A tarefa (Anexo 8) foi planeada para ter uma duração de 50 minutos mas, para a sua realização, foram necessárias duas aulas de 50 minutos. Os alunos levaram mais tempo que o previsto principalmente a concretizarem as respostas com justificação. A discussão coletiva foi um pouco prolongada.
O trabalho requeria novamente a distinção entre uma comparação absoluta e uma comparação relativa e a construção de razões, agora de forma mais formal. Também, introduzia informalmente a formação de proporções. No decorrer da monotorização do trabalho, constatei que alguns alunos ainda apresentaram dúvidas na perceção da diferença entre os dois tipos de comparação (absoluta e relativa). Revelaram dificuldades em compreender que uma situação pode apresentar um cenário diferente dependente do tipo de comparação que se efetua.
No primeiro item (Figura 5.2.1.) era pretendida uma comparação em termos absolutos. Os alunos teriam de aduzir quem havia marcado mais golos. Nesta situação, era o Rui, uma vez que marcou 5 golos e a Catarina só marcou 3 golos (5> 3).
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Figura 5.2.1. - Itens 1.1. e 1.2., tarefa 2.
No segundo item, os alunos tinham de apresentar a razão que representava a comparação entre o número de golos marcados e o respetivo número de remates surgindo as razões
e . Estes dois itens foram realizados por todos os alunos, sem
aparentes dificuldades.
A questão alínea c) do item 1.2. (Figura 5.2.1.), que requeria a comparação em termos relativos, foi a que suscitou dúvidas e alguma discussão entre pares. Os alunos teriam de analisar e comparar o número de golos em relação ao número de remates efetuados. Era suposto depreenderem que 3 golos marcados em 10 remates efetuados, era uma situação mais favorável, do que marcar 5 golos em 20 remates. No entanto, pude depreender que existiu alguma dificuldade da sua parte na compreensão de qual seria o melhor desempenho. A discussão entre os alunos assentava na ideia que, uma vez que 3 golos representavam menor quantidade do que 5 golos, não poderia representar um cenário de melhor desempenho. O diálogo entre Tomás e Carlos ilustra a questão discutida:
Tomás: A Catarina é que marcou mais golos em comparação com os remates!
Carlos: Não percebo! Como? Se a Catarina marcou menos, porque só marcou 3 golos, e 3 é menos que 5.
Tomás: Mas fez menos remates!
Carlos: Sim, está bem, mas 3 continua a ser menos do que 5, por isso marcou menos!
Tomás: Sim, mas tens de ver o número de remates. O Rui fez 20 remates, o dobro da Catarina. Se ela rematasse 20 vezes, fazia em vez de 3, 6 golos, que é o dobro. Por isso marcou mais, em relação ao Rui.
Esta discussão permitiu que Carlos alcançasse alguma compreensão sobre a relação entre o antecedente e o consequente que formavam as duas razões. O aluno pôde
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concluir que afinal 3 golos em 10 remates correspondia a melhor desempenho do que 5 golos em 20 remates, mas denotou-se que ficou algo apreensivo, pois não apresentou uma justificação completa (Figura 5.2.2.).
Figura 5.2.2. - Justificação apresentada, por Carlos.
Registaram-se respostas que evidenciaram o efetuar de uma comparação absoluta em vez de relativa, talvez decorrente de uma fraca interpretação do que era pedido, como no caso de Mariana (Figura 5.2.3.). A aluna relacionou inadequadamente o maior número de remates com o esforço e não com o desempenho. Ou seja, Mariana atendeu ao desempenho mas interpretando-o como esforço ou empenho, não como uma situação de sucesso. Conclui-se que a aluna não estabeleceu uma comparação entre o número de golos concretizados e o respetivo número de remates, em cada razão.
Figura 5.2.3. - Justificação incorreta apresentada, por Mariana.
