Nesta se¸c˜ao, estaremos interessados em encontrar alguns grafos cuja ´algebra de Rees do seus ideais de arestas s˜ao normais. Devido `a proposi¸c˜ao 2.11 para provar que a ´algebra de Rees do ideal de arestas I ´e normal, provaremos que I ´e normal. Portanto pelo ´ultimo corol´ario da se¸c˜ao anterior temos que a ´algebra de Rees de ideais de arestas de grafos bipartidos s˜ao normais. Vejamos agora outros grafos.
3.11 Lema. Sejam G um ciclo de ordem ´ımpar e I(G) o seu ideal de arestas. Se x1 e xl s˜ao
v´ertices de G, ent˜ao x1xlIs∩ (Is+1 : x1) ⊂ Is+1.
Demonstra¸c˜ao. Faremos indu¸c˜ao em s. Para s = 0 a verifica¸c˜ao ´e simples. Suponha que a afirma¸c˜ao seja v´alida para inteiros menores que s e tome y 6= 0 um monˆomio tal que
y ∈ x1xlI
s∩ (Is+1 : x 1)
Is+1 .
Existem monˆomios livres de quadrados de grau 2,
y1, · · · , ys e f1, · · · , fs+1
em I tais que y = y1. . . ysx1xly e x1y = f1. . . fs+1h para algum monˆomio h e y. Por hip´otese
de indu¸c˜ao, podemos assumir que {y1, · · · , ys} ∩ {f1, · · · , fs+1} = ∅.
Vamos mostrar, por indu¸c˜ao, que dado 1 ≤ k ≤ s + 1 existem v´ertices diferentes x1, · · · , x2k de G tal que yi = x2ix2i+1 para i ≤ k − 1, fi = x2i−1x2i para i ≤ k, e
Se k = 1, temos a equa¸c˜ao x1y = f1. . . fs+1h e usando y /∈ Is+1, obtemos fi = x1x2
para algum i. Reordenando os f′
is, teremos f1 = x1x2 e, conseq¨uentemente,
y = x2f2. . . fs+1h.
Assuma que a afirma¸c˜ao ´e verdadeira para k e considere a igualdade
yk. . . ysx1xly = x2kfk+1. . . fs+1h.
Observe que, se x2k = xl, ent˜ao y1. . . yk−1x1xl ∈ Ik e, portanto, y ∈ Is+1. Podemos assumir
que x1 6= x2k. Se x2k divide y, ent˜ao a igualdade
y1. . . yk−1x1x2k = f1. . . fk
implica que y ∈ Is+1. Portanto, x
2k divide yi para algum k ≤ i ≤ s e, reordenando os yi′s,
temos yk = x2kz para algum v´ertice z. Note que z 6= x1, pois G ´e um ciclo ´ımpar. Portanto,
z = x2k+1 satisfaz z /∈ {x1, · · · , x2k} e
x2k+1yk+1. . . ysx1xly = fk+1. . . fs+1h.
Como y /∈ Is+1 a ´ultima equa¸c˜ao prova que x
2k+1divide fipara algum i, digamos fk+1 = x2k+1w
para algum v´ertice w. Note que w /∈ {x1, · · · , x2k+1} e a indu¸c˜ao em k est´a completa. Para
k = s + 1, a equa¸c˜ao yk. . . ysx1xly = x2kfk+1. . . fs+1h se reduz a y = x2s+2h.
Para completar a indu¸c˜ao em s note que se k = s + 1 ent˜ao y1. . . yk−1x1x2k = f1. . . fk
junto com o argumento visto acima resulta em y ∈ Is+1, que contradiz a escolha inicial de y.
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3.12 Teorema. Se o grafo G ´e um ciclo ´ımpar ent˜ao G ´e normal.
