Defini¸c˜ao 2.1.4. Seja Y ⊂ X um subconjunto aberto, suponha A ⊂ Y um sub- conjunto qualquer de Y . Uma cobertura U de X ´e dita A- subordinada a Y se St[A, U ] ⊂ Y .
Vejamos agora a defini¸c˜ao de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.
Defini¸c˜ao 2.1.5. Uma fam´ılia O de coberturas abertas de X se diz admiss´ıvel se satisfaz as seguintes propriedades:
1. Para cada U ∈ O, existe V ∈ O tal que V ≺ 12U.
2. Se Y ⊂ X ´e um aberto qualquer de X e K um compacto em X tal que K ⊂ Y , ent˜ao existe U ∈ O cobertura aberta de X de modo que U ´e K- subordinada a Y.
3. Para quaisquer U , V ∈ O existe W ∈ O tal que W ≺ U e W ≺ V, ou seja, duas coberturas abertas quaisquer da fam´ılia O admitem refinamento simultˆaneo. Note que as propriedades 1 e 3 equivalem a seguinte: Dadas U , V ∈ O existe W ∈ O tal que W ≺ 1
2U e W ≺ 1
2V. Sendo assim, temos uma defini¸c˜ao alternativa
de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas que nos ser´a ´util em alguns casos mais adiante ao longo do texto.
Observa¸c˜ao: As propriedades 1 e 2 da defini¸c˜ao anterior garantem que as estre- las St[x, U ] para x ∈ X e U ∈ O formam uma base para uma topologia em X,(Ver proposi¸c˜ao [2.2.1]) enquanto que a propriedade 3 assegura que a fam´ılia O ´e um conjunto dirigido segundo a rela¸c˜ao de pr´e ordem por refinamentos.
2.2
Espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜oes e
exemplos
Nesta se¸c˜ao definiremos espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis e daremos alguns exemplos. Defini¸c˜ao 2.2.1. Dizemos que um espa¸co topol´ogico X ´e admiss´ıvel se admitir fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.
Em resultados que envolverem mais de um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel, diga- mos X e Y , faremos uso da nota¸c˜ao O(X) e O(Y ) para as fam´ılias admiss´ıveis de
2.2 Espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜oes e exemplos 32
coberturas abertas de X e Y respectivamente. Caso contr´ario, se X for o ´unico espa¸co topol´ogico admiss´ıvel envolvido, indicaremos uma fam´ılia admiss´ıvel para X simplesmente por O.
Defini¸c˜ao 2.2.2. Uma base para uma fam´ılia admiss´ıvel O em X ´e qualquer sub- cole¸c˜ao O′ de O tal que O = {U : U′ ≺ U : U′ ∈ O′ }.
Proposi¸c˜ao 2.2.1. Considere X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel com O fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. A cole¸c˜ao
{St[x, U]|x ∈ X, U ∈ O} ´e uma base para uma topologia em X.
Demonstra¸c˜ao: Veja que, por defini¸c˜ao, para todo x ∈ X e U ∈ O, temos que St[x, U ] ´e aberta, por ser uni˜ao de abertos de X. Verifiquemos as condi¸c˜oes de base:
• Para todo x ∈ X veja que x ∈ St[x, U].
• Sejam St[x, U], St[y, V] elementos da fam´ılia {St[x, U]|x ∈ X, U ∈ O} tais que St[x, U ] ∩ St[y, V] 6= ∅. Tome z ∈ St[x, U ] ∩ St[y, V]. Desde que os conjuntos St[x, U ], St[y, V] s˜ao abertos por defini¸c˜ao, aplicando a condi¸c˜ao 2) de fam´ılia admiss´ıvel ao compacto {z} ⊂ St[x, U ] ∩ St[y, V] temos que existe W ∈ O tal que St[z, W ] ⊂ St[x, U ]∩St[y, V]. Portanto, a cole¸c˜ao {St[x, U ]|x ∈ X, U ∈ O} ´e base para uma topologia em X.
Teorema 2.2.1. Considere (X, τ ) um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel com O fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Um subconjunto U ⊂ X ´e aberto se, e somente se, para cada x ∈ U existe U ∈ O tal que St[x, U ] ⊂ U . Ou seja, a topologia gerada pela base {St[x, U ]|x ∈ X, U ∈ O} coincide com a topologia j´a existente no espa¸co.
Demonstra¸c˜ao: Sejam U aberto em X e x ∈ U . Pela condi¸c˜ao 2) de fam´ılia admiss´ıvel existe Ux ∈ O tal que Ux ´e {x}-subordinada ao aberto U , ou seja,
St[x, Ux] ⊂ U , logo U ⊂ [ x∈U St[x, Ux] ⊂ U assim U = [ x∈U St[x, U ].
2.2 Espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜oes e exemplos 33
Pelas duas proposi¸c˜oes anteriores perceba que a topologia de um espa¸co ad- miss´ıvel ´e caracterizada pelos conjuntos St[x, U ]. Em resumo, tais conjuntos cum- prir˜ao papel similar ao desempenhado pelas bolas em espa¸cos m´etricos.
Segue logo abaixo um importante teorema de caracteriza¸c˜ao de espa¸cos Hausdorff paracompactos.
Teorema 2.2.2. Se X ´e um espa¸co topol´ogico Hausdorff paracompacto ent˜ao a fam´ılia de todas coberturas abertas de X ´e admiss´ıvel.
