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Em um grupo topológico, quaisquer dois pontos distintos podem ser “ligados” por um homeomorfismo. De fato, dados x 6= y em G, se considerar g = yx−1 _{então o homeomor-}

fismo Eg é o procurado, pois Eg(x) = y. Isto pode ser referido como uma propriedade

de homogeneidade de G. Essa propriedade nos permitirá dizer que algumas informações topológicas que se queira saber sobre o espaço em questão podem ser adquiridas obser- vando apenas o sistema de vizinhanças no ponto identidade deste grupo, ressaltando a importância deste sistema para esta teoria.

Além disso, podemos afirmar que a definição de espaços uniformes, a qual veremos, conseguiu de alguma forma captar informações análogas às existentes no sistema

apresentado abaixo. Dito isto, começamos então a verificar propriedades sobre o sistema U_e.

Teorema 4.9. Em um grupo topológico G qualquer base Ve do sistema de vizinhanças na

identidade ( Ue obtido da topologia em questão), além de ser uma base de filtro, satisfaz

as seguintes fundamentais propriedades: (T1) Para todo U ∈ Ve, ocorre que e ∈ U ;

(GT1) Para todo U ∈ Ve, existe V ∈ Ve, tal que V[2] ⊂ U ;

(GT2) Para todo U ∈ Ve, existe V ∈ Ve, tal que V−1 ⊂ U ;

(GT3) Para quaisquer g ∈ G e U ∈ Ve, existe V ∈ Ve, tal que g−1V g ⊂ U .

Demonstração. A propriedade (T1) é evidente, enquanto as demais são propriedades equi- valentes a continuidade no ponto identidade das aplicações produto, inversão e conjuga-

ção, respectivamente. 

Observe também que por um argumento indutivo é possível dizer que (GT1) garante que para quaisquer U ∈ Ue e n ∈ N, existe V ∈ Ue, tal que V[n]⊂ U .

Com relação ao sistema propriamente dito temos algumas leves diferenças: Observação 4.10. É claro que o sistema Ue é base de si mesmo, assim ele satisfaz todas

as conclusões do teorema anterior. Mas pelo fato dele ser um filtro (lembre que base de filtro não possui a absorção por superconjuntos), temos que:

(GT2) significa que para todo U ∈ Ue, ocorre U−1 ∈ Ue;

(GT3) significa que para quaisquer g ∈ G e U ∈ Ue , ocorre gUg−1 ∈ Ue.

Nesse sentido, quando estivermos nos referindo ao próprio sistema Ue podemos usar li-

vremente essas caracterizações quando fizermos uso das propriedades (GT2) e (GT3) em U_e, portanto devemos ter isso em mente para não gerar confusão com bases, onde isso nem sempre vale.

Exemplo 4.11. Como já sabemos, um exemplo de base para o sistema Ue é dada por

U_e◦, a qual lembramos ser dada pela família de todas as vizinhanças abertas de e, ou seja, de todos os conjuntos que são abertos contendo a identidade.

Exemplo 4.12. Outro exemplo de base, nesse caso com importância operacional, é dada pela família de todas as vizinhanças sendo abertos simétricos contendo a identidade. Essa família é de fato uma base de Uepois para qualquer U ∈ Ueao considerar V = U◦∩(U◦)−1

conseguimos V ∈ Ue sendo um aberto simétrico contido em U. Com isso, podemos dizer

que, para todo U ∈ Ue, existe V ∈ Ue tal que V = V◦, V = V−1 e V[2] ⊂ U .

Como primeira aplicação disto, temos o resultado indicando uma das classes topológicas onde todos os grupos topológicos se encontram.

Proposição 4.13. Qualquer grupo topológico (G, p, τ) é regular.

