C LIMATE AND M ETEOROLOGY

CHAPTER 3. STUDY AREA

3.1 C LIMATE AND M ETEOROLOGY

Iniciaremos nosso estudo, calculando o valor da constante D que além de mostrar como é a competição dos sítios por ligações, fornece também o comportamento da dis- tribuição de conectividade do sistema. Para obter essa constante, usaremos a equação

4.10, escrita logo abaixo:

1 = ηZmax 0 dη ρ(η)_D 1 η − 1 ,

onde a distribuição de qualidade é expressa da seguinte forma:

ρ(η) = Aηα (4.18)

e sua normalização é

Z 1 0

ρ(η) dη = 1. (4.19)

Assim, obtemos o valor de A = α + 1. Notemos que se α for um número negativo, então a distribuição de qualidade diverge para α > 2, assim estudaremos somente o efeito da variação dos valores de α positivos.

Colocando a equação4.18na4.10e fazendo uma mudança de variável , y = D −η, obtemos a seguinte equação integral para D:

1 A = Z D D−ηmax dy (D − y) α+1 y . (4.20)

De acordo com a equação4.9, cada sítio terá um expoente dinâmico diferente, dado por β ∼ _Dη, onde o valor de D dependerá do α escolhido para o sistema. O caso em que α = 0,

temos a distribuição de qualidade constante. Os gráﬁcos 4.6 e 4.7 mostram respectiva- mente: o comportamento do expoente dinâmico (de um sítio com qualidade igual a 1) versus α do sistema e o ilustra como o valor de C varia com α.

É interessante notar no gráﬁco interior 4.6, o fato da qualidade média tender ao valor um, juntamente com o comportamento de β tender ao valor 0.5 faz com que nesse limite a rede se comporte como o modelo BA. Também podemos veriﬁcar que um alto valor de α, diminui a taxa com que o sítio obtém ligações bem como a competitividade do sistema por ligações, devido ao expoente β estar intimamente relacionado com a evolução da conectividade dos sítios, que é justamente a interpretação da equação4.3.

Outro ponto interessante a ser estudado é o valor de D, já que a partir da relação β ∼ η/D(α), podemos entender como ocorre a competição numa rede que possui a mesma estrutura sugerida inicialmente pelo modelo de qualidade. Para isto analisamos o gráﬁco

4.7 que fornece diferentes valores de D para α’s diferentes. Com esse gráﬁco é possível obter a evolução da conectividade dos nós. É interessante notar que quando α → ∞, o valor de D tende para 2, que é o mesmo valor obtido para o modelo BA. Estes dados poderiam ser obtidos através de simulação quando calculamos a <P_iηiki > /mt → D(α)

no limite de t → ∞, obtendo os mesmos resultados como no gráﬁco 4.3. Este método apresenta um trabalho computacional maior.

Os gráﬁcos que vimos até esse momento nessa seção dão indícios que a exten- são do modelo de Bianconi-Barabási possui dois casos limites: o modelo com qualidade constante quando α = 0 e o modelo BA quando α → ∞.

Vejamos a dependência temporal da conectividade, kη(t, t0), exibida na ﬁgura4.8.

Os sítios com qualidade alta são mais competitivos por ligação. A medida que o valor de α é aumentado, minimizamos a importância de um sítio possuir uma qualidade alta (quando α → ∞ as qualidades dos sítios tendem a serem semelhantes). Assim, vemos que α modiﬁca as propriedades topológicas da rede que nós estudamos. Esse comporta- mento está ilustrado nos gráﬁcos4.8e4.9(este último, ilustra a dependência de β com a qualidade e α). Além do mais, podemos a partir do gráﬁco4.9obter os valores de D para diferentes sistemas (redes com diferentes valores de α), lembrando que β = η/D e assim basta usar os valores de η e β obtidos no gráﬁco para calcular D.

