Visto que, pelos resultados anteriores j´a garantimos a hiperbolicidade dos mapas de Poincar´e, o pr´oximo passo ´e expor variedades est´aveis para tais mapas. Os candidatos naturais s˜ao as interse¸c˜oes Ws(x, Σ) definidas anteriormente como componente conexa de
Ws∩ Σ que s˜ao tangentes aos subespa¸cos Es
Σ. A existˆencia destas variedades ´e garantida
pela escolha da extens˜ao fEs DX
t−invariante, para garantir a invariˆancia pela aplica¸c˜ao
R precisaremos restringir a classe de se¸c˜oes tranversais a uma classe cuja fronteira centro- inst´avel ´e disjunta de Λ, isto ´e, d(Λ ∩ Σ, ∂cuΣ) > δ, que denominamos como se¸c˜oes
transversais δ-adaptadas. Ver Figura 2.2.
A fim de provar a existˆencia de tais se¸c˜oes transversais, precisaremos dos dois seguintes resultados, a demostra¸c˜ao de tais fatos podem ser encontrados em [MPPuj04].
Teorema 2.1.8 ([MPPuj04], Teorema B). Seja Λ um conjunto singular-hiperb´olico para o campo X e assuma que Λ n˜ao ´e hiperb´olico. Ent˜ao, Λ tem pelos menos uma singularidade
Figura 2.2: Se¸c˜ao transversal δ-adaptada
acumulada por ´orbitas regulares de X em Λ. Al´em disso, se verifica o seguinte para X ou −X: cada singularidade acumulada σ de Λ ´e do tipo Lorenz e satisfaz
Λ∩ Wss
(σ) ={σ}.
Al´em disso foi provado que os conjuntos compactos invariantes sem singularidades contidos num conjunto hiperb´olico-singular s˜ao hiperb´olicos. Mais precisamente.
Proposi¸c˜ao 2.1.9 ([MPPuj04] Proposi¸c˜ao 1.8). Seja Λ um conjunto hiperb´olico-singular de X e Λ′ ⊂ Λ um conjunto invariante para X tal que Λ′ n˜ao tenha sigularidades. Ent˜ao Λ′ ´e hiperb´olico. Em particular qualquer ´orbita peri´odica de X em Λ ´e hiperb´olica de tipo sela.
Lema 2.1.10. Se Λ ´e um atrator hiperb´olico-singular, ent˜ao qualquer x∈ Λ est´a no fecho de Wss(x)\Λ.
Prova: A prova ´e por contradi¸c˜ao, vamos supor que existe x ∈ Λ tal que x est´a no interior de Ws(x, Σ). Seja α(x) ⊂ Λ seu conjunto α-limite. Uma vez que qualquer parte
compacta da variedade forte est´avel de z ´e acumulada por iterados passados de toda vizinha¸ca pequena de x dentro de Wss(x), temos
Wss(z)⊂ Λ para todo z ∈ α(x)
ent˜ao, pelo Teorema B z, n˜ao ´e uma singularidade. Como z ´e arbitr´ario, α(x) n˜ao cont´em qualquer singularidade. Portanto, pela Proposi¸c˜ao 1.8 o conjunto invariante α(x)⊂ Λ ´e hiporb´olico. Por outro lado, como
temos
S = [
y∈α(x)
Wss(y)⊂ Λ que tamb´em n˜ao cont´em qualquer singularidade .
Considere agora uma ´orbita de y para tempo passado densa em Λ. Por um lado seu conjunto α-limite ´e Λ e por outro α(y)⊂ S, conclu´ımos assim que Λ ⊂ S, que ´e uma contradi¸c˜ao, pois Λ cont´em singularidades.
Corol´ario 2.1.11. Para qualquer x ∈ Λ existem pontos x+ ∈ Λ e x/ − ∈ Λ em diferentes/
componentes conexas de Wss(x)\{x}.
Prova: A prova ´e por contradi¸c˜ao. Por um lado suponha que existe x+ ∈ Λ na mesma
componente conexa de Wss\{x}, ent˜ao existiria um segmento inteiro da variedade forte
est´avel inteiramente contido em Λ. Considere um ponto no interior deste segmento, chegar´ıamos a uma contradi¸c˜ao pelo Lema 2.1.10. Repita o mesmo argumento para x− ∈
Λ, finalizando assim a demonstra¸c˜ao.
O pr´oximo Lema exibe a constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversal δ-adaptada para x ∈ Λ regular.
Lema 2.1.12. Seja x∈ Λ um ponto regular, isto ´e, tal que X(x) 6= 0. Ent˜ao existe δ > 0 para o qual existe uma se¸c˜ao transversal δ- adaptada Σ em x.
Prova: Tome ǫ > 0 como na proposi¸c˜ao 2.1.2. Como visto na subse¸c˜ao 2.1.1 qualquer se¸c˜ao transversal Σ0, para x suficientemente pequena com respeito a ǫ > 0, ´e folheada
pela interse¸c˜ao Ws
ǫ(x, Σ0). Pelo corol´ario acima, podemos encontrar x+∈ Λ e x/ − ∈ Λ em/
cada componente conexa de Ws
ǫ(x, Σ0). Como Λ ´e fechado, seu complementar ´e aberto,
ent˜ao existem vizinhan¸cas V± de x± disjuntos de Λ de raio δ. Seja γ ⊂ Σ
0 alguma curva
passando por x transversal a Ws
ǫ(x, Σ0). Podemos encontrar uma fam´ılia cont´ınua de
segmentos dentro de Ws
ǫ(y, Σ0) com y ∈ γ com parˆametros contidos em V±. Ent˜ao, tome
Σ como a se¸c˜ao transversal formada pela uni˜ao dos segmentos Ws
ǫ(y, Σ0) limitados por
∂cuΣ passando pelos pontos x± com y∈ γ, ver figura 2.3.