Demonstração. Como é de costume, começamos pela identidade. Tome qualquer U ∈ Ue

e vamos procurar algum aberto V tal que V ⊂ U. Considere o V como no Exemplo

4.12 e mostremos que ele satisfaz o desejado. Com efeito, dado qualquer x ∈ V teremos xV ∩V 6= ∅. Nesse caso, xv1 = v2 para certos v1 e v2 em V , ou seja, x = v2v1−1 ∈ V[2] ⊂ U ,

como precisávamos. Essa propriedade também vale para qualquer vizinhança U de um

ponto distinto da identidade devido a homogeneidade de G. 

Mais adiante, ao tratarmos sobre espaços uniformizáveis, poderemos afirmar um pouco mais. Lá uma consequência será que qualquer grupo topológico é completa- mente regular.

Agora, partimos para fazer algo análogo ao realizado no Teorema1.3, mas com a diferença de agora estarmos lidando num ambiente com alguma estrutura algébrica, ou seja, daremos uma espécie de recíproca para o Teorema 4.9.

Definição 4.14. Uma família Ve de subconjuntos de um grupo (G, p) (não precisa ter

topologia envolvida) será dita uma base algébrica de vizinhanças na identidade para significar que tal família é uma base de filtro que cumpre as propriedades (T1), (GT1), (GT2) e (GT3).

Nesta definição, a palavra vizinhança, a princípio, não está relacionada com abertos, visto que não mencionamos topologia no grupo em questão. O termo “algé- brico” na definição anterior foi colocado para que não haja confusão com o objeto já

definido em espaços topológicos base de vizinhanças. Poderíamos omitir este termo confi- ando na habilidade do leitor em entender o contexto envolvido mas assim as coisas podem ficar mais claras.

Agora, partirmos para mostrar um jeito de uma base algébrica de vizinhanças na identidade em um grupo conseguir fornecer uma, e apenas uma, topologia para este grupo de forma a torná-lo um grupo topológico onde tal família seja base de vizinhanças na identidade (agora sim topologicamente falando). Mostrado isso, não haverá mais tanta necessidade do termo “algébrico” na definição acima, bastando sempre considerar essa topologia associada.

Começamos com um lema. Vamos dizer que uma topologia τ em um grupo (G, p) é invariante à esquerda (direita) para significar que, dados quaisquer g ∈ G e U ∈ τ ocorre gU ∈ τ (Ug ∈ τ) , ou seja, que qualquer translação à esquerda (direita) é aplicação aberta, ou seja, um homeomorfismo1_.

Lema 4.15. Seja um grupo (G, p) com uma topologia τ. Então (G, p, τ) é um grupo topológico se, e somente se, valem os seguintes itens:

• τ é invariante à esquerda e à direita; • O produto p é contínuo em (e, e); • A inversão i é contínua em e.

Demonstração. A implicação é evidente. Reciprocamente, precisamos mostrar que a in- versão e o produto são contínuos em todos os pontos de G. Vamos usar a seguinte propriedade topológica: dados uma função f : X → Y e um homeomorfismo h : X → X, então f ◦ h contínua em x implica f contínua em h(x) (tal fato é resultado da igual- dade, f = (f ◦ h) ◦ h−1_{). Sejam g e h elementos quaisquer em G, vamos mostrar que}

i é contínua no ponto g. Observe que Eg−1 ◦ i é contínua na identidade e; logo i ◦ D_g

é contínua em e, pois essas composições são idênticas. Sendo Dg um homeomorfismo,

podemos dizer que i é contínua em Dg(e) = g. Agora vamos comprovar que p contínua

em (g, h). Observe que as translações no grupo produto G × G satisfazem as igualdades

1

Esse fato muitas vezes serve para dizer também que o grupo (G, p) com a topologia τ é grupo semitopológico.

E(g,h) = Eg × Eh e D(g,h) = Dg× Dh. Assim, se as translações em G são homeomorfis-

mos teremos as translações em G × G sendo homeomorfismos. Agora, observe que vale também a igualdade Eg◦ Dh◦ p = p ◦ E(g,e)◦ D(e,h). Deste modo, a continuidade de p em

(e, e) implica a continuidade de Eg◦ Dh◦ p em (e, e) e, consequentemente, a continuidade

de p ◦ E(g,e)◦ D(e,h) em (e, e). Como E(g,e)◦ D(e,h) é um homeomorfismo, segue que p é

contínua em (E(g,e)◦ D(e,h))(e, e) = (g, h). 

