4. RESULTATER
4.1. Kort beskrivelse av læreverkene
Tetra
Tetras læreverk har fire komponenter til hvert årstrinn; ei elevbok, ei
lærerveiledning, nettside og ei engangsbok med enklere stoff og oppgaver enn i hovedboka. Denne engangsboka kalles av forlaget for treningshefte.
Lærerveiledninga inneholder ei generell innledning der strukturen i Tetra forklares. I innledninga står det også hvordan læreplanen er dekket og hvordan lærestoffet er fordelt på de tre årstrinnene. I tillegg til dette inneholder
lærerveiledninga blant annet kommentarer i forhold til hvert kapittel, ekstra oppgaver, prøver til kapitlene og fasit til noen av oppgavene. Nettsida er tilrettelagt for både elever og lærere. Tetra 8 har seks kapitler. Tetra 9 har også seks kapitler, hvorav det siste av disse er om funksjoner. Tetra 10 har seks kapitler, der det ene av disse er repetisjon fra hele ungdomstrinnet. En del av dette kapitlet handler om funksjoner. Det siste kapitlet i boka kommer så vidt innom andre- og tredjegradsfunksjoner.
Grunntall
Grunntall har også ei elevbok på hvert årstrinn. Til hver elevbok finnes det ei lærerveiledning som forlaget kaller ressursperm. Denne kan fås enten i papirutgave eller på CD-rom. Ilærerveiledninga finnes ei generell innledning, og forskjellig stoff beregnet på elever og lærere, som kommentarer til
fagstoffet i elevboka, forslag til årsplan, ekstra oppgaver og prøver til kapitlene.
Læreverket har også et interaktivt dataprogram, der det finnes teori, eksempler og oppgaver. Skolene kjøper lisens til dataprogrammet for et skoleår av
gangen. Grunntall 8 har tretten kapitler, der det ene handler om funksjoner.
Grunntall 9 har ni kapitler. Et av disse er identisk med et av kapitlene på 8. trinn. I niendetrinnsboka er det også et kapittel om funksjoner. GrunntalllO har ni kapitler, hvorav det ene blant annet handler om funksjoner.
4.2.
Oppfylling av kompetansemål
I analysen av hvordan læreverkene støtter oppfylling av kompetansemål, har jeg studert læreverkenes hovedbøker for hvert årstrinn. Jeg har ikke tatt for meg andre komponenter verkene har, som nettside, CD og ekstra bøker.
Det betyr at når Grunntall i sine hovedbøker henviser til CDen for flere digitale oppgaver, blir ikke disse oppgavene tatt med i analysen. I bøkene på 8., 9. og 10. trinn er det til sammen ni oppgaver om funksjoner som henviser til CDen.
På samme måte blir heller ikke oppgavene fra Tetras treningshefte eller nettsted vurdert i denne analysen. Mange skoler kjøper inn kun læreverkenes hovedbøker - i alle fall i første omgang. Da er det nyttig å se om læreverkene legger til rette for at læreplanen kan oppfylles i hovedbøkene, eller om skolene er avhengig av supplerende stoff i en eller annen form. Ingen av læreverkene viser dessuten til at man må kjøpe eller bruke flere komponenter enn elevens grunnbøker for å nå målene i læreplanen. På nettsida til Tetra står det: "Tetra har ei fyldig grunnbok for kvart årstrinn. ( ... ) Med Tetra treng du ikkje bruke tid på å leite etter utfyllande stoff og fleire oppgåver" ("Tetra"). Treningsheftet er ifølge nettstedet kun ment for elever som trenger et enda enklere opplegg enn det grunnboka har ("Tetra"). Nettsida er ikke bygget opp etter klassetrinn og har kun tretten utfyllingsoppgaver om funksjoner. På nettsida til Grunntall står det om dataprogrammet Grunntall e8-10 at det "dekker de fleste emnene i matematikk ( ... ) og er et godt supplement til matematikkundervisningen uansett læreverk" ("Dataprogram"), men altså ikke at man må ha dataprogrammet for å få et fullverdig utbytte av læreverket.