Várias respostas apresentaram justificações semelhantes, como as de Tomás, Sílvia e Alice (Figura 5.2.4.) que evidenciaram ter efetuado uma comparação entre as duas razões. Na comparação que fizeram reconheceram que o número de remates, 10, o consequente de uma razão, correspondia ao dobro de remates da outra razão, 20. Destacaram que o número de golos concretizados não correspondia ao dobro (3 golos para 5 golos em vez de ser para 6 golos). Desta forma os alunos efetuaram, de modo intuitivo, uma comparação entre duas razões, reconhecendo a não existência de equivalência.
O seu trabalho mostrou que atenderam à equivalência de frações, como processo de resolução e interpretação da situação colocada, embora o tenham explicado em linguagem natural.
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Figura 5.2.4. - Respostas evidenciando comparações dentro das variáveis, em linguagem natural, de Tomás, Sílvia e Alice.
A resposta de Tomás mostra que este procedeu à equivalência de frações, apresentando o respetivo procedimento de cálculo. Implicitamente notou que estas frações não são equivalentes, pois não concluiu a justificação. Sílvia e Alice seguiram o mesmo raciocínio mas apresentaram uma justificação completa em linguagem natural. Compreende-se que as alunas constataram que a razão equivalente a
seria .
Poucos alunos estabeleceram uma relação de equivalência em linguagem simbólica. Foi o caso de Maria José e Angelina, que recorreram ao fator multiplicativo ( ) para transformar
em (Figura 5.2.5.). Deste modo evidenciaram que em 20
remates deveriam ter sido concretizados 6 golos e a razão representava a concretização de apenas 5 golos. As alunas indicaram que
, revelando que compreenderam a
situação e estabeleceram uma comparação relativa.
Figura 5.2.5. - Respostas recorrendo à equivalência de frações para efetuar a comparação entre as razões, por Maria José e Angelina.
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Henrique revelou ter um raciocínio mais sofisticado, relacionou que 5 em 20 correspondia a um quarto, e indicou que
é maior que um quarto (Figura 5.2.6.). Foi o
único aluno a estabelecer uma relação comparativa por esta estratégia.
Figura 5.2.6. - Resposta relacionando a razão com o valor da fração , por Henrique.
Um aluno, Sérgio, recorreu à determinação do valor de cada uma das razões. Como procedimento recorreu à descoberta do quociente que representava cada razão, para assim comparar e justificar qual a de maior valor (Figura 5.2.7.).
Figura 5.2.7. - Resposta com justificação baseada no valor de cada razão, de Sérgio.
Os alunos recorreram a várias estratégias para produzirem as suas justificações. Estas envolveram o trabalho com frações, sua representação em dízima e equivalência de frações, por forma a estabelecerem uma comparação entre as razões, reconhecendo a que representava o melhor desempenho. Um pequeno número de alunos apenas referiu quem obteve melhor desempenho, mas não apresentou justificação.
O item 1.3. (Figura 5.2.8.) pretendia aprofundar a compreensão sobre o facto que uma situação que envolve duas grandezas pode mudar quando os valores são variáveis e se efetuam comparação em termos relativos. Os alunos por análise das questões e como síntese concluiriam que, a situação que em termos absolutos reportava-se a 3 maior que 5 (golos), mas ao envolver outra grandeza, remates, e comparando-as entre si, o maior número de golos passava a não representar o melhor resultado. Em termos relativos, 3 em 10 representava um valor maior que 5 em 20.
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Os alunos teriam de analisar as relações, que haviam efetuado nos itens anteriores, de modo a reconhecer a diferença entre comparação absoluta e comparação relativa. Muitos alunos não apresentaram qualquer resposta, talvez, pela complexidade da questão e revelaram não compreender o que era pedido.
Basicamente os alunos identificaram que as questões eram diferentes mas não explicaram porquê. Foi o caso de Carlos. O aluno, por não apresentar qualquer justificação, aparentemente, continuou a revelar dificuldades nas comparações relativas (Figura 5.2.9.).
Figura 5.2.9. - Resposta sem justificação, de Carlos.