Sobre a distribuição de conectividade podemos observar a partir da equação4.14

que P (k) depende de α, ou seja, P (k) depende do expoente da lei de potência ρ(η) = Aηα_.

para diferentes valores de α. O expoente γ obtido no gráﬁco vai desde 2.255 (modelo de qualidade com ρ constante) até 3 (modelo BA). Podemos perceber também pelo gráﬁco

4.10 que a variação de γ é pequena, porém a maioria das redes reais apresentam γ no intervalo [2; 3]. Outro ponto que é observado é a diminuição de pólos a medida que α aumenta sendo os casos limites o modelo de Bianconi com α = 0 que possui nós com pólos muito mais conectados do que os do modelo de Barabási ou com α > 0. Esse fato é explicado da seguinte forma: se um sítio nasce no tempo em que a rede foi criada e possui uma alta qualidade, este seguramente terá uma alta conectividade. Agora, se o sítio tiver só uma alta qualidade ou se for velho na rede, será menos provável que este tenha uma alta conectividade. Por isso, vemos no gráﬁco4.10 que o modelo de Barabási ou de qualidade estendido com α grande possui sítios com menor número de conexões comparado ao modelo estendido com o expoente α pequeno.

Como vimos nos capítulos introdutórios, o menor caminho médio e o coeﬁciente de agregação estão relacionados com a conectividade dos sítios ou seja, com a distribuição de conectividade. Desta forma, esperamos que estas duas quantidades não sejam iguais para diferentes valores de α, devido às diferentes curvas observadas de P (k) no gráﬁco

4.10.

O gráﬁco 4.11 ilustra o comportamento de mundo pequeno, pois o menor cami- nho cresce com log(N). Observamos também que o modelo BA apresenta uma distância média entre os sítios maior quando comparado com o modelo de qualidade estendido para qualquer valor de α. Por ﬁm, podemos através dos gráﬁcos 4.11 e 2.15 dizer que as redes aleatórias possuem um menor caminho médio maior que o modelo BA e do que o modelo estendido. Queremos enfatizar que esta quantidade (menor caminho médio) é de extrema importância para vários sistemas na natureza e na tecnologia, por exemplo, a rede rodoviária (capítulo posterior), a Internet, entre outros. Outro exemplo é a rede da cadeia alimentar, onde o menor caminho médio é a distância na cadeia alimentar entre a presa e o predador, se < l >= 1 todos são predadores ou presas um do outro, por outro lado se < l >= 2.65 (dado da tabela2.1) [31] existe uma determinada hierarquia entre os animais na cadeia alimentar.

O estudo do coeﬁciente de agregação da rede com diferentes valores de α e os resultados são apresentados no gráﬁco 4.12. Analisando e comparando os gráﬁcos 4.12

e 2.16, vemos que o modelo de qualidade estendido com α = 0 (competitividade alta) possui um coeﬁciente de agregação maior do que aqueles encontrados em todos os outros modelos citados nessa tese. Ao aumentarmos o valor de α fazemos com que o coeﬁciente

de agregação diminua até chegar no valor limite que é o do modelo BA. Outro fato obser- vado, é que ao aumentarmos o número de ligações,m , adicionadas a cada passo de tempo, aumentamos o valor deste coeﬁciente porém seu expoente é inalterado. Lembrado que grafos que não possuem circuitos, possuem coeﬁciente de agregação nulo. Devido a este fato, não foi colocado dados sobre este coeﬁciente em redes com m = 1. Esta quantidade local, esta associada com o número relativo das conexões entre os vizinhos mais próximos de um determinado nó, assim entendemos que uma rede com elevado coeﬁciente de agre- gação possuirá uma alta correlação. Ressaltamos que quando o tamanho da rede tende ao inﬁnito, o coeﬁciente de agregação do modelo BA e do modelo de qualidade estendido, vão a zero.

0 50 100 150 200 250 300 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0 50 100 150 200 250 300 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 < >

Figura 4.6: Modelo de qualidade estendido: o gráﬁco mostra o comportamento de um sítio com qualidade igual a 1 ao variarmos o valor do expoente α. O gráﬁco interno esboça o comportamento assintótico do valor médio de uma rede com ρ = Aηα_{. Resultados obtidos}

0

50

100

150

200

250

300 α

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1 D

0

50

100

150

200

250

300

Figura 4.7: Modelo de qualidade estendido: Comportamento assintótico de D obtido através da equação4.20. Para isso basta ﬁxar o valor de α e resolver a equação.