Etter å ha funnet ut hvilke deler av bøkene, og hvilke deler av kapitlene som inneholdt oppgaver som kan knyttes til hovedområdet funksjoner, gjorde jeg en dela na lyse der jeg tok utgangspunkt i de aktuelle oppgavene. Jeg analyserte hver enkelt oppgave i forhold til analysekriteriene jeg skisserte i teoridelen. Da jeg var ferdig med dette arbeidet, kunne jeg summere oppgavene under hvert analysekriterium, for å få en oversikt over datamaterialet. De innsamlede dataene viser at innen emnet funksjoner har hovedbøkene til Tetra 222 oppgaver, av disse 172 på 9. trinn og 50 på 10. trinn. Grunntall har fordelt sine oppgaver med 20 på 8. trinn, 55 på 9. trinn og 66 på 10. trinn, altså totalt 141 oppgaver. At læreverkene har så pass ulik mengde oppgaver innenfor samme emne, har jeg ikke gitt videre oppmerksomhet, fordi oppgavenes kompleksitet og lengde varierer, og på bakgrunn av det kan få oppgaver være mer
omfattende og arbeidskrevende enn mange oppgaver.
Som beskrevet, har jeg delt opp kompetansemålene fra læreplanen og deretter sett på hva hver enkelt oppgave inneholder i forhold til disse
delkompetansemålene. Mange oppgaver inneholder flere deler, for eksempel spørsmål a til d, som fokuserer på ulike sider ved emnet funksjoner. Andre oppgaver igjen inneholder bare et enkelt spørsmål. I tillegg er det slik at mange oppgaver passer under flere underpunkter av funksjoner. En oppgave kan for eksempel handle både om å lage funksjoner på papiret, lage funksjoner som beskriver praktiske sammenhenger og omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner. Derfor går samme oppgave igjen under flere underpunkter.
I dette kapitlet viser jeg ved hjelp av oppgaver hentet fra læreverkene hvordan jeg har analysert oppgaver om funksjoner. Oppgavene som er tatt med er valgt ut fordi de er typiske i forhold til et eller flere analysekriterier. I metodekapitlet om tekstanalyse skrev jeg at en god beskrivelse av teksten er grunnlaget når man analyserer, og at det karakteristiske ved teksten bør være i fokus (Østbye, Helland, Knapskog og Larsen, 2007, s 72). Eksemplene jeg har brukt i dette kapitlet er derfor oppgavetyper som går igjen i læreverkene.
Min analyse i forhold til kompetansemål viser at begge læreverkene har oppgaver innenfor alle analysepunktene jeg satte opp. Likevel er det slik at noen analysepunkter dekkes av mange oppgaver, andre av få. Hva er
tilstrekkelig antall oppgaver for at elevene for eksempel skal kunne identifisere og utnytte egenskapene til omvendt proporsjonale funksjoner, slik det står i kompetansemålet? Det vil ganske sikkert variere fra elev til elev, og ut fra hvor omfattende oppgavene er. Grunntall og Tetra velger ulike løsninger på dette, noe jeg ser nærmere på i drøftingsdelen.
Det første av kompetansemålene om funksjoner starter med at elevene skal kunne "lage, på papiret og digitalt, funksjoner. .. " (Læreplanverketjor Kunnskapsløjtet, 2006, s. 64). Som jeg skrev i forbindelse med
analysepunktene, bestemte jeg meg for å kategorisere alle oppgaver som er merket som pc-oppgaver som oppgaver som elevene arbeider med digitalt. De resterende oppgavene, som altså ikke var merket med hvilken arbeidsmåte elevene skulle bruke, kategoriserte jeg som oppgaver som elevene skulle lage på papiret. Det er slik læreverkene har lagt opp til at oppgavene skal gjøres.
Analysen viser at begge læreverkene har mange oppgaver der elevene skal lage funksjoner på papiret, 119 oppgaver i Grunntall og 205 i Tetra. Begge
læreverkene har også relativt få oppgaver som legger opp til at elevene skal
lage funksjoner digitalt, fire oppgaver i Tetra og tjue i Grunntall, se figuren under.
