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Para que se possa discutir sobre a escalabilidade da visualiza¸c˜ao por disposi¸c˜ao radial expressiva m´ınima ´e necess´ario se estabelecer parˆametros de referˆencia. Por exemplo, considerando limites te´oricos para a escalabilidade, tem-se: (i) a quantidade m´axima de n´os em rela¸c˜ao `a ´area de uma visualiza¸c˜ao bidimensional e (ii) a quantidade m´axima de n´os dispostos em an´eis concˆentricos. Esta Subse¸c˜ao tem como finalidade estabelecer tais limites para posteriormente avaliar a escalabilidade esperada da visualiza¸c˜ao por disposi¸c˜ao radial m´ınima. Para estabelecer uma rela¸c˜ao entre a quantidade m´axima de n´os em uma visualiza¸c˜ao bidimensional, ´e apresentado o seguinte Lema.

Lema 4.6 (Quantidade m´axima de n´os por ´area). A quantidade m´axima de entidades bidimensionais n por ´area A de uma visualiza¸c˜ao bidimensional ´e da ordem de O(A), se n˜ao h´a sobreposi¸c˜ao entre as entidades, ou seja, n∈ O(A).  Demonstra¸c˜ao. Mesmo que as entidades ocupem espa¸co m´ınimo e n˜ao haja desperd´ıcio de espa¸co da ´area da visualiza¸c˜ao, se n˜ao h´a sobreposi¸c˜ao entre as entidades, ent˜ao a quantidade de entidades ainda ´e limitada linearmente pela ´area A. C.Q.D. A partir do Lema4.6´e poss´ıvel afirmar que O(A) ´e limite superior para a quantidade de n´os em qualquer visualiza¸c˜ao bidimensional expressiva, isto ´e, em que n˜ao a sobre- posi¸c˜ao. Dessa forma, ´e estabelecido o primeiro parˆametro de escalabilidade para t´ecnicas de visualiza¸c˜ao expressivas. ´E conveniente estabelecer an´alise semelhante para t´ecnicas de visualiza¸c˜ao expressivas em que h´a disposi¸c˜ao das entidades bidimensionais em an´eis concˆentricos, onde a visualiza¸c˜ao por disposi¸c˜ao radial expressiva ´e caso espec´ıfico. Lema 4.7 (Quantidade m´axima de n´os distribu´ıdos em an´eis concˆentricos). A quanti- dade m´axima de n´os n que podem ser distribu´ıdos sem sobreposi¸c˜ao em l an´eis concˆentricos

Demonstra¸c˜ao. Por quest˜ao de simplicidade, mas sem perda de generalidade, ´e poss´ıvel considerar que todos os n´os possuem mesmo raio r0. Para garantir que n˜ao h´a sobreposi¸c˜ao

parental, tem-se que o raio base ´e dado por 2r0. Tem-se, pela Equa¸c˜ao 4.2, que o espa¸co

angular ´e uma fun¸c˜ao de l para todos os n´os, qual seja θ(l) = 2 arcsin 1

2l 

. (4.13)

Como em todos os an´eis a quantidade de espa¸co angular ´e de 2π, ent˜ao a quantidade m´axima poss´ıvel de n´os que podem ser dispostos no anel hl sem sobreposi¸c˜ao ´e dada

por ⌊2π/θ(h)⌋. Onde a opera¸c˜ao de ⌊·⌋ ´e necess´aria para garantir que a quantidade seja inteira. Sabendo que para l = 0 pode-se dispor apenas 1 n´o, e que para o restante dos l an´eis pode-se utilizar a raz˜ao de 2π pela Equa¸c˜ao 4.13, a quantidade m´axima de n´os em l an´eis concˆentricos ´e dada por

n = 1 + l X k=1 $ π arcsin _2k1
% . (4.14)

A partir do resultado apresentado pelo Lema C.13, tem-se que a fun¸c˜ao do somat´orio ´e da ordem de Θ(l), o que faz com que o resultado do somat´orio seja da ordem de Θ(l2).

Portanto, tem-se que n_{∈ Θ(l}2). C.Q.D.

A partir do resultado apresentada pelo Lema 4.7 ´e poss´ıvel estimar a escalabilidade da quantidade de n´os em uma visualiza¸c˜ao baseada na disposi¸c˜ao dos n´os em an´eis concˆentricos. Essa rela¸c˜ao ´e apresentada pelo seguinte Lema.