10 t/t₀

10 k

η

(t,t

0 =9)

α=0.0; η=0.3

α=0.0; η=0.9

α=0.7; η=0.3

α=0.7; η=0.9

Figura 4.8: Resultado da simulação do modelo de qualidade estendido (rede com N = 105

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9 η

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8 β(η)

α=0.0

α=0.2

α=0.5

α=1.0

α=2.0

Figura 4.9: Dependência temporal da conectividade, β(η), para sítios com diferentes qua- lidades e com diferentes α. Notemos que com o aumento do fator de qualidade, a cone- ctividade do sítio cresce muito mais rapidamente durante a evolução da rede. Estatística sobre 1000 amostras em uma rede com tamanho de 100000 sítios e m = 1.

10 k

10

-6

10

-4

10

-2

10 P(k)

α=0.0

α=0.2

α=0.5

α=0.7

α=1.0

α=2.0

modelo BA

Figura 4.10: Resultado da distribuição de conectividade acumulada do modelo de quali- dade estendido (3000 realizações para uma rede com N = 105 _{e m = 1): Observamos que}

10 N

4

4.5

5

5.5

6 < l >

modelo BA

α=300

α=2.0

α=1.0

α=0.7

α=0.5

α=0.2

α=0.0

m=2

Figura 4.11: Resultado da simulação numérica do modelo de qualidade estendido (80 realizações para uma rede com diferentes tamanhos e m = 2): Menor caminho médio versus o tamanho da rede em escala linear-log.

10 N

10

-3

10

-2

10

-1

C

α=0.0

α=0.2

α=0.5

α=0.7

α=1.0

α=2.0

α=300

modelo BA

m=2

Figura 4.12: Resultado da simulação numérica do modelo de qualidade estendido (80 realizações para uma rede com diferentes tamanhos e m = 2): Coeﬁciente de agregação total versus o tamanho da rede no gráﬁco log-log. O coeﬁciente de agregação para o modelo BA simulado segue uma lei de potência C ∼ N−0.79 _{enquanto para o modelo de}

TRÁFEGO VEICULAR EM REDES COMPLEXAS

Neste capítulo, estudaremos como o congestionamento se alastra em uma rede quando submetido a um ﬂuxo crescente de carros entre certas regiões até o colapso total deste sistema. Nesse sentido, desenvolveremos dois modelos de tráfego veicular e apli- caremos eles na rede Apoloniana e na rede rodoviária suíça. O primeiro modelo é um análogo elétrico, usando resistores ôhmicos e não ôhmicos, que é um problema clássico na Física. Este é baseado na conservação do número de veículos e permite uma forma rápida e fácil de estudar a formação de congestionamentos em sistemas com um grande número de ruas e cruzamentos. Neste modelo, a medida que a pressão dos motoristas é aumentada, as ruas congestionam, como resistores queimam a medida que a diferença de potencial entre as extremidades ultrapassa um limiar. O segundo modelo que chamamos de modelo de rebanho, é baseado no comportamento do motorista e apresenta a conser- vação do número de carros. Na sequência, analisaremos, para ambos os modelos, o ﬂuxo total em todas as ruas, o ﬂuxo nas saídas do sistema, o comportamento do número total de ruas congestionadas. Estudaremos também a dependência das características topológicas da rede e compararemos o modelo elétrico com o modelo de rebanho.

5.1 Introdução

Os sistemas sociais têm atraído a atenção dos físicos por suas intrigantes cara- cterísticas, como interações de longo alcance, efeitos de memória longa, fractalidade, não linearidade, leis de potência, transições de fase entre outras. Nestes sistemas, as pes- soas estão conectadas por uma rede [2,3,9,37,78] e é possível que uma inﬂuencie o com- portamento e as decisões da outra. Neste sentido, iremos explorar como este princípio básico fornece um campo de processos sociais [78–82] em que a rede serve como um agre- gador dos comportamentos individuais, produzindo uma coletividade como são os casos do tráfego veicular, da Internet, da forma com que as epidemias [19] e as crises ﬁnan- ceiras [83] se espalham ao redor do mundo, estouros de atividades neuronais [84] entre outros. Estes e vários outros são fenômenos que envolvem redes, incentivos e comporta- mento de agregação dos grupos.