Teorema 4.16. Seja (G, p) um grupo munido de uma base algébrica de vizinhanças na identidade Ve. Então existe uma única topologia τ de forma que (G, p, τ ) é um grupo

topológico e que o filtro We, gerado por Ve, seja exatamente o sistema Ue de vizinhanças

na identidade em relação à topologia τ .

Demonstração. Vamos verificar a existência. É simples verificar que para todo g ∈ G a família gVe := {gV ; V ∈ Ve} é uma base de filtro. Nesse caso, considere em cada elemento

g ∈ G o filtro Wggerado por gVe. Mostremos que a correspondência W(.)define um sistema

de vizinhanças em G, ou seja, satisfaz as propriedades (V1) até (V4) da Definição1.1. De (V1) até (V3) as demonstrações são triviais. Vejamos que vale (V4). Com efeito, dado U′ _{∈ W}

g, por definição de base de filtro existe U ∈ Ve com gU ⊂ U′. Usando (GT1) de

V_e, existe V ∈ V_e com V[2] _{⊂ U . Agora note que gV ∈ Vg ⊂ Wg} e para qualquer gv ∈ gV ocorre gvV ⊂ gV[2] _{⊂ gU ⊂ U}′_{. Como gvV ∈ V}

gv, podemos dizer que U′ ∈ Wgv, como

queríamos. Assim, W(.) é um sistema de vizinhanças em G. Nesse caso o Teorema 1.3

garante que ao definirmos

τE := {A ⊂ X; (∀ a ∈ A)(∃ Wa ∈ Wa)Wa ⊂ A}

temos imediatamente que τE é uma topologia em G. Mais que isso, esse resultado garante

também que o sistema We é exatamente o sistema Ue de vizinhanças da identidade em

relação a τE. Precisamos provar que (G, p, τE) é um grupo topológico. Para isso vamos

usar o lema anterior. Note que τE é claramente invariante à esquerda, ou seja, toda

translação à esquerda é uma aplicação aberta, pois com A ∈ τE, temos que para todo

a ∈ A existe Wa ∈ Wa com Wa ⊂ A. Então para qualquer ga ∈ gA, já que gWa = Wga,

segue gWa ∈ Wga e gWa⊂ gA, logo gA ∈ τE. Vejamos que translações à direita também

qualquer ah ∈ Ah. Podemos dizer, diretamente, que existe V ∈ Ve com aV ⊂ A. Então,

ah(h−1_{V h) = (aV )h ⊂ Ah. Observe que por (GT3), existe U ∈ V}

e onde hUh−1 ⊂ V ,

ou seja, h−1_{V h está no filtro W}

e; logo ah(h−1V h) ∈ ahWe = Wah e assim Ah ∈ τE, como

queríamos. Ainda, o produto é contínuo em (e, e) por (GT1), e a inversão é contínua em e por (GT2). Assim o lema garante o desejado.

Agora vamos verificar a unicidade desta topologia. Suponha que tenhamos uma outra topologia τ′_{(e seu sistema U}

(.)) que também faça (G, p, τ′) ser grupo topológico, com

U_{e = We}. Vamos argumentar de forma análoga às considerações da introdução desta Seção

4.2. Basta concluirmos que os sistemas coincidem pontualmente, pois disto as topologias deverão ser iguais. Escolhendo arbitrariamente um g ∈ G queremos mostrar que Ug = Wg.

Se U ∈ Ug, já que τ′ faz de G um grupo topológico (translações são homeomorfismos),

teremos g−1_{U ∈ U}

e = We; logo U = gg−1U ∈ gWe = Wg. Reciprocamente, com W ∈

W_g, por construção existe V ∈ V_e com gV ⊂ W . Como V_{e = Ue} e (G, p, τ′_{) é um}

grupo topológico, segue que gV ∈ Ug e como Ug é filtro (propriedade (V3)), teremos

imediatamente W ∈ Ug, como queríamos. 