Tetra tota It Grunntall totalt
1lii! papiret D digitalt
Figur 4 Diagrammet Iliser antall oppgaver innen emnet funksjoner hos læreverkene Tetra og Grunntall som skal lages henholdsvis på papiret og digitalt.
Numeriske sammenhenger, altså tallmessige sammenhenger, finnes i mange oppgaver. I denne kategorien er alle oppgaver som kan skrives som en
tallmessig sammenheng plassert, enten oppgaven legger opp til at dette skrives ved hjelp av formel, tekst, graf eller tabell. Mange av disse oppgavene handler om praktiske situasjoner, og er derfor plassert også i den kategorien. Det finnes også en del oppgaver som handler om praktiske situasjoner, men som ikke kan beskrives numerisk, ut fra slik oppgaven er formulert. Oppgave 6.24 i
Grunntall 9 er et eksempel på en oppgave som både beskriver numerisk og praktisk sammenheng: "l kg poteter koster 5 kr. Funksjonen y
=
5x viser hvor mye vi må betale, y kr, når vi kjøper x kg" (Bakke og Bakke, 2006b, s. 213).Dersom man ikke hadde tatt med den sammenhengen grafen er satt inn i, ville det fortsatt vært en oppgave som beskrev en numerisk sammenheng, men ikke en praktisk situasjon. Et eksempel på en oppgave som beskriver en praktisk, men ikke numerisk sammenheng er denne "Noen klassekamerater skal på tur og må leie buss. De som er med på turen, må dele utgiftene. Tegn en graf som viser sammenhengen mellom hvor mange som er med, og prisen de må betale"
(Bakke og Bakke, 2006b, s. 207). Her må elevene skissere formen på grafen, uavhengig av verdier på aksene, og oppgaven beskriver derfor ingen numerisk sammenheng.
250 ·T··· ... .
200 l··· ... ~~~~~~~~
150
100
50
o
numerisk praktisk
!1lii Tetra tota It
!1lii Grunntall totalt
Figur 5 DIagrammøt viser antal! oppgaver innenfor emru~t funksjoner som tar for seg numørisk(~ og praktiske sammenhenger hos læreverkene leira og Grunntal!.
Både Tetra og Grunntall har mange oppgaver både om numeriske og praktiske sammenhenger, og denne delen av kompetansemålet må derfor kunne sies å være oppfylt. Totalt var det 192 oppgaver med numeriske sammenhenger i Tetra og 109 i Grunntall. Av oppgaver som handlet om praktiske
sammenhenger var det totalt 109 oppgaver i Tetra og 83 i Grunntall.
"Å tolke" funksjoner kan ha flere betydninger, slik jeg skrev da jeg tok for meg
analysekriteriene. Jeg endte opp på betydninga å kunne forklare, og følgende oppgave, hentet fra Tetra lO, kan vise et eksempel på hva jeg legger i begrepet
"å tolke funksjoner":
"Et flyttebyrå tar betalt i kroner etter uttrykket y = 700 + 240 . x a) Hva betyr 700?
b) Hva betyr 240 dersom x angir antall timer?"
(Hagen, Carlsson, Hake og bberg, 2007, s. 188).
Her skal elevene ved hjelp av formelen forklare hva tallene i oppgaven betyr. Ut fra oppgaven må de komme fram til at siden svaret skal oppgis i kroner, må hvert av leddene i formelen også være et beløp oppgitt i kroner. Videre må de ut fra formelen finne ut at siden 700 ikke skal multipliseres med noe, er dette et beløp som forekommer kun en gang. Siden x skal angi antall timer, slik det står i b), må 240 ha benevninga kroner/time. Elevene kan ut fra dette foreslå at 700 er grunnbeløpet du må ut med dersom du leier dette flyttebyrået, og i tillegg koster det 240 kr per time de bruker. Oppgaven har jeg plassert i
kategorien "å tolke funksjoner" fordi elevene blir bedt om å forklare hva henholdsvis 700 og 240 betyr i denne sammenhengen.
