o tamanho da amostra. Os indicadores de cálcio foram obtidos da literatura e as referências podem ser encontradas na Ta- bela D.1 (Apêndice D). Selecionamos também uma amostra para comparação (ver Tabela F.1, Apêndice F), composta por 126 estrelas F, G e K sem planetas detectados até o presente momento, todas da sequência principal. Estas estrelas foram selecio- nadas a partir do catálogo SPOCS (Valenti & Fischer (2005)), de onde tiramos todos os parâmetros necessários para nossa análise. Veja a tabela F. Esta amostra com- parativa é importante pois a usamos como controle para verificar que propriedades estelares são afetadas pela presença de um planeta.
5.2
Atividade cromosférica
Como vimos na Seção 3.3.3, o índice de cálcio log R′
HK nada mais é que uma
função do índice de cor (B − V) da estrela. Entretanto, quando olhamos para os valores de (B − V) para as estrelas da nossa amostra, observamos que vários destes valores dados na literatura não são compatíveis com a temperatura efetiva e o tipo espectral. Por esta razão, adotamos para algumas das nossas estrelas os valores de índice de cor dados por Knutson, Howard & Isaacson (2010). Além disso, em nossa amostra temos valores de R′
HK para todos as objetos, entretanto é importante
salientar que os valores de R′
HK e SHKsomente são calibrados para (B − V) entre 0,5
e 1,4. Obviamente, os valores fora deste intervalo de índice de cor devem ser tratados com prudência. Os objetos para os quais isto ocorre são apresentados na tabela 5.1. Tabela 5.1: Objetos de nossa amostra que se encontram fora do intervalo ideal de (B − V) para estimativas do fluxo de cálcio usando as equações Eq. 3.9 e Eq. 3.12.
Planeta Mpl Rpl a Tipo (B − V) MJ RJ UA Espectral HAT-P-2 b 8,74 ± 0,26 0,951+0,039 −0,053 0,0674 ± 0,00081 F8 0,463 ± 0,016 HAT-P-6 b 1,057 ± 0,119 1,33+0,061 −0,061 0,05235 ± 0,00087 F 0,41 HAT-P-7 b 1,8 ± 0,063 1,421+0,144 −0,097 0,0379 ± 0,0004 0,44a HAT-P-9 b 0,67 ± 0,08 1,4 ± 0,06 0,053 ± 0,002 F 0,48a WASP-14 b 7,725+0,43 −0,67 1,259 +0,08 −0,058 0,037 ± 0,001 F5V 0,449 ± 0,003 WASP-15 b 0,542 ± 0,05 1,428 ± 0,077 0,0499 ± 0,0018 F7 0,4 WASP-18 b 10,43 ± 0,4 1,165 ± 0,077 0,02047 ± 0,00038 F6 0,49 ± 0,015 WASP-3 b 2,06 ± 0,13 1,454 ± 0,084 0,0313 ± 0,0001 F7V 0,44 ± 0,01 XO-3 b 11,79 ± 0,59 1,217 ± 0,073 0,0454 ± 0,00082 F5V 0,46a XO-4 b 1,72 ± 0,2 1,34 ± 0,048 0,0555 ± 0,0011 F5V 0,47a aOs valores de (B − V) para estas estrelas foram retirados de Knutson, Howard & Isaacson (2010),
pelas mesmas razões apresentadas em seu trabalho.
Na Fig. 5.5 mostramos os valores de R′
HK como função da temperatura efetiva
Tef tanto para a amostra de estrelas hospedeiras de planetas quanto para a amostra
comparativa. Observamos que não existe nenhum diferença no comportamento des- sas amostras: estão igualmente distribuídas em intervalos de temperatura efetiva e de fluxo de cálcio. Isto dar-nos segurança para usar esta amostra de comparação.
Na Fig. 5.6 mostramos log R′
HK versus (B − V) tanto para as estrelas hospe-
Figura 5.5: Atividade cromosférica como função da temperatura efetiva. Os símbo- los fechados representam as estrelas sem planetas detectados até o momento (126 objetos), enquanto os símbolos abertos representam nossa amostra de estrelas com planetas (53 objetos).