Mariana, apesar do seu trabalho em grupo com Ana, continuou a efetuar uma interpretação incorreta da situação (Figura 5.2.10.). A sua resposta revela alguma confusão. Não foi clara na sua justificação, continuando a focar-se no empenho e não no sucesso em concretizar golos.
Figura 5.2.10. - Resposta com a interpretação incorreta, de Mariana.
Ao contrário o seu par, Ana, pareceu estabelecer uma correta interpretação e compreensão da situação, efetuando o quociente de cada razão como estratégia para descobrir qual a razão de maior valor. Não formou uma explicação completa, apenas evidenciou simbolicamente (Figura 5.2.11.) que o valor de uma era superior ao da outra.
Figura 5.2.11. - Resposta evidenciando o valor de cada razão, sem justificação completa, por Ana e Sílvia.
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Tal como Ana, Sílvia também usou o mesmo procedimento (Figura 5.5.11.) destacando que um quociente era maior que o outro 0,3> 0,25. Estas repostas foram semelhantes às apresentadas por vários alunos. Muitos não construíram respostas completas e limitaram-se a efetuar o procedimento de cálculo matemático, como é exemplo a resposta de Sara (Figura 5.2.12.). Basicamente evidenciaram o cálculo do quociente determinando quanto representava cada razão, mas não apresentaram qualquer conclusão.
Figura 5.2.12. - Resposta evidenciando apenas o procedimento de cálculo, por Sara. Tomás evidenciou compreender a diferença entre comparação em termos absolutos e relativos, distinguindo as duas situações e identificando qual a operação que lhe permitia justificar o melhor desempenho (Figura 5.2.13.). Embora no item anterior o aluno tenha recorrido à relação do dobro, nesta situação referiu que efetuaria o quociente entre o antecedente e o consequente, revelando flexibilidade no uso de estratégias. Para a mesma situação apresentou processos diferentes de resolução.
Figura 5.2.13. - Resposta com explicação sobre as diferenças entre as questões colocadas, por Tomás.
Angelina, que no item anterior resolveu a situação recorrendo à equivalência de frações, neste item apresentou que a operação a efetuar seria o quociente e apresentou-o para as duas razões, destacando que
e e expôs que 0,3 > 0,25.
Figura 5.2.14. - Resposta baseada no cálculo dos quocientes e sua comparação, por Angelina.
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De um modo geral, os alunos distinguiram comparações absolutas de comparações relativas, embora não apresentassem respostas completas. Constatou-se que os alunos discutiram entre si ideias e opiniões, levando algum tempo até alcançarem conclusões.
Os alunos calcularam o valor da razão, usaram a dízima para comparem qual a razão que era maior, associando-a ao melhor desempenho. A estratégia mais usada reportou-se assim à determinação do valor do quociente, como meio de efetuar comparações relativas. Além disso salientaram-se alguns alunos que começaram a envolver trabalho com números racionais e a recorrer à equivalência de frações para efetuar comparações entre duas razões.
Figura 5.2.15. - Sínteses das conclusões e justificações apresentadas na discussão coletiva à questão 1.3.
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Ao longo da atividade apercebi-me que poucos alunos foram bem-sucedidos neste item, revelou-se confuso e de difícil compreensão. Para a discussão coletiva planeei a exposição de conclusões, enfatizando as diferentes estratégias usadas.
As imagens da Figura 5.2.15. mostram as sínteses e procedimentos apresentados, que resultaram da discussão coletiva, registadas de acordo com o que os alunos desenvolveram.
Na segunda aula foram realizados os itens 2., 2.1. (Figura 5.2.16.) e 3. (Figura 5.2.23.), que tinham o intuito de iniciar os alunos na formação de proporções, de modo informal. Os itens apresentavam a estrutura da representação de uma proporção , que era necessário completar. Por observação os alunos poderiam constatar que seria semelhante à representação de duas frações equivalentes.