Den siste delen av det første kulepunktet om funksjoner handler om å omsette mellom ulike representasjoner som grafer, tabeller, formler og tekst. Noen oppgaver åpner for å velge hvilken vei mellom to representasjonsformer man vil benytte for å finne svaret. Et eksempel på det kan være oppgaver der det er oppgitt formel og avbildet noen grafer, og elevene blir bedt om å finne ut hvilken formel som hører til hvilken graf. Slik er det i oppgaven vist under:
fhilke1 beskriver
a) A 0/
jf ~ I
bl B
jf jf jf jf
x ngur 6 Oppgave 242 ; Tetra 10 (Hagen, Carlss"n, Hak" "g Oberg, 2007, s. 189).
Da er det opp til hver enkelt elev å avgjøre om de vil ta utgangspunkt i en formel og så finne grafen som hører til, eller om de vil velge en graf og så finne formelen som hører til. I oppgaver som gir slike muligheter, har jeg kategorisert oppgavene under begge disse mulighetene.
"Benjamin kjører bil med en gjennomsnittsfart på 60 km/t. Lag en tabell, og tegn grafen som viser hvor langt Benjamin kjører i løpet av 8 timer. La 1 cm på førsteaksen tilsvare en halvtime, og 1 cm på andreaksen tilsvare 20 km." (Bakke og Bakke, 2006a, s. 318) Denne oppgaven gir tydelige beskjeder til elevene om hvordan de skal løse oppgaven. Ut fra situasjonen som er beskrevet først i oppgaven skal elevene lage en verditabell. Det betyr at jeg kategoriserer oppgaven som omsetting situasjon ... tabell. Videre står det i oppgaven at elevene skal tegne grafen. Selvom det ikke står at elevene må bruke tabellen de har laget for å tegne grafen, var det å lage tabell forrige steg i oppgaven, og mange vil benytte denne muligheten, noe også Janvier bekrefter (1987, s. 29), jf teoridelen om funksjoner. Oppgaven gir indirekte instruksjon om at elevene skal bruke tabellen til å tegne grafen og er derfor kategorisert som tabell ...
graf. Den siste opplysninga i oppgaven er instruksjonen i forhold til hvordan koordinatsystemet skal tegnes, men har ikke noe med omsetting mellom representasjoner av funksjoner å gjøre. Oppgaven er ikke kategorisert som situasjon ... graf, selvom det er mulig å løse andre del av oppgaven ved å bruke situasjonen som ble beskrevet først i oppgaven. Da jeg analyserte oppgavene
måtte jeg gjøre et valg i forhold til om jeg skulle kategorisere oppgavene ut fra alle muligheter for omsetting mellom representasjoner av funksjoner så lenge ikke oppgaven gav tydelige føringer på det, eller om jeg skulle velge å
kategorisere en oppgave slik den indirekte instruerer elevene om å gjøre den.
Jeg valgte det siste, at dersom oppgaven viste en rekkefølge på hvordan
omsettinga skulle skje, slik som i eksemplet ovenfor, kategoriserte jeg den etter den rekkefølgen. Hvis elever velger å omsette mellom representasjoner av funksjoner på en annen måte enn det oppgaven indirekte instruerer, betyr det dermed at oppgaven dekker andre omsettingsmuligheter enn det som
framkommer av mine resultater. Dersom en oppgave var åpen med hensyn til hvordan den skulle løses og ikke gav noen hint om hvilken vei elevene skulle gå, ble den kategorisert under alle de aktuelle omsettingsmulighetene. Dette medfører at disse oppgavene ikke nødvendigvis dekker alle
omsettingsmulighetene de er kategorisert under, men at de kan dekke disse. I forhold til problemstillinga om kompetansemål får ikke dette noe å si.
Læreplanen uttrykker at elevene etter 10. trinn skal kunne omsette mellom ulike representasjoner av funksjoner. Selvom oppgavene ikke skulle dekke alle omsettingsmulighetene de er kategorisert under, vil de likevel handle om omsetting mellom representasjoner av funksjoner, og vil dermed ikke få konsekvenser for konklusjonen om hvordan lærerverkene støtter oppfylling av kompetansemål.
