DE LAS DISPOSICIONES TESTAMENTARIAS POR CRISIS MATRIMONIAL O DE CONVIVENCIA:
4. LA INEFICACIA SOBREVENIDA DE LAS DISPOSICIONES
Uma característica singular dos modelos de equações simultâneas é que a variável endógena em uma equação pode aparecer como uma variável explicativa em outra equação do sistema. De acordo com Gujarati (2006), para se estimar um determinado modelo, é necessário primeiramente verificar se existe uma relação de simultaneidade entre as suas variáveis, ou seja, uma relação unidirecional entre uma variável dependente (Y) e uma ou mais variáveis explicativas (X). Isso ocorre porque, Y pode ser determinado por X e este, da mesma forma, ser determinado por Y possuindo então uma relação simultânea entre as duas variáveis. Desse modo, é nesse contexto que
entra o modelo de equações simultâneas, reunindo um conjunto de variáveis que possam ser determinadas simultaneamente.
Segundo Gujarati (2006), estimar uma equação desconsiderando as outras equações do modelo, pode levar à obtenção de parâmetros não confiáveis. Se estimada pelo MQO (Mínimos Quadrados Ordinários), a regressão poderá ser duvidosa pois o termo de erro estará se correlacionando com a variável explanatória tornando-a estocástica. Nessas condições, o pressuposto do MQO onde X é não estocástico cov(
ε
t1,Xt) = 0 estará sendo violado.
Desse modo, de acordo com Gujarati (2006), para estimar equações de natureza simultânea, é preciso utilizar outros métodos de estimação os quais podem ser: MQI (Mínimos Quadrados Indiretos) e o MQ2E (Mínimos Quadrados em 2 Estágios).
No método MQI os coeficientes estruturais são obtidos indiretamente através das estimativas de MQO dos coeficientes na forma reduzida. Esse método consiste em recuperar os verdadeiros valores dos parâmetros da forma estrutural a partir da forma reduzida através do MQO (Mínimos Quadrados Ordinários), para isso o procedimento é realizado em três etapas:
Na 1ª etapa, encontram-se as equações na forma reduzida; essas equações foram obtidas das equações estruturais de modo que a variável dependente de cada equação seja a única variável endógena e seja uma função unicamente das variáveis predeterminadas e do termo de erro.
Na 2ª etapa aplica-se o MQO individualmente a cada equação reduzida: nessa forma, as variáveis da equação não apresentam nenhuma relação de simultaneidade umas com as outras e, por sua vez não apresentam correlação com os termos de erro estocásticos. Esse fato indica que a regressão nos dará resultados eficientes.
Na 3ª Etapa, os parâmetros da forma estrutural podem ser recuperados a partir dos coeficientes da forma reduzida obtidos na 2ª etapa.
O método MQ2E possibilita a criação de uma variável instrumental (ou variável
Proxy) da qual não possui correlação com o erro estocástico, mesmo sendo muito
parecida com a verdadeira variável explanatória. O MQ2E admite dois estágios:
Estágio 1: Para eliminar o problema de correlação entre Xt e o εt, faz-se uma
variável Proxy Xt
^
que é uma estimativa do valor médio de X em função das variáveis exógenas. Essa nova variável não possuirá correlação com erro.
Estágio 2: Com a criação da variável Proxy, substitui-se o Xt estocástico por
essa variável para que não haja mais problema de correlação entre o εt e Xt
sendo possível obter parâmetros consistentes.
Num sistema de equações simultâneas existem tanto variáveis endógenas quanto exógenas (ou predeterminadas). As variáveis endógenas são aquelas cujos valores são determinados dentro do modelo. As variáveis exógenas ou predeterminadas são determinadas fora do sistema. Essas se dividem em duas categorias: i) exógenas (Xt e
Xt-1) e, ii) endógenas defasadas (Yt-k).
4.1.1.1 O Problema de Identificação
Para que um sistema de equações simultâneas possa ser estimado pelo MQO sem apresentar problema de covariância entre o erro e a variável explanatória da equação, deve-se primeiramente transformar as equações na forma reduzida12 através do uso de algumas manipulações algébricas. Dessa forma, é possível estimar os parâmetros associados à forma reduzida (os
π
). Porém é na estimação dos parâmetros estruturais13 que é objeto de estudo.Função Consumo: Ct 0 1Yt t 01 1 (4.1)
Identidade da Renda Yt Ct It (4.2)
O exemplo14 acima, representa o modelo keynesiano de determinação da renda. As equações desse modelo estão especificadas na sua forma estrutural. As variáveis consumo (Ct) e renda (Yt) são endógenas e o investimento (It) é exógeno. Como Yt é
determinado em (4.2) e funciona como variável explicativa em (4.1), esta variável é estocástica dado que se correlaciona com o termo de erro estocástico e, portanto, uma
12 Retrata a estrutura de uma economia ou o comportamento de um agente econômico.
13 Representa a variável dependente unicamente em função das variáveis exógenas e dos termos de erro. 14 Exemplo apresentado no livro do Gujarati (2006) p. 592.
estimação direta do MQO sobre essas equações gera parâmetros viesados pois o pressuposto de que a variável explicativa é não-estocástica está sendo violado.