Demonstra¸c˜ao. Sejam V = {x1, · · · , xn} os v´ertices de G, R = k[x1, · · · , xn] um
anel de polinˆomios sobre um corpo k e m = (x1, · · · , xn) o ideal irrelevante de R. Vamos provar
por indu¸c˜ao em n que o ideal In ´e integralmente fechado. Para k = 0, temos que R = I0 ´e um
dom´ınio normal. Suponha que para r < n tenhamos Ir = Ir. Como estamos trabalhando com
ideais monomiais, temos que
Considere In
In diferente de zero. Note que a localiza¸c˜ao de In em qualquer primo associado de
In
In diferente de m ´e uma floresta. Portanto, usando que a ´algebra de Rees de uma ´arvore ´e normal, obtemos que m ´e um primo associado de In
In. Seja y ∈
In
In um monˆomio que ´e conduzido por m a In. Por hip´oteses de indu¸c˜ao, temos
y ∈ In ⊂ In−1 = In−1.
Por fim, observamos que y tem grau pelo menos 2n e, portanto, y ∈ x1xiIn−1∩ (In : x1), que ´e
imposs´ıvel pelo lema 3.11.
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3.13 Proposic¸˜ao. Se G ´e um grafo completo com n v´ertices, ent˜ao G ´e normal.
Demonstra¸c˜ao. Sejam V = {x1, · · · , xn} os v´ertices de G, R = k[x1, · · · , xn] um
anel de polinˆomios sobre um corpo k e m = (x1, · · · , xn) o ideal irrelevante de R. Vamos provar
por indu¸c˜ao em n que o ideal In ´e integralmente fechado. Suponha que para r < n tenhamos
Ir = Ir. Seja y ∈ In
In um monˆomio que ´e conduzido por m a I
n.
Note que R(I) ⊂ R(m2) e, como R(m2) ´e integralmente fechado, todo monˆomio em
In tem grau pelo menos 2n. Por hip´otese de indu¸c˜ao, temos
y ∈ In ⊂ In−1 = In−1,
portanto podemos escrever
y = y1. . . yn−1u,
em que u ´e um monˆomio de grau pelo menos 2 e yi ∈ I. Se u n˜ao ´e potˆencia de vari´aveis, ent˜ao
u ∈ I e, conseq¨uentemente, y ∈ In. Suponha que u = xr
1 , r ≥ 2. Caso x1 n˜ao ocorra em
algum dos monˆomios yi, digamos yl, ent˜ao ylx21 ∈ I2, portanto a proposi¸c˜ao segue novamente.
Suponha, ent˜ao, que x1 ocorre em cada yi, ou seja,
y = z1. . . zn−1xr+n−11 ,
com zi ∈ {x1, · · · , xn}. Logo x1y /∈ In e isto contradiz a escolha de y.
Neste ponto, surge uma quest˜ao: ser´a que existe um grafo cuja ´algebra de Rees de seu ideal de Arestas n˜ao ´e norma? Esta quest˜ao poder´a ser respondida na pr´oxima se¸c˜ao.
3.3
Transferˆencia de Normalidade
Nesta se¸c˜ao estudaremos, por fim, a normalidade da sub´algebra k[G] = k[f1, · · · , fd],
em que k ´e um corpo, G ´e um grafo e f1, · · · , fds˜ao os monˆomios associados `as arestas do grafo
G. No artigo [4], em que estamos baseando esta disserta¸c˜ao, est´a provado o seguinte teorema: Teorema [7.1]: Seja G um grafo. Se a ´algebra de Rees R(I(G)) ´e normal, ent˜ao K[G] tamb´em ´e normal.
Por´em, apresentaremos uma vers˜ao mais geral do teorema descrito acima. Mais pre- cisamente, provaremos no teorema 3.16 que se G ´e um grafo conexo, ent˜ao a ´algebra de Rees R(I) ´e normal se, e somente se, R[G] ´e normal. Esse teorema ´e demasiadamente importante pois atrav´es dele poderemos obter grafos cuja ´algebra de Rees de seus ideais de arestas n˜ao s˜ao normal.