Um cenário interessante nos sistemas sociais é o de pânico onde vemos uma mul- tidão, por exemplo, escapando de um edifício em chamas ou saindo de uma região parti- cular de uma cidade devido a um ataque terrorista. Esta situação expõe a vulnerabilidade e as falhas na infraestrutura da rede em suportar situações extremas. Uma simples evento inicial desencadeia uma avalanche de falhas [85,86], que se espalha tipo cascata dentro da rede e por ﬁm paralisa ou colapsa grande parte do sistema.

As redes complexas são formadas por um conjunto de N sítios (nós ou vértices) e ligações (arestas) que conectam pares de sítios no sistema. Estas ligações podem trans- portar qualquer coisa como é o ﬂuxo de carros numa rua, corrente elétrica nos ﬁos ou o ﬂuxo de líquidos na rede de esgoto usado para drenar a água das construções e das chuvas.

O estudo do ﬂuxo de tráfego tem como objetivo compreender o tráfego global a partir do comportamento individual dos motoristas. Desde 1950, pesquisadores de dife- rentes campos já sugeriram mais de 100 diferentes modelos [82]. Estes modelos podem ser organizados em:

• microscópico [87–89,89–91]; • macroscópico [92,93];

• mesoscópico (gás cinético) [94];

físico Pipes [87]. Tais modelos, consideram que a aceleração de um motorista seja deter- minada pelo carro da frente. Por outro lado, os modelos macroscópicos [92,93] se limi- tam na descrição da dinâmica coletiva dos veículos em termos da densidade espacial dos veículos nas faixas e a velocidade média como função da localização na rodovia x e do tempo t. Do ponto de vista de eﬁciência numérica, os modelos macroscópicos são pre- feríveis em relação aos modelos microscópicos, mas ambas técnicas são menos eﬁcientes quando comparadas aos modelos baseados em autômatos celular. Os modelos de tráfego mesoscópico [94] descrevem a dinâmica do veículo em função de campos macroscópicos. A ideia principal deste trabalho é entender o cenário onde muitas pessoas deixam uma cidade ou região. A razão pode ser uma ameaça de um ataque militar ou de um de- sastre natural (furacões, erupções vulcânicas, etc) mas poderia ser também, a evacuação de um público ao ﬁm de uma partida em um estádio. Para simular esta situação, ire- mos introduzir dois novos modelos de tráfego veicular. O primeiro modelo é um modelo elétrico [85,86,95,96], baseado em resistores ôhmicos e não-ôhmicos que é uma abordagem clássica na Física. Este é baseado na conservação do número de veículos e providência uma forma rápida e fácil de acompanhar a formação de congestionamentos em grandes sistemas onde as ruas são representadas por fusíveis. O segundo modelo que chamamos de modelo de rebanho, é discreto e baseado no comportamento humano do motorista, além de conservar o número de carros. Para analisar como as ruas se congestionam e suas consequências no ﬂuxo dos carros até o colapso do tráfego [97,98], aplicaremos nos- sos modelos na rede Apoloniana (Figure 5.1) [99–110]. Esta é uma rede complexa bem conhecida que exibe propriedades vistas em redes reais, por exemplo, distribuição de co- nectividade livre de escala bem como estruturas hierárquicas e mundo pequeno. Por ﬁm, aplicaremos o modelo elétrico na rede rodoviária suíça onde temos as velocidades máx- imas permitidas, as extensões e as posições geográﬁcas das várias ruas da malha. Este dados foram fornecidos pela Swiss Bundesamt für Raumentwicklung.

O plano deste capítulo é como segue: a seção5.2é dedicada a descrição do modelo elétrico e ao método computacional usado para simular o tráfego veicular enquanto a seção seguinte descreve e apresenta o algoritmo do modelo de rebanho. Por ﬁm, na seção

Figura 5.1: Terceira geração da rede Apoloniana. O ponto azul e os quadrados vermelhos representam, respectivamente, o ﬂuxo de entrada e o ﬂuxo de saída.