A partir de manipulações algébricas, chega-se às equações reduzidas (4.3) e (4.4). Substituindo (4.1) em (4.2), tem-se: t t t t Y I Y 0 1 1 1 1 0 1 1 1 t t t I Y t t t I Y 0 1 (4.3) Substituindo (4.3) em (4.1), obtém-se: 2 1 1 1 0 1 1 t t t I C t t t I C 2 3 (4.4)
As equações (4.3) e (4.4) expressam a variável endógena apenas em relação às variáveis explanatórias do modelo podendo então se aplicar o MQO.
Porém, é necessário verificar se os parâmetros estruturais podem ser recuperados através dos coeficientes da forma reduzida. Pode-se verificar a possibilidade de recuperação dos coeficientes estruturais através dos critérios de ordem. Havendo a possibilidade de serem recuperados, a equação pode ser identificada, se caso contrário, esta será subidentificada, ou seja, sua estimação não será possível a menos que se realize alguma modificação no modelo para que se torne identificável.
Para que uma equação seja identificada, em um modelo de M equações simultâneas, o número de variáveis predeterminadas excluídas da equação não poderá ser menor que o numero de variáveis endógenas incluídas nessa equação, conforme:
Onde: K é o número de variáveis predeterminas no modelo; k é o número de variáveis predeterminadas na equação e m é o número de variáveis endógenas na equação.
Se:
K – k = m-1, a equação é exatamente identificada; K – k > m-1, a equação é sobreidentificada; K – k < m-1, a equação é subidentificada.
Onde:
M = número de variáveis endógenas no modelo; M = número de variáveis endógenas na equação; K = número de variáveis exógenas no modelo; k = número de variáveis exógenas na equação.
4.1.1.2 Avaliação Econômica, Estatística e Econométrica
O instrumental econométrico é uma ferramenta de análise indispensável para se verificar a aplicabilidade de um modelo teórico ao cenário econômico real. Para tanto, é necessário se fazer uma análise rigorosa dos coeficientes estimados com o objetivo de examinar a validade dos dados encontrados, isto é, se as regressões obtidas são realmente confiáveis.
Existem três etapas que devem ser seguidas no processo de avaliação de um modelo. Tais etapas são as seguintes: (i) avaliação estatística; (ii) avaliação econométrica e (iii) avaliação econômica.
A partir da avaliação estatística é possível estudar se os coeficientes encontrados são estatisticamente eficientes, bem como se o modelo está corretamente ajustado. Através do coeficiente de determinação representado por R2, detecta-se a qualidade global de ajustamento na qual indica o percentual das variações da variável dependente que são explicadas por variações nas variáveis explicativas.
O F-Snedecor avalia o efeito conjunto das variáveis explicativas sobre as variáveis independentes. Ou seja, testa a existência do modelo. Esse teste de ajustamento global do modelo admite as seguintes hipóteses, dado o modelo teórico
) (Yi ^0^1 X1i ^2 X2i ^K XKi^i
H0: β1= β2=...= βk = 0.
HA: Pelo menos um βi≠ 0.
A estatística t-student mede a significância individual dos parâmetros estimados, também no intuito de verificar se estes são de boa qualidade, confiáveis e aplicáveis. A
estatística t é utilizada, pois em geral, não conhecemos o erro-padrão da população. Para tanto, tem-se que, primeiramente, admitir algumas hipóteses.
Ho: βi = 0.
HA: βi ≠ 0.
Após serem cuidadosamente verificadas as estatísticas do modelo, passa-se para a etapa da avaliação econométrica. Com o auxílio dos testes, pode-se verificar se os dados coletados possuem algum tipo de erro que possam gerar problemas na estimação. Para isso, são realizados testes que verificam se alguns dos pressupostos do modelo de regressão linear clássico são violados15. Os testes econométricos, segundo Gujarati (2006) são os de multicolinearidade, normalidade dos resíduos, erro de especificação, heteroscedasticidade e autocorrelação.
Para se detectar a presença de multicolinearidade analisa-se a significância dos parâmetros estimados juntamente com o coeficiente de determinação. Se os parâmetros se mostrarem não significativos estatisticamente mesmo com o R2 alto, pode-se sugerir a presença da multicolinearidade pela simples contradição das estatísticas.