É claro que poderíamos ter demonstrado o teorema acima usando a topologia a direita τD. Nesse caso a unicidade garante que τE = τD. Ainda, se estamos com um grupo

topológico (G, p, τ), é claro que o sistema de vizinhanças em Uedesta topologia é uma base

algébrica de vizinhanças em e. Neste caso considerando as topologias τE e τD associadas

a este sistema algébrico, como nas construções anteriores, podemos afirmar devido a unicidade que τE = τ = τD, ou seja, os abertos em um grupo topológico qualquer sempre

podem ser caracterizados através de translações, à esquerda ou à direita, de vizinhanças da identidade.

Observação 4.17. Lembremos aqui que um espaço topológico T0 e regular é de Haus-

dorff. Com efeito, dados dois pontos distintos x 6= y em X, então pelo axioma T0 deve

existir uma vizinhança, por exemplo, de x que não contém y, ou seja, existe U ∈ Ux com

y /∈ U . Deste modo x /∈ {y}. Como o espaço é regular, devem existir abertos disjuntos V e W com x ∈ V e y ∈ {y} ⊂ W . Logo o espaço é de Hausdorff.

Proposição 4.18. Se (G, p, τ) é um grupo topológico, então são equivalentes: (a) (G, τ ) é T0; (b) (G, τ ) é Hausdorff; (c) {e} é fechado; (d) \ U∈Ue U = {e}.

Demonstração. A implicação “(a) ⇒ (b)” segue pela Proposição 4.13 juntamente com a observação anterior e “(b) ⇒ (c)” segue pelo fato de T2 implicar T1. Agora “(c) ⇒ (a)” é

devido a homogeneidade de G, pois isso garantirá que o espaço é T1 e, portanto, T0. Resta

apenas “(c) ⇔ (d)”. Vejamos “(c) ⇒ (d)”. A hipótese equivale a dizer que todo conjunto unitário será fechado. Assim vale a inclusão {∁{x}; x 6= e} ⊂ Ue e por consequência,

\

U∈Ue

U ⊂ \

x6=e

∁{x}. Como trivialmente vale a igualdade T_x6=e∁{x} = {e}, teremos {e} ⊂ \

U∈Ue

U ⊂ {e}, como desejado. Para verificar “(d) ⇒ (c)” veja que a hipótese permite dizer que \

U∈Ue

U◦ = {e}. Nesse caso, se considerar qualquer ponto x 6= e então x ∈ ∁V◦

para algum V ∈ Ue, ou seja, x /∈ {e} e, por isso, temos a demonstração procurada. 

Agora, conforme Arhangel’skii e Tkachenko [3], pg. 69, inseriremos uma in- teressante nomenclatura que nos será útil ao discutir alguns aspectos de admissibilidade em grupos topológicos. Dizemos que um subconjunto V de um grupo (G, p) é invariante para significar que para todo g ∈ G, ocorre gV g−1 _{= V . Sabendo disto definimos:}

Definição 4.19. Um grupo topológico será dito equilibrado para expressar que o sistema U_{e possui uma base de vizinhanças invariantes.}

Proposição 4.20. Se um grupo G é equilibrado, então ele possui uma base de vizinhanças abertas invariantes na identidade.

Demonstração. Para isso basta considerar o interior dos elementos da base de vizinhanças invariantes, as quais continuarão sendo invariantes uma vez que conjugações são homeo-

Vale até um resultado mais forte, que acaba por preencher os detalhes do resultado anterior.

Proposição 4.21. Um grupo G é equilibrado se, e somente se, ele possui uma base de vizinhanças abertas simétricas invariantes na identidade.