Demonstra¸c˜ao: Tome X um espa¸co Hausdorff paracompacto e denote por O(X) a fam´ılia de todas coberturas abertas de X. Como X ´e paracompacto Haus- dorff, X ´e paracompacto T1, portanto, pelo Teorema 2.1.1, temos que para cada
U ∈ O(X) existe V ∈ O(X) tal que V∗ ≺ U. Pela Proposi¸c˜ao 2.1.1, V ≺ 1 2U .
Agora, considere Y ⊂ X um subconjunto aberto de X e K ⊂ Y um compacto contido em Y. Por hip´otese, X ´e Hausdorff, e K compacto implica K fechado , assim U = {Y, X \ K} ´e uma cobertura aberta de X. Tome V ⊂ O(X) tal que V∗ ≺ U. Se V ∈ V com K ∩ V 6= ∅, ent˜ao V ⊂/ X \ K o que implica que V ⊂ Y , portanto St[K, V] ⊂ Y , da´ı V ´e K subordinada a Y . Por fim, veja que se U , V ∈ O(X), ent˜ao U ∧ V ≺ U e U ∧ V ≺ V, portanto a fam´ılia O(X) ´e admiss´ıvel.
Exemplo 2.2.1. Se X ´e um espa¸co topol´ogico Hausdorff compacto ent˜ao a fam´ılia Of de todas coberturas abertas finitas de X ´e admiss´ıvel.
De fato, todo espa¸co Hausdorff compacto ´e paracompacto T1 e toda cobertura
aberta admite uma subcobertura finita.
Reproduziremos a demonstra¸c˜ao do lema abaixo no intuito de tornar o texto mais claro, por´em a mesma pode ser encontrada em ([14],Cap´ıtulo 2, p´agina 42). Lema 2.2.1. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Para todo ǫ > 0 e Y ⊂ X temos as inclus˜oes:
St[Y, Uǫ
2.2 Espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜oes e exemplos 34
Demonstra¸c˜ao: Mostremos primeiramente que: St[Y, Uǫ
2] ⊂ B(x, ǫ). De fato tome a ∈ St[Y, Uǫ 2] assim a ∈ B(x, ǫ 2) tal que B(x, ǫ 2) ∩ Y 6= ∅. Assim existe y ∈ Y
tal que y ∈ B(x,2ǫ) logo por desigualdade triangular;
d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < ǫ 2 +
ǫ 2 = ǫ. Por fim, veja que dessa forma temos:
d(a, Y ) = inf {d(a, y); y ∈ Y } ≤ d(a, y) < ǫ
ent˜ao a ∈ B(Y, ǫ) = {x|d(x, Y ) < ǫ}. Mostremos agora que B(Y, ǫ) ⊂ St[Y, Uǫ].
Suponha a /∈ St[Y, Uǫ] ent˜ao o elemento a n˜ao pertence a qualquer bola de raio ǫ
que intercepte Y . Em especial a /∈ B(y, ǫ) para todo y ∈ Y , ou seja, d(a, y) ≥ ǫ para todo y ∈ Y . Consequentemente, temos que ǫ ´e uma cota inferior para o conjunto {d(a, y); y ∈ Y } assim por defini¸c˜ao de ´ınfimo:
d(a, Y ) = inf {d(a, y); y ∈ Y } ≥ ǫ. Portanto a /∈ B(Y, ǫ), e est´a demonstrado o lema.
O pr´oximo exemplo nos mostra que espa¸cos m´etricos s˜ao admiss´ıveis.(Ver [13], exemplo 3, p´agina 160) e ([14],Cap´ıtulo 2 p´agina 42, Lema 2.4)
Exemplo 2.2.2. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico, assim a fam´ılia Od de todas co-
berturas Uǫ= {B(x, ǫ) : x ∈ X} com ǫ > 0 ´e admiss´ıvel.
Se Uǫ∈ Od ent˜ao Uǫ 2 ≺ 1 2Uǫ. De fato, considere B(x1, ǫ 2), B(x2, ǫ 2) ∈ U2ǫ tais que
B(x1,2ǫ) ∩ B(x2,ǫ2) 6= ∅, logo existe z ∈ B(x1,2ǫ) e z ∈ B(x2,2ǫ) assim d(z, x1) < 2ǫ
e d(z, x2) < 2ǫ, portanto B(x1,2ǫ) ∪ B(x2,ǫ2) ⊂ B(z, ǫ) ∈ Uǫ, pois se tivermos: a ∈
B(x1,2ǫ) ∩ B(x1,2ǫ) ent˜ao d(a, z) ≤ d(a, x1) + d(x1, z) < ǫ2+ǫ2 = ǫ assim a ∈ B(z, ǫ).
Se a ∈ B(x2,ǫ2) ent˜ao d(a, z) ≤ d(a, x2) + d(x2, z) < 2ǫ + 2ǫ = ǫ assim a ∈ B(z, ǫ).
Por fim, Se a ∈ B(x1,ǫ2) ∩ B(x2,2ǫ) ent˜ao d(a, z) ≤ d(a, x1) + d(x1, z) < 2ǫ + ǫ2 = ǫ
logo a ∈ B(z, ǫ). Seja U aberto em (X, d) e K ⊂ U um compacto contido em U . Defina o fechado F = X \ U e a seguinte fun¸c˜ao cont´ınua :
g : K −→ R g(a) = d(a, F ).