Com o Fator de Incremento da Variância (FIV), permite-se verificar o grau de multicolinearidade demonstrando que se for acima de 10 o incremento da variância é alto e, portanto, sugere presença de multicolinearidade. Conforme:
1 2 2 1 (1 X X ) FIV r
FIV < 10, pode se conviver com a multicolinearidade; FIV > 10, não se pode conviver com a multicolinearidade.
A Regra de Klein examina se a multicolinearidade será prejudicial ao modelo através da comparação entre o coeficiente de determinação R2 e o coeficiente de correlação simples elevado ao quadrado r2. Se R2 > r2, pode-se conviver com a multicolinearidade no modelo.
O teste de normalidade tem por objetivo averiguar se os resíduos apresentam distribuição normal ou não. Existem vários testes de normalidade, todavia será utilizado o teste de Jarque-Bera (JB), por ser o mais freqüentemente utilizado na literatura.
15 Os pressupostos do modelo de regressão linear são premissas simplificadoras nas quais o modelo se
embasa. A violação de alguns desses pressupostos pode acarretar em sérios problemas na estimação podendo torná-la inconfiável. (Gujarati, 2006).
O teste é utilizado para amostras grandes (maiores que 30) e tem por base os resíduos de MQO. De início, calcula-se a assimetria16 e a curtose17 dos resíduos. Desse modo tem-se:
24 3 6 2 2 C S n JBO teste de Jarque-Bera admite as hipóteses a seguir: Ho: JB = 0.
HA: JB≠ 0.
A hipótese nula H0 representa a normalidade dos resíduos, a partir da estatística
qui-quadrada com 2 graus de liberdade tem-se que se o valor р for alto aceita-se a
hipótese de normalidade dos resíduos. De modo inverso, os resíduos não apresentarão distribuição normal.
Os testes de viés de especificação verificam os possíveis erros de forma funcional e de variáveis omitidas. Tais erros podem ser detectados através do teste
RESET18no qual admite as seguintes hipóteses:
Ho: Modelo Linear.
HA: Modelo não Linear.
O teste para variável omitida, permite verificar se as variáveis adicionais no modelo exercem contribuição significativa na explicação da variação da variável dependente. Esse teste considera as hipóteses:
Ho: modelo restrito é verdadeiro.
HA: modelo restrito não é verdadeiro.
A presença de heteroscedastidade é detectada através dos testes informais, análises dos gráficos dos resíduos, e dos testes formais, que são os testes de Park, teste de Glejser, teste de Goldfeld-Quandt e teste de White. As hipóteses desse teste são:
Ho: não existe heteroscedasticidade.
HA: há heteroscedasticidade.
16 A medida de assimetria mede o grau de afastamento da simetria de uma distribuição. 17 A medida de curtose mede o achatamento da distribuição.
Para detectar a autocorrelação, faz-se os testes formais como o teste Durbin
Watson (d), teste de Breusch – Godfrey (LM) e o teste de ARCH.
O teste de Durbin Watson admite o caso de autocorrelação de primeira ordem AR(1), considerando a seguinte equação:
t t
t
1 ; na qual o erro do período t é relacionado com o erro t-1; ρ é o
coeficiente de autocovariância (Ro).
Ho : = 0 Implica que o período “t” não é relacionado com período “t-1”. HA : > 0 Implica autocorrelação Positiva
HA : < 0 Implica autocorrelação Negativa
O Teste de Breusch – Godfrey trata da autocorrelação de ordem superior AR(p), na qual tem-se com t t1 t2 t3 tp t utilizando a seguinte
estatística de teste: LM n
R2 ~ X2p, na qual deseja-se aceitar Ho que é ρ igual azero.
H0: ρ1= ρ2 = ...= ρp = 0 (não há autocorrelação)
HA: pelo menos um ρi≠ 0. (há autocorrelação)
Para o teste de ARCH, a variância do resíduo no instante t depende do resíduo elevado ao quadrado no instante (t-1). Admite o seguinte modelo:
2 2 2 2 2 1 1 0 2 p t p t t e a estatística de teste é N 2 ~ 2 p X R H0: α1= α2 = ...= αi = 0 (não há autocorrelação)
HA: pelo menos um αi≠ 0. (há autocorrelação)
Em se tratando de modelos de séries temporais, é imprescindível os testes de
estacionariedade e co-integração das variáveis, os quais são extremamente importantes
para garantir que uma regressão seja realizada corretamente. O teste de estacionariedade deve ser realizado pois a estimação com séries não estacionárias podem gerar o problema da regressão espúria19; assim, recomenda-se o uso de séries estacionárias. Vale salientar que, segundo Gujarati (2006), a hipótese de estacionariedade fraca admite que a média e a variância são constantes ao longo do tempo e a covariância entre dois períodos depende da defasagem entre esses períodos. Isto é:
Média: E (Yt) = μ
Variância: Var (Yt) = E (Yt - μ)2= σ2
Covariância: γk = E [(Yt– μ)( Yt+k – μ)]
Para se testar a estacionariedade das séries, primeiramente pode ser feita a verificação do gráfico da série podendo assim visualizar uma possível tendência, crescente ou decrescente, da serie temporal observada. Para uma visualização mais precisa, podem ser realizados os testes de correlograma e de raiz unitária.