Figura 5.6: Indicador da atividade cromosférica log R′
HK como função do índice de cor
(B − V). As superterras são assinaladas em vermelho, os jupíteres quentes, em preto e as estrelas sem planetas detectados, em azul.
nenhuma diferença marcante entre as duas amostras, ambas seguindo a tendência de crescimento do indicador de atividade cromosférica com o aumento do índice de cor.
Para controle mais sólido desta análise comparativa realizamos um teste K - S sobre as distribuições de R′
HK em ambas as amostras (veja Apêndice A para detalhes
sobre este teste estatístico).
A Fig. 5.7 mostra a distribuição cumulativa para a amostra de estrelas com planetas e aquela composta por estrelas sem planetas detectados até o momento. Observando esta figura, verificamos que estas duas amostras apresentam uma pro- babilidade de divergência (D = 0, 24) de 16%, o que apenas reforça a discussão feita em Canto Martins et al. (2011) sobre a não existência de evidência clara de que a presença de um planeta em torno de uma estrela contribua para um aumento em sua atividade.
É importante salientar que nossa amostra de planetas extrassolares é com- posta unicamente por planetas próximos à estrela hospedeira, conforme ilustrado na Fig. 5.8. Nela observamos que o comportamento do indicador de atividade cromosfé- rica é bastante similar ao comportamento do indicador de atividade coronal, quando fazemos a comparação entre a Fig. 5.8 e a Fig. 5.9 (uma reprodução da Fig. 5 de Poppenhaeger, Robrade & Schmitt (2010).
O mesmo comportamento é visto na Fig. 5.10, na qual fizemos o indicador do fluxo de cálcio como função do produto da massa planetária com o inverso da distância orbital. O estudo de Poppenhaeger, Robrade & Schmitt (2010) é sobre luminosidade de raio-X e indicador de atividade em raio-X. Os autores mostram que não existe evidências que atestem um aumento na atividade coronal induzida pela presença de uma planeta próximo à estrela. Conforme mostra Das Chagas em sua dissertação, tanto o comportamento visto nas figuras Fig. 5.8 e Fig. 5.10, quanto aquele visto na Fig. 5.9, deve ser atribuído a efeitos de seleção amostral. Para maiores detalhes deste resultado em particular recomendamos a leitura de Das Chagas (2010) e nosso
Figura 5.7: Distribuição cumulativa do indicador da atividade cromosférica log R′ HK
para as estrelas com planetas (curva sólida) e as estrelas sem planetas (curva trace- jada). A probabilidade P de que ambas as amostras venham de uma mesma distribui- ção é de aproximadamente 16% para uma divergência máxima de 0,24.
trabalho de 2011 (Canto Martins et al. (2011)).
Resumindo, no que concerne à atividade estelar como produto da presença de um planeta, nossa análise corrobora os trabalhos de Das Chagas (2010) e (Canto Martins et al. (2011)): mostramos que nenhuma clara evidência é encontrada no com- portamento de log R′
HKque possa ser atribuída a interação estrela - planeta. Inclusive,
HD 80606
HD 17156
WASP-2
Figura 5.8: Indicador da atividade cromosférica log R′
HK como função do inverso do
semieixo maior planetário log(a−1) para nossa amostra de estrelas hospedeiras de
5.
Resultados
e
discussão
116
Fig. 5.X-ray luminosity and activity indicator log(LX/Lbol) as a function of log apl and log(a
−1
pl ×Mpl), respectively. XMM-Newton detections:
triangles, ROSAT detections: squares.
Figura 5.9: Reprodução da Fig. 5 de Poppenhaeger, Robrade & Schmitt (2010). Na figura, Lx é a luminosidade de raio-X, indicador
de atividade coronal. Para maiores detalhes, veja a dissertação de Das Chagas (2010). Fonte: Poppenhaeger, Robrade & Schmitt (2010).