Figura 5.2.16. - Itens 2., 2.1., tarefa 2. Tendo como ponto de partida a razão
, os alunos teriam de formar uma razão
equivalente, cujo consequente fosse 12 . Esta questão enquadrava-se numa situação de descoberta do valor em falta
, que correspondia ao número de golos marcados.
Os alunos levaram algum tempo a estabelecer uma relação entre as razões, começando lentamente a atender à formação de frações equivalentes. Depreenderam pela representação já apresentada no enunciado. A dificuldade decorreu em escrever uma fração equivalente a
com denominador/consequente 12, pois não encontravam
um fator multiplicativo inteiro que transformasse 12 em 20. Muitos alunos não realizavam trabalho, para os ajudar tentei conduzir à descoberta da relação de invariância entre os termos da razão
, colocando a questão “Não encontram uma
relação entre o antecedente e o consequente? Uma relação entre o número de golos marcados e o número de remates efetuados?” A questão não foi fácil para os alunos. Só
após algum tempo de discussão entre pares foi surgindo a relação que 5×4 = 20. O quádruplo do antecedente determinava o consequente.
Entretanto, surgiu outro obstáculo, decorrente da necessidade de efetuarem a operação inversa para descoberta do valor em falta que resultava da descoberta da
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quarta parte de 12. A quarta parte do consequente determinava o antecedente. Mas com a minha intervenção e entreajuda entre pares, de um modo geral, os alunos foram - estabelecendo relações de invariância, “entre” as variáveis.
Destacou-se um aluno, Tomás, que estabeleceu uma relação de covariância recorrendo ao mínimo múltiplo comum entre os dois consequentes. Mais uma vez, o aluno usou uma estratégia diferente, tendo em conta o que realizou ao longo da tarefa. O aluno recorreu à determinação do mínimo múltiplo comum entre os dois consequentes [m. m. c. (20,12) = 60], para determinar frações equivalentes
e
, como
mostra a Figura 5.2.17. Tomás não apresentou o fator multiplicativo a que recorreu para determinar o valor em falta, possivelmente efetuou a equivalência mentalmente (se logo .
Figura 5.2.17. - Resposta evidenciando a determinação do mínimo múltiplo comum, entre os consequentes, para formar frações equivalentes, por Tomás.
Alice e Ana recorreram à mesma estratégia, após diálogo com Tomás que mencionou a sua forma de pensar.
Figura 5.2.18. - Resolução recorrendo a estratégias de invariância e de covariância na equivalência de frações, por Alice e Ana.
Mas as alunas apresentaram o fator multiplicativo que aplicaram. Após a etapa da determinação do mínimo múltiplo comum [m. m. c. (20,12) = 60], evidenciaram o fator multiplicativo 5, que usaram na relação de covariância (“dentro”) da mesma variável, notando que
cujo fator multiplicativo é 5, uma vez que ,
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No entanto, Ana cometeu um erro, usando o fator multiplicativo incorreto (×3) na determinação do valor em falta, talvez por distração, uma vez que determina o valor corretamente.
Ambas as alunas apesar de apresentarem um raciocínio correto que lhes permitiu descobrir o valor em falta, acabaram por não apresentar a razão encontrada na representação formal da proporção. As alunas formaram duas proporções,
e
Deste modo não interligaram as razões representativas de cada uma das
situações, não mostrando formalmente a proporção pretendida
. À semelhança de
outros alunos da turma, as alunas estabeleceram, também, uma relação de invariância entre os termos de cada razão evidenciando a descoberta do fator multiplicativo ( e por uso desta estratégia funcional, formaram a proporção.
Henrique e Mariana deram respostas (Figura 5.2.19.), que constituem exemplos que evidenciam o uso da estratégia de invariância, estabelecendo uma relação multiplicativa “entre” as medidas de grandeza, exibindo a proporção formalmente requerida.
Figura 5.2.19. - Resoluções evidenciando relações de invariância, de Mariana e Henrique.