O teste de correlograma é feito através da função de correlação (FAC) representada por ρk = γk / γ0. Dessa forma, o gráfico de ρk contra k é conhecido como
correlograma. Nesse teste, a série se verifica estacionária se os ρk forem iguais a zero.
Apesar do teste do correlograma se mostrar eficiente, o teste mais indicado e utilizado na literatura mais recente é o teste de raiz unitária (Dickey-Fuller – DF). Gujarati (2006) considera o seguinte modelo de “Passeio Aleatório”:
t t
t
1
Nesse caso, se o coeficiente
γ
t-1 for igual a 1 teremos o problema de raiz unitária,ou melhor, um processo estocástico não estacionário. Se não for igual a 1, a série será estacionária.
Segundo Gujarati (2006), o teste Dickey - Fuller pode ser representado pelas seguintes formas: t t t 1 t t t 1 1 t t t t 1 2 1 t t i t t t
1 2 1 1 (Dickey-Fuller ampliado – ADF) Admitindo que as séries apresentam o mesmo grau de integração, é importante efetuar o teste de co-integração; neste teste avalia se duas variáveis compartilham tendências estocásticas. Ou seja, se há uma relação de longo prazo, ou de equilíbrio entre elas. Para que sejam co-integradas, devem possuir co-integração de mesma ordem e o resíduo deve apresentar-se estacionário (ruído branco):
Y ~ I(1) X ~ I(1) Ε ~ I(0)
Admitindo essas hipóteses, a regressão terá sentido, ou seja, não apresentará o fenômeno da regressão espúria. Em suma, pode-se dizer que seja possível a co-
integração de duas ou mais variáveis é necessário que estas se mostrem não- estacionárias e o seu resíduo seja estacionário.
Para detectar a co-integração das variáveis do modelo, é realizado o teste de
Engle-Granger (EG) que faz a regressão de uma função do tipo t 0 1t para
assim se obter o resíduo e usar o teste Dickey-Fuller sobre este para verificar há estacionariedade ou não. Deve-se salientar, no entanto que os valores críticos utilizados como parâmetros para a análise dos resultados são os de Engle-Yoo (tabela tau – τ).
O último estágio para a avaliação do modelo econométrico é a avaliação econômica, essa avaliação tem a finalidade de interpretar os sinais dos parâmetros estimados e suas magnitudes. Essa avaliação verifica se os parâmetros estimados estão de acordo com o modelo analisado, ou seja, se possuem os sinais coerentes com a Teoria Econômica. As magnitudes dos parâmetros são observadas através do Efeito
Marginal e da Elasticidade, estes sendo aplicados de acordo com a forma funcional
correta.
O Efeito Marginal mostra qual o impacto sobre a variável dependente dada uma a variação em unidade na variável explicativa. Considerando: Y 0 1Xi. O Efeito
Marginal =
X Y
= β1 representa o efeito da variação da variável explicativa (X) na
variável dependente (Y), em mesma magnitude das variáveis coletadas.
A Elasticidade, representa a variação percentual de uma variável explicada em relação a variação percentual da variável explicativa. Em outras palavras, a Elasticidade representa o efeito da variável X sobre a variável dependente (Y), medido em porcentagem (%). Considerando: Y 0 1Xi. Pode-se expressar a elasticidade da
seguinte forma: Y X Y X X Y X X Y Y X X Y Y 1
Assim, obtém-se as avaliações de um modelo econométrico passando pela avaliação estatística, econométrica e avaliação sob a ótica da teoria econômica.
A partir do modelo teórico exposto no capítulo anterior, será utilizado para estimação do modelo empírico o modelo econométrico que segue:
t t t r u Y IS: 0 1 t t t M r u Y LM: 0 1 2
Os parâmetros Π0 e λ0 representam o intercepto das curvas e Π1, λ1 e λ2 são
multiplicadores de impacto das variáveis exógenas sobre as variáveis endógenas, ou seja, representam os impactos da taxa de juros e da base monetária sobre a renda nacional.