Demonstração. De fato, a suficiência é clara. Quanto a necessidade, temos por hipótese uma base We de vizinhanças invariantes na identidade. Nesse caso, para todo U ∈ Ue,

existe W ∈ We onde W ⊂ U e gW g−1 = W seja qual for o g ∈ G. Defina V =

W◦_∩(W◦₎−1_{. É claro que V é simétrico e V ⊂ U. Pela inversão ser um homeomorfismo V}

é aberto. Vejamos que ele é invariante. Com efeito, por conjugações serem homomorfismos e também homeomorfismos segue, para todo g ∈ G, as igualdades gV g−1 _{= gW}◦_g−1 _∩

g(W◦₎−1_g−1 _{= (gW g}−1₎◦_{∩ ((gW g}−1₎◦₎−1 _{= W}◦_{∩ (W}◦₎−1 _{= V , como desejado. Assim, a}

família W′

e = {W◦∩(W◦)−1; W ∈ We} é base de vizinhanças abertas simétricas invariantes

na identidade. 

Começamos a ver relação entre compacidade e invariância no seguinte resul- tado. Neste, denote por Ve a base constituída apenas das vizinhanças abertas da identi-

dade (pelo Exemplo 4.11).

Proposição 4.22. Seja C compacto em um grupo topológico G. Então, para todo U ∈ Ue,

existe ˜U ∈ Ve, tal que para todo g ∈ C, ocorre g ˜U g−1 ⊂ U .

Demonstração. Seja qualquer U ∈ Ue. Observe que para qualquer vizinhança aberta

W ∈ Vepodemos cobrir o compacto C por translações à direita fazendo C ⊂

[

f∈F

W f , com F ⊂ C sendo apenas um conjunto finito. Nesse caso, todo g ∈ C seria da forma g = wf com w ∈ W e f ∈ F . Assim, o problema se resume em encontrarmos um ˜U e um W em Ve

onde w f ˜U f−1 _w−1 _{⊂ U , para todo f ∈ F e todo w ∈ W . Note que se fosse possível dizer}

que vale a inclusão \

f∈F

f ˜U f−1 ⊂ W , que equivale a ˜U ⊂ \

f∈F

f−1W f (denote por (*) esta última inclusão), valeria que se f ∈ F e w ∈ W , então wf ˜U f−1_w−1 _{⊂ wW w}−1 _⊂

W[2] _{◦ W}−1_{. Nesse caso, finalizaríamos o resultado se também for possível encontrar}

W ∈ Ve com W[2] ◦ W−1 ⊂ U . Para essa última afirmação, veja que por (GT1) podemos

(GT2), conseguimos W3 ∈ Vetal que W3−1 ⊂ W1. Por fim, sendo base de filtro, escolhemos

W ∈ Ve tal que W ⊂ W2∩ W3 e teremos W[2]◦ W−1 ⊂ W2[2]◦ W3−1 ⊂ W1◦ W1 ⊂ U , como

desejado. Assim, resta apenas encontrar algum ˜U ∈ Ve que respeite a inclusão (*). Mas

como já temos W ∈ Ve ⊂ Ue, então

\

f∈F

f−1W f pertence ao sistema Ue (devido a (GT3)

e por Ue ser fechado para interseções finitas), assim conseguimos, por definição de base,

um ˜U ∈ Ve satisfazendo o desejado e, portanto, finalizamos o resultado. 

Com isto em mente, podemos imediatamente afirmar que:

Teorema 4.23. Grupos topológicos abelianos ou compactos são equilibrados.

Demonstração. O caso abeliano é evidente. No caso compacto, para todo U ∈ Ue con-

sidere, pela proposição anterior, o aberto ˜U ∈ Ve onde g ˜U g−1 ⊂ U para todo g ∈ G.

Agora, para todo U ∈ Ue, faça WU =

[

g∈G

g ˜U g−1. É simples ver que WU é uma vi-

zinhança aberta da identidade, invariante e está contida em U. Deste modo a família W_{e = {WU; U ∈ Ue} ⊂ Ue} é uma base que garante o grupo ser equilibrado. 