Agora que j´a garantimos a existˆencia de se¸c˜oes δ-adaptadas, provaremos a pro- priedade de invariˆancia das folhea¸c˜oes Ws(x, Σ)pela aplica¸c˜ao R.
Lema 2.1.13. Dado δ > 0 e Σ,Σ′ se¸c˜oes transversais δ-adaptadas, ent˜ao existe t2 =
t2(Σ, Σ
′
) > 0 tal que se R : Σ(Σ′)→ Σ definido por R(z) = Rt(z)(z) ´e o mapa de Poincar´e
Figura 2.3: Constru¸c˜ao da se¸c˜ao transversal δ-adaptada de um ponto regular x
1. R(Ws(x, Σ))⊂ Ws(R(x), Σ)
2. d(R(y), R(x)) ≤ 1
2d(y, z) para y,z ∈ W
s(x, Σ) e x∈ Σ(Σ′).
Prova: Seja ˆes
x ∈ EΣs como na proposi¸c˜ao 2.1.6, ℓ denotando o comprimento de curvas e
K = sup{ℓ(Ws(x, Σ)), x∈ Σ}ent˜ao
kDR(x)ˆesxk ≤
K k λ
t′′1
o que implica que a dire¸c˜ao da tangente de cada Ws(x, Σ) ´e contra´ıdo a uma taxa expo-
nencial. Por outro lado como Σ ´e uma se¸c˜ao δ-adaptada temos que sup{ℓ(Ws(x, Σ)), x∈ Σ} > δ
⇓ escolha t′2 suficientemente grande tal que
1 kλ t′2sup{ℓ(Ws(x, Σ)), x∈ Σ} < δ ⇓ 1 kλ t′2K < δ portanto kDR(x)ˆes xk ≤ K k λ t′′1 ≤ K kλ t′2 < δ.
Concluindo assim a prova do item (1), para a prova do item (2) basta considerar t′′2 suficientemente grande tal que K
kλ t′′2 < 1
2. Para conclus˜ao da prova tome t2 = max{t
′
2, t
′′
2}.
Observa¸c˜ao 2.1.14. Podemos tomar t2 > t1, e t2 pode ser tomado de maneira uniforme
como t1, ver observa¸c˜ao 2.1.5.
Por fim o pr´oximo resultado conclui a prova de que Ws(x, Σ) s˜ao variedades
est´aveis para a aplica¸c˜ao R.
Lema 2.1.15. Seja Σ uma se¸c˜ao δ-adaptada. Ent˜ao, dada R+ ∋ r > 0 existe ρ tal que
dist(y, z) < ρ implica que d(Xs(y), Xs(z)) < r para todo s > 0, cada y, z ∈ Ws(x, Σ) e
cada x∈ Λ ∩ Σ.
Prova: Sejam y, z∈ Ws(x, Σ), como assumimos se¸c˜oes transversais tais que Ws(x, Σ)⊂
Wss
ǫ (x), podemos encontrar z
′
= Xτ(z)∈ Wss(y) satisfazendo
1
Kd(y, z)≤ dist(y, Xτ(z))≤ Kd(y, z) e |τ | ≤ Kd(y, z) Ent˜ao, dado ǫ > 0
dist(Xs(y), Xs(z)) ≤ dist(Xs(y), Xs(z
′ )) + dist(Xs(z ′ ), Xs(z)) ≤ Ceγsdist(y, z′) + dist(X s(Xτ(z)), Xs(z)) ≤ CeγsKd(y, z) + dist(X s+τ(z), Xs(z)) ≤ CeγsKd(y, z) +|τ | ≤ CeγsKd(y, z) + K|τ | ≤ CKd(y, z) + K|τ | ≤ CKd(y, z) + KKd(y, z) ≤ (CK + K2)d(y, z) < (CK + K2)ρ < r sempre que ρ < r (KC+K2).
Para cada se¸c˜ao Σ δ-adaptada temos o seguinte:
Lema 2.1.16. Dada uma se¸c˜ao Σ δ-adaptada para o campo X existe vizinhan¸ca U0 em
X1(M ) do campo X tal que para todo campo de vetores Y ∈ U0 a se¸c˜ao transversal Σ ´e δ
2-adaptada ao campo Y em rela¸c˜ao ao sumidouro ΛY(U ).
Prova: Precisamos mostrar que dada uma se¸c˜ao Σ δ-adaptada para o campo X, esta mesma se¸c˜ao ´e tamb´em adaptada para o campo Y ∈ X1(M ) suficientemente C1 pr´oximo
de X. Pelo Lema 2.3 em [AP10] ΛX(U ) e ΛY(U ) est˜ao perto na distˆancia de Hausdorff
se X e Y est˜ao perto na distˆancia C0. Assim, se Σ ´e uma se¸c˜ao δ-adaptada podemos
encontrar uma vizinhan¸ca U0 em X1(M ) de X tal que Σ ´e uma se¸c˜ao δ
2-adaptada para
todo fluxo Yt gerado pelo campo em U0.
Figura 2.4: Existˆencia de Variedades est´aveis para o mapa de Poincar´e