5.2 Modelo Elétrico

Este modelo trata o tráfego veicular como um sistema elétrico, considerando os veículos como elétrons, as ruas como fusíveis, o ﬂuxo de carros como a corrente elétrica, a diferença de potencial entre dois pontos como a necessidade que um grupo de veículo tem em se deslocar entre duas regiões, a condutância de um fusível como ﬂuidez e por ﬁm uma rua congestionada como um fusível queimado. Neste modelo, mapeamos a malha rodoviária numa rede elétrica e a representamos por um grafo direcionado G = (N, S) onde os vértices i ∈ N := 1, ..., n (ver a ﬁgura5.1) e cada ligação é um fusível com uma condutância ôhmica, σ_jkl = ( vmax jk /ljk se |Vj− Vk| ≤ ∆Vc 0 se |Vj− Vk| > ∆Vc (5.1) onde ∆Vc é a diferença de potencial crítica, Vj é o potencial no sítio j, v_jkmax é a velocidade

máxima permitida e ljk é o comprimento da rua entre os sítios j e k. Isto signiﬁca que o

valor da condutância não varia com o aumento do potencial externo aplicado até a dife- rença de potencial crítica ∆Vcser excedida, queimando o fusível, o que resulta num fusível

com condutância nula. Nesta deﬁnição consideramos que a velocidade é dada em Km/h e o comprimento da via em Km, sendo a razão entre o módulo destas duas grandezas a condutância que usamos em nosso modelo. O sistema de unidade adotado em nossa rede elétrica é o sistema internacional (S.I.).

O motivo por termos escolhido a expressão5.1é simples, os motoristas preferem caminhos curtos e rodovias rápidas do que ruas longas e lentas, i.e., motoristas desejam

economizar tempo em seus trajetos. Logo, ﬁzemos a condutância inversamente propor- cional ao tempo gasto pelo motorista ao se dirigir do cruzamento j ao i.

Para evitar um mal entendimento no mapeamento do problema na rede elétrica em relações às unidades físicas, daremos um exemplo simples que ilustra o problema e seu comportamento fundamental. Imagine uma rua com o comprimento de 10 Km e velocidade máxima permitida de 100 Km/h, pela equação5.1, a condutância do fusível que representa essa rua será de 10 A/V , pois no mapeamento que ﬁzemos, consideramos apenas o módulo da velocidade em Km/h e o comprimento da via em Km. Desta forma aplicando uma diferença de potencial de 10 V , teremos uma corrente elétrica de 1 A. À medida que a diferença de potencial é incrementada, a condutância ﬁca inalterada por estarmos tratando, por hora , de um condutor ôhmico, porém uma vez que a diferença de potencial ultrapassa ∆Vc, o fusível queima e a corrente vai a zero (ver a ﬁgura5.2).

Uma descrição mais realística do tráfego veicular é dado pelo diagrama funda- mental do ﬂuxo de tráfego onde a relação empírica entre o ﬂuxo e a densidade numa primeira aproximação pode ser descrita por uma parábola inversa [90,111] o que corres- ponde à uma condutância não-ôhmica, σnl

jk(t). Em outras palavras, a condutância varia

com o potencial externo aplicado e vai a zero suavemente quando se aproxima da dife- rença de potencial crítica (ver a ﬁgura5.2), diferentemente do que ocorre com uma con- dutância ôhmica. Para o modelo que contém este tipo de fusível, chamaremos de modelo elétrico não-ôhmico. A condutância para a versão não ôhmica do modelo elétrico depende do comprimento ljk, da velocidade máxima permitida v_jkmaxe da diferença de potencial en-

tre os sítios k e j no passo anterior, Vk(t − 1) − Vj(t − 1), ou seja,

Se a diferença de potencial aplicada sobre um fusível exceder ∆Vc, este é queimado