Como na sec˜ao anterior j´a estudamos algumas ´algebras de Rees normais, podemos, imediatamente, obter algumas sub´algebras k[G] normais. Como de costume, veremos algumas ferramentas que nos auxiliar˜ao na prova do teorema central.
Seja G = (V (G), A(G)) um grafo, em que V (G) = {x1, · · · , xn} um grafo. Definimos
o cone de G por C(G) = (V, A), em que V = V (G) ∪ {t} com t um novo v´ertice e A = A(G) ∪ {(x1, t), · · · , (xn, t)}.
A proposi¸c˜ao que segue ser´a usada na demonstra¸c˜ao do teorema 3.16. A prova desse resultado n˜ao ser´a apresentada neste trabalho e poder´a ser encontrada em [VER REFEREN- CIA].
3.14 Proposic¸˜ao. Sejam G um grafo e C(G) o cone de G. Ent˜ao, existe um isomorfismo
R(I(G)) ≃ k[C(G)].
3.15 Definic¸˜ao. Um bow tie de um grafo G ´e um subgrafo induzido w de G que consiste de dois ciclos de ordem ´ımpar que n˜ao possui arestas em comum, Z1 = {z0, z1, · · · , zr= z0} e Z2 =
{zs, zs+1, · · · , zt = zs}, e um caminho ligando-os, P = {zr, · · · , zs}. Neste caso, denotaremos
Mw = z1. . . zrzs+1. . . zt.
Observe que se w ´e um bow tie de um grafo G, ent˜ao Mw ´e inteiro em k[G]. De fato,
Mw ´e raiz do polinˆomio f (x) = x2− Mw2. (Veja que Mw2 ∈ k[G], pois tem grau par e ´e produto
de arestas por um elelmento de k.) Mais ainda, em [6] ´e provado que o fecho inteiro k[G] de k[G] ´e uma k-sub´algebra monomial gerada pelo conjunto
B = {f1, · · · fq} ∪ {Mw ; w ´e um bow tie },
em que f1, · · · , fq s˜ao os monˆomios definidos pelas arestas de G. Assim, para verificar que k[G]
´e um dom´ınio normal, basta observar se Mw ∈ k[G] para todo w bow tie, o que torna simples
verificar a normalidade de k[G].
3.16 Teorema. Sejam G um grafo conexo simples e I seu ideal de arestas. Ent˜ao a ´algebra de Rees R(I) ´e normal se, e somente se, a sub´algebra k[G] ´e normal.
Demonstra¸c˜ao. ⇒) Suponha que R(I(G)) ´e um dom´ınio normal. Denote por m o ideal maximal irrelevante de k[x1, · · · , xn] e por A o anel k[tf1, · · · , tfq], em que I(G) =
(f1, · · · , fq). Observe que existe a decomposi¸c˜ao de A-m´odulos
R(I(G)) = k[x1, · · · , xn, tf1, · · · , tfq] = k[tf1, · · · , tfq] ⊕ mR(I(G)).
Como A ≃ k[G] e R(I(G)) ´e normal, k[G] ´e normal.
⇐) Seja C(G) o cone do grafo G. Pela proposi¸c˜ao 3.14, existe um isomorfismo
R(I(G)) ≃ k[C(G)].
Assim, basta mostrar que a ´algebra k[C(G)] ´e normal, isto ´e, que para todo w bow tie de C(G) o elemento Mw ∈ k[C(G)]. Seja w um bow tie de C(G). Para concluir a demonstra¸c˜ao
separaremos em alguns casos.