Lema 4.8 (Rela¸c˜ao entre quantidade de n´os em an´eis concˆentricos e a ´area). A quanti- dade m´axima de n´os n em uma visualiza¸c˜ao expressiva baseada na disposi¸c˜ao dos n´os em an´eis concˆentricos ´e da ordem de n∈ Θ(A), onde A ´e a ´area do anel de maior raio.  Demonstra¸c˜ao. A ´area de uma visualiza¸c˜ao bidimensional baseada na disposi¸c˜ao dos n´os em an´eis concˆentricos ´e dada por

A≃ π(2lr0)2, (4.15)

onde l ´e a quantidade de an´eis e r0 ´e o raio dos n´os, o que implica, em acordo com o

exposto na demostra¸c˜ao do Lema 4.7, que o raio base ´e dado por 2r0. Dada a rela¸c˜ao

n _{∈ Θ(l}2_{) apresentada no Lema 4.7, ´e poss´ıvel determinar que l ∈ Θ(}√_{n), pela simetria}

do operador assint´otico. Tem-se que l≃ α√n, para alguma constante positiva α. A partir da substitui¸c˜ao de l na Equa¸c˜ao 4.15´e poss´ıvel estabelecer que

A_{≃ πn(2αr}0)2, (4.16)

de onde ´e poss´ıvel verificar que A_{∈ Θ(n), uma vez que π(2αr}0)2 ´e uma constante. Por-

tanto, dada a simetria do operador assint´otico, tem-se que n_{∈ Θ(A).} C.Q.D. Com os resultados apresentados pelos Lemas4.6 e 4.8´e poss´ıvel afirmar que o limite te´orico de quantidade de n´os por ´area em uma visualiza¸c˜ao baseada na disposi¸c˜ao dos n´os em an´eis concˆentricos atinge o limite te´orico da visualiza¸c˜ao bidimensional. Tal com- portamento pode ser considerado o melhor caso de escalabilidade da visualiza¸c˜ao. Dessa forma, pode-se considerar a possibilidade de que a disposi¸c˜ao radial expressiva m´ınima seja escal´avel. Mesmo assim, h´a casos em que a quantidade de n´os n˜ao ´e linear em rela¸c˜ao `a ´area da visualiza¸c˜ao. Esse fato ´e considerado pelo seguinte Lema.

Lema 4.9 (Pior caso da escalabilidade em an´eis concˆentricos). No pior caso, a escalabi- lidade da visualiza¸c˜ao baseada em an´eis concˆentricos ter´a uma rela¸c˜ao entre a quantidade

de n´os n e a ´area A da ordem de n_{∈ Θ(}√A). 

Demonstra¸c˜ao. Uma vez que, para tipos de rede espec´ıficos, como a topologia linear, ´e poss´ıvel que a quantidade de n´os seja da mesma ordem que a quantidade de an´eis, ou seja, l = n. Nesse caso, considerado o exposto pela Equa¸c˜ao 4.16, a rela¸c˜ao entre a quantidade de n´os n e a ´area A da visualiza¸c˜ao pode chegar a n_{∈ Θ(}√A). C.Q.D. A rela¸c˜ao assint´otica que resulta do Lema 4.9 caracteriza o pior caso de escalabili- dade da visualiza¸c˜ao por disposi¸c˜ao radial. Dessa forma, ´e poss´ıvel unificar os resultados dos Lemas 4.8 e 4.9 em um ´unico teorema que trate das condi¸c˜oes de escalabilidade da visualiza¸c˜ao por disposi¸c˜ao radial expressiva m´ınima, como se segue.

Teorema 4.4 (Escalabilidade da disposi¸c˜ao radial expressiva m´ınima). A quantidade de n´os n em uma visualiza¸c˜ao por disposi¸c˜ao radial expressiva m´ınima com ´area A ´e dada pela rela¸c˜ao assint´otica n∈ Θ(Aα_{), onde 1/2≤ α ≤ 1. Sendo que, para α = 1/2, caracteriza-se}

o pior caso de escalabilidade, e para α = 1, o melhor caso. 

Demonstra¸c˜ao. Segue-se de forma direta com base nos Lemas 4.8e 4.9. C.Q.D.