Poderíamos continuar explorando muitas outras propriedades em grupos topo- lógicos para ressaltar a harmonia existente no desenvolvimento de uma teoria envolvendo conceitos algébricos (como subgrupos, homomorfismos, etc) e topológicos (continuidade, conexidade, etc). Mas encerramos aqui nossas argumentações sobre isso. Existem muitas bibliografias tratando deste assunto de modo que se o leitor tiver interesse em estudar mais resultados desta parte é tarefa simples encontrar boas referências.

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Espaços Pseudometrizáveis

O conceito de métrica foi criado pelo matemático francês Maurice Fréchet em 1906, forne- cendo uma imensa contribuição para a matemática de sua época, a qual permitiu o avanço de grande parte da matemática dos dias de hoje, servindo inclusive de propulsão para a criação dos espaços topológicos. Afinal, foi pesquisando sobre esse conceito que Hausdorff formalizou sua noção de Topologia (já discutida na Seção1). Além disto, podemos exaus- tivamente estudar todas as suas propriedades intrínsecas e avançar nas questões de suas consequências e aplicações envolvidas. Nesse caso, é claro que esses são entes merecedores

de toda a atenção possível, no entanto trataremos rapidamente sobre eles (acreditando que já tivemos contato o suficiente com essa teoria e seus diversos exemplos em estudos básicos de matemática pura) pois aqui o objetivo é apenas ter conhecimento, assim como feito com grupos topológicos, da outra importante classe de espaços que Weil generalizou. Além disso, será extremamente oportuno dedicar uma seção a um dos importantes e históricos teoremas sobre pseudometrização, o qual desempenhará papel de protagonista ao tratar da equivalência entre as linguagens de uniformidades via coberturas e pseudométricas.

Começamos pelo objeto que será mais usado nesse trabalho, o qual é uma ligeira generalização de uma métrica.

Definição 5.1. Dado um conjunto não vazio X, dizemos que nele está definida uma pseudométrica ρ para significar que ρ : X × X → R é uma função que satisfaz, para qualquer {x, y, z} ⊂ X, os seguintes axiomas:

(M0) ρ(x, y) ≥ 0; (M1) ρ(x, x) = 0;

(M2) ρ(x, z) + ρ(z, y) ≥ ρ(x, y); (M3) ρ(x, y) = ρ(y, x).

Uma métrica ρ é uma pseudométrica onde vale também a recíproca do axioma (M 1), ou seja, se temos {x, y} ⊂ X com ρ(x, y) = 0, então x = y. No caso anterior dizemos que o par (X, ρ) é um espaço pseudométrico (métrico).

Como dissemos, poderíamos explorar muitos aspectos em torno desse conceito. Como exemplo é essencial saber que todo espaço pseudométrico tem inerentemente uma topologia induzida pela métrica em questão, tal topologia pode ser obtida por construir uma base de vizinhanças em cada ponto dado pela família de bolas abertas (um outro sistema básico seria pelas bolas fechadas) centradas no respectivo ponto. Mas o fato mais interessante é o procedimento recíproco, ou seja, quando estamos a princípio com um espaço topológico (de qualquer natureza) e nos perguntamos se é possível encontrar uma pseudométrica que possua topologia idêntica à primordialmente considerada. O caso afirmativo é o que chamamos de pseudometrização de um espaço topológico. Ainda, é

fato que feita qualquer pesquisa sobre esse assunto encontramos rapidamente diversos fatos históricos interessantes e resultados surpreendentes (pelo menos do ponto de vista da matemática pura).

Poderíamos desenvolver toda a base introdutória referente às propriedades to- pológicas desse caso, assim como foi feito na seção anterior, conseguindo muitos resultados fortes e importantes, como por exemplo o famoso Lema da cobertura de Lebesgue. Mas como já alertamos, não nos aprofundaremos nesses quesitos e partimos para o resultado que será útil diretamente para nossas discussões.

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