1. Se t /∈ Z1∪ Z2∪ P , ent˜ao w ´e um bow tie de G e, portanto, Mw ∈ k[G] = k[G] ⊂ k[C(G)].
2. Suponha que t ∈ Z1 ∪ Z2, digamos t ∈ Z1. Se Z1 ∩ Z2 6= ∅, ent˜ao Mw ∈ k[C(G)]. Caso
Z1 ∩ Z2 = ∅ ent˜ao Z1 e Z2 ´e unido pela aresta (t, z), em que z ´e um v´ertice de Z2 e,
3. Se t /∈ Z1 ∪ Z2 e t ∈ P , como G ´e conexo, existe um caminho em G que une Z1 a Z2.
Portanto, Mw = Mw1 para algum bow tie w1 de G e Mw ∈ k[G] = k[G] ⊂ k[C(G)].
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Vejamos agora um exemplo de um grafo cuja ´algebra de Rees de seu ideal de arestas n˜ao ´e um dom´ınio normal.
Exemplo 3.1. Considere G um grafo cujos v´ertices ´e o conjunto V = {a, b, c, x, y, z, t} e as arestas ´e o conjunto A = {(x, y), (y, z), (z, x), (x, t), (t, a), (a, b), (b, c), (c, a)}. Denote por
R = k[a, b, c, x, y, z, t] o anel de polinˆomios em um corpo k, I o ideal de aresta do grafo G e M = abcxyz. Observe que M /∈ k[G], pois todo elemento em k[G] ´e produto de arestas de G
por um elemento em k, o que n˜ao ocorre com M . Portanto, k[G] n˜ao ´e um dom´ınio normal, ou seja, a ´algebra de Rees de I n˜ao ´e normal.
Atrav´es deste exemplo obtemos uma classe de grafos cujas ´algebras de Rees de seus ideais de arestas n˜ao s˜ao normais. Outros artigos sobres normalidade das ´algebras de Rees de ideais de arestas foram escritos, e em um destes foi obtido uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que um grafo conexo possua a ´algebra de Rees de seu ideal de arestas normal. Daremos esta condi¸c˜ao como estimulo para futuros estudos, antes vejamos uma defini¸c˜ao.
3.17 Definic¸˜ao. Seja G um grafo. Uma Configura¸c˜ao de Hochster de ordem t (ou H- configura¸c˜ao) em G consiste de dois ciclos ´ımpares C2r+1 e C2s+1 tais que C2r+1∩ C2s+1 = ∅ e
t = r + s + 1.
Ent˜ao a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a ´algebra de Rees de um ideal de arestas de um grafo conexo seja normal ´e que este grafo n˜ao possua H-configura¸c˜ao.
Apˆendice
4.1
Integralidade
4.1 Definic¸˜ao. Sejam A um dom´ınio normal e k o seu corpo de fra¸c˜oes. O fecho inteiro de
A ´e o conjunto de todos os elementos f′s ∈ k que satisfazem a equa¸c˜ao abaixo:
fn+ a1fn−1+ · · · + an= 0, com ai ∈ A e n ≥ 1.
Caso, A = A dizemos que A ´e integralmente fechado ou normal.
Se A n˜ao ´e um dom´ınio, dizemos que A ´e normal se AP ´e normal, para todo P ∈ specA.
Veja que, se R ´e um dom´ınio e x um elemento transcendente sobre R, ent˜ao R ´e normal se, e somente se, R[x] ´e normal. Isso nos permite concluir que, se R ´e um anel de polinˆomios sobre um corpo k, ent˜ao R ´e um dom´ınio normal. Outro fato interessante sobre a normalidade ´e que ela ´e invariante por um sistema multiplicativo fechado como mostraremos nos resultados abaixo.
4.2 Proposic¸˜ao. Se R ´e um dom´ınio de integridade e S ´e um sistema multiplicativo fechado de R, ent˜ao
S−1(R) = S−1(R).
Demonstra¸c˜ao. Provaremos primeiro que S−1(R) ⊂ S−1(R). Seja z ∈ S−1(R).
Existe s ∈ S tal que s.z ´e inteiro sobre R. Portanto, existem a1, · · · , an ∈ R tais que
(sz)n+ a1(sz)n−1+ · · · + an= 0.