permanentemente, tornando-se um isolante. Observe que o nosso trabalho sobre o con- gestionamento das ruas se resume ao estudo da queima dos fusíveis quando aplicada um diferença de potencial na rede elétrica. Para entender esse processo de queima, inicial- mente, escolhemos os sítios da rede em que serão aplicados os potenciais externos. Então,

calculamos as voltagens nos outros vértices, utilizando a lei de Kirchhoff: X

Ijk = 0 ∀j, (5.3)

onde Iijé a corrente elétrica que vai do sítio j para seu vizinho k. Observe que as condições

iniciais deﬁnem a direção das correntes e que a equação anterior obedece a conservação de carga. A corrente que passa por um fusível pode ser escrita em termos da sua condutância e da diferença de potencial aplicada, como segue

Ijk = σjk(Vk− Vj), (5.4)

onde Vje Vksão , respectivamente, os potenciais nos sítios j e k enquanto σjké a condutân-

cia entre os sítios j e k.

A partir das equações5.3e5.4, obtemos as equações lineares acopladas, X k σjk(Vk− Vj) = X k σjkVk− Vj X k σjk = 0. (5.5)

que uma vez resolvidas, teremos os potenciais para cada um dos dos sítios da rede. As- sim, a corrente em cada fusível pode ser determinada pela equação5.4. Os fusíveis que excedem a diferença de potencial crítica ∆Vc, serão queimados, i.e., suas condutâncias vão

a zero. Depois disto, incrementamos o potencial externo e atualizamos as condutâncias de todos os fusíveis. Este processo é repetido a medida que o potencial externo é aumentado até que a corrente elétrica do sistema se torne nula, ou seja, até que o colapso da rede seja alcançada.

À primeira vista, podemos imaginar que uma rede com muitos sítios, ou seja, com uma grande quantidade de incógnitas não possui uma solução numérica para as equações5.5. Porém, a natureza do nosso problema, várias interações locais, faz com que a resolução das equações5.5se torne computacionalmente mais simples. Já que podemos escrever as equações lineares acopladas5.5 como A· x = b onde A é uma matriz esparsa (grande parte dos elementos da matriz são nulos). Do ponto de vista computacional, a solução de A· x = b pode ser acelerada e a simulação de grande redes torna-se possível desde que A seja esparsa. Para simular nosso modelo, usamos a rotina "sprsin" do livro Numerical Recipes in C [112]. Este é utilizado para armazenar de forma compacta uma matriz qualquer, desprezando os elementos menores que um valor limite, no nosso caso

valores menores e iguais a zero. Outra rotina utilizada foi a "Linbcg", também obtida do livro Numerical Recipes in C. Esta rotina resolve equações lineares esparsas pelo método iterativo do gradiente biconjugado. O número de interações depende da tolerância do erro em x que é inicialmente deﬁnido. No apêndiceB, discutimos em detalhes o método utilizando no cálculo numérico do nosso problema.

0 2 4 6 8 10 12

Voltagem(V)

0 20 40 60 80 100

I(A)

0 2 4 6 8 10 12

Voltagem(V)

0 5 10 15 20 25

I(A)

(a)

(b)

Figura 5.2: O diagrama fundamental da resposta da corrente-voltagem de um fusível ohmico (a) e um fusível não ôhmico (b) para uma velocidade máxima permitida de 100 km/h, diferentes comprimentos de rua e diferentes valores de Vc. Vc = 10V, compri-

mento=10 Km (linha preta), Vc = 10V, comprimento=15 Km (linha vermelha), Vc = 6V,

5.3 Modelo de Rebanho

In document Snow Avalanches on Svalbard: Investigating changes in depositional patterns and their palaeoclimatic significance (sider 54-58)

CHAPTER 3. STUDY AREA

3.1 C LIMATE AND M ETEOROLOGY

0

50

100

150

200

250

300

α

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

2.1

D

0

50

100

150

200

250

300

10

10

10

10

10

10

t/t0

10

10

10

10

k

η

(t,t

0

=9)

α=0.0; η=0.3

α=0.0; η=0.9

α=0.7; η=0.3

α=0.7; η=0.9

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

η

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

β(η)

α=0.0

α=0.2

α=0.5

α=1.0

α=2.0

10

10

10

t/t₀