Estas duas estratégias destacaram-se na discussão coletiva. Alice apresentou, ainda, outra ilação a que chegou no decorrer da discussão, possivelmente quando relacionou o antecedente com o consequente. A aluna descobriu que o primeiro correspondia à quarta parte do segundo e que essa relação teria de se manter para a formação de uma proporção. A sua explicação foi registada no quadro (Figura 5.2.20.).
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Também, no momento da discussão coletiva, Filipe fez uma observação, talvez atendendo à intervenção de Alice. O aluno referiu que poder-se-ia ter transformado
numa fração irredutível , (razão unitária), uma vez que . A partir desta fração,
, formar-se-ia a fração equivalente com consequente 12 ou seja
. Esta inferência foi
registada no quadro, conjuntamente com a relação de invariância que o aluno estabeleceu no seu trabalho autónomo, aquando da formação da proporção.
Figura 5.2.21. - Estratégia de equivalência de frações com base na fração unitária e estratégia funcional, apresentadas por Filipe.
Foi registado no quadro a estratégia que Tomás apresentou à turma (Figura 5.2.22.). Nesta destacou-se o uso do m. m. c. e recordou-se a sua utilidade na construção de frações equivalentes. Este momento permitiu relacionar frações e razões, e o uso do m.m.c. como um procedimento auxiliar na formação de proporções.
Possivelmente, com estas conclusões, promoveu-se a realização de conexões entre os tópicos matemáticos.
Figura 5.2.22. - Registo da determinação do mínimo múltiplo comum, entre os consequentes para formação de proporções, por Tomás.
Foi necessário chamar a atenção para o facto do processo de formação da proporção não ter sido concretizado da forma correta, uma vez que quem recorreu a esta
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estratégia apresentou duas proporções em vez de apenas uma proporção, como era solicitado.
A formação de uma outra proporção era pedida na resposta ao item 3.1. (Figura 5.2.23.). A atividade no item anterior facilitou a construção desta proporção. Todos os alunos realizaram a sua formação com sucesso e estabeleceram a relação de invariância entre os elementos de cada razão, mantendo o fator multiplicativo ( ou efetuando o seu inverso.
Figura 5.2.23. - Item 3.1., Tarefa 2.
Os alunos evidenciaram o uso da relação de invariância entre os termos de cada uma das razões, como apresentado nas imagens da Figura 5.2.24., determinando, implicitamente, que o número de golos correspondia a metade do número de remates. Esta relação foi enfatizada na discussão coletiva, quando lancei a questão “Qual a
relação entre o número de golos marcados e o número de remates efetuados?”, na
tentativa de contribuir para compreensão da comparação estabelecida, do seu significado e das suas variáveis.
Figura 5.2.24. - Respostas evidenciando relações de invariância, por Mariana, Ana, Henrique e Sara.
A discussão pretendia também suscitar a reflexão nos alunos, para que relacionassem as medidas de grandeza e o contexto da proporção construída, que aparentemente todos realizaram (Figura 5.2.25.).
Nos itens 2. e 3., era pretendido que os alunos, ao formarem proporções, começassem a estabelecer relações de invariância e de covariância, e evidenciassem relações multiplicativas. A análise das suas resoluções mostrou que de facto os alunos estabelecerem essas relações, na sua maior parte através do uso de estratégia funcional, estabelecendo relações entre as variáveis.
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Figura 5.2.25. - Registo no quadro da comparação entre as duas quantidades de cada razão.
Alguns alunos apresentaram dificuldades no início do trabalho. No entanto e uma vez que o item 3., já não levantou dúvidas, poder-se-á tomar esse facto como um indicador de compreensão do sentido de invariância de grandezas ou da estratégia funcional. O trabalho em grupo com posterior discussão coletiva sobre as relações estabelecidas e explicação do raciocínio efetuado, possivelmente contribuiu para que os alunos com dificuldades, descobrissem e compreendessem as relações multiplicativas que se podem efetuar na construção de proporções.