Dividindo a equa¸c˜ao por sn temos:
zn+ a1 s z
n−1+ · · · + an
sn = 0,
sendo ai ∈ R para todo i ∈ {1, · · · , n}. Como asii ∈ S−1(R), z ∈ S−1(R). Reciprocamente, seja z ∈ S−1(R), em que z = p
q com p ∈ R0, em que R0 ´e o corpo de
fra¸c˜oes de R. Logo, z satisfaz a equa¸c˜ao
zn+ a1zn−1+ · · · + an= 0,
com ai ∈ S−1(R), para todo i = 1, · · · , n. Desta forma, podemos escrever a equa¸c˜ao acima
como: pm qm + b1 c1 pm−1 qm−1 + · · · + bm cm = 0,
de modo que bi ∈ R , ci ∈ S e i ∈ {1, · · · , n}. Tome s = c1. . . cm.qm. Multiplicando a equa¸c˜ao
por s obteremos:
d1.pm+ b1.d2.pm−1+ · · · + bm.dm+1 = 0 com bi ∈ R e di ∈ S.
Ainda multiplicando a equa¸c˜ao por dm−11 teremos
(d1.p)m+ b1.d2.(d1.p)m−1+ · · · + bm.dm−1.dm−11 = 0.
Logo d1.p ∈ R e, portanto, dd11.p.q ∈ S−1(R).
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4.3 Corol´ario. Se R ´e um dom´ınio normal e S ´e um sistema multiplicativo fechado, ent˜ao
S−1(R) ´e um dom´ınio normal.
A demonstra¸c˜ao segue diretamente da proposi¸c˜ao anterior.
4.4 Definic¸˜ao. Sejam R um dom´ınio de integridade e k o seu corpo de fra¸c˜oes. Um elemento
Obviamente se x ´e inteiro sobre R ent˜ao x ´e quase inteiro sobre R. Basta tomar a = dn,
em que x = c
d. A rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira, como indica a proposi¸c˜ao seguinte.
4.5 Proposic¸˜ao. Sejam R um dom´ınio de integridade e k o seu corpo de fra¸c˜oes. Um elemento
x ∈ k ´e inteiro sobre R se, e somente se, x ´e quase inteiro sobre R.
Observe que mostrar que um elemento x, pertencente ao corpo de fra¸c˜oes de um dom´ınio R, ´e quase-inteiro sobre R ´e uma tarefa mais f´acil que mostrar que x ´e inteiro so- bre R. A proposi¸c˜ao demonstrada acima nos d´a a condi¸c˜ao para que possamos utilizar desta facilidade para concluir que o elemento x ´e inteiro sobre R.
Demonstra¸c˜ao. A condi¸c˜ao necess´aria j´a foi indicada acima. Para mostrar a condi¸c˜ao suficiente assuma a ∈ R com a 6= 0 tal que axn ∈ R para todo n ≥ 0. Como a−1R ´e
um R-m´odulo noetheriano e R[x] ⊂ a−1R, temos que R[x] ´e um R-m´odulo finitamente gerado.
Afirma¸c˜ao: R[x] ´e inteiro sobre R.
De fato, seja f ∈ R[x]. Existem α1, · · · , αn ∈ R[x] tal que R[x] = Rα1 + · · · + Rαn. Podemos
escrever f αi = n X j=1 mijαj,
em que mij ∈ R. Sejam M = (mij), N = M − f I e α = (α1, · · · , αn), em que I ´e a matriz
identidade. Como N αt= 0 podemos usar a f´ormula N adj (N ) = det (N )I para concluir que
αi det (N ) ∈ Ann(R[x]) para todo i.
Como R[x] ´e um dom´ınio de integridade, ent˜ao det (N ) = 0. Finalmente note que
g(y) = (−1)n det (M − yI)
´e um polinˆomio mˆonico em R[y], em que y ´e transcendente sobre R, e g(f ) = 0.
Como R ´e um subanel de R[x], x ´e inteiro sobre R.
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