En situasjon er utgangspunkt også for oppgaven under:
"Sjokodrikk lages ved at du blander 2 dl sjokoladepulver i 1/ vann.
a) Regn ut hvor mye vann du trenger, hvis du bruker 4, 6, 8, lO, 12, 15 eller 20 dl sjokoladepulver.
b) Sett av tallparene i et koordinatsystem. La 1 cm på førsteaksen tilsvare 2 dl sjokoladepulver, og 1 cm på andreaksen tilsvare 0,5 liter vann.
c) Strek opp linjen gjennom punktene.
d) Bruk diagrammet til å finne ut hvor mye vann du trenger, hvis du bruker 18 dl sjokoladepulver.
e) Bruk diagrammet til å finne ut hvor mye sjokoladepulver du trenger til 7 liter vann" (Bakke og Bakke, 2006a, s. 320).
Ut fra denne situasjonen som er beskrevet først i oppgaven skal elevene regne ut hvor mye vann de trenger til bestemte mengder sjokoladepulver. Dette er det samme som man gjør når man lager en verditabell. I dette tilfellet skal ikke elevene velge x-verdier på egen hånd, men bruke tallene oppgitt i a). Den første omsettinga mellom representasjoner av funksjoner som elevene må
gjøre er altså situasjon ... tabell. Det neste elevene skal gjøre er å bruke tallparene de har funnet og merke av koordinater i koordinatsystemet.
Deretter skal de tegne opp linja som går gjennom punktene de nettopp har merket i koordinatsystemet. I løpet av b) og c) har elevene tegnet grafen til funksjonen. Oppgaven inneholder altså en omsetting fra tabell til graf, der elevene skal plotte verdiene fra verditabellen i koordinatsystemet, jf Janviers tabell. I d) og e) skal elevene bruke grafen og lese av verdier i forhold til denne.
I begge deloppgavene skal elevene si noe om mengden vann som brukes i forhold til mengden sjokoladepulver, altså bruke grafen til å lese av hva som skjer i praksis. Det betyr at i de siste to deloppgavene må elevene omsette fra graf til situasjon, det som av Janvier kalles tolking av graf. I denne oppgaven er det klare føringer for hva slags omsettinger mellom representasjoner av funksjoner elevene skal gjøre, og oppgaven åpner ikke for at elevene kan velge alternative omsettinger.
Når det gjelder å omsette fra formel til graf viser begge bøkene løsning via verditabell, uten at det står spesifikt i oppgavene at elevene skal lage
verditabell. Først senere i kapitlene om funksjoner kommer læreverkene inn på hva a og b i funksjonsuttrykket y
=
ax + b betyr, slik at det er mulig for elevene å skissere grafen direkte ut fra formelen, uten å gå veien om verditabell. Jeg har likevel kategorisert oppgavene under representasjonen formel -7 graf, siden dette er en mulighet og det ikke er spesifisert at man skal lage tabell først."Lag et koordinatsystem og tegn grafene til funksjonene
y = 2x - 3 y = -2x + 3" (Hagen, Carlsson, Hake og Oberg, 2007, s. 192) er en slik oppgave. Oppgaven oppgir to formler og ber elevene tegne grafene til funksjonene i et koordinatsystem. Det står ikke i oppgaven at elevene skal lage en verditabell først, selvom det er mulig. Dersom elevene behersker å tegne grafene ut fra formlene, kan de velge dette og dermed skissere grafen direkte. I de oppgavene som først ber elevene lage tabell ut fra en formel, og deretter tegne grafen, er oppgavene plassert både i kategorien formel -7 tabell og i kategorien tabell -7 graf i analysen min. I disse tilfellene er oppgavene veldig klare på at elevene må lage verditabell før de tegner grafen, slik som denne:
"Lag en verditabell til hver funksjon. Tegn et koordinatsystem. Tegn grafen til hver av funksjonene. ( ... )" (Hagen, Carlsson, Hake og Oberg, 2006b, s. 210). En slik oppgavetekst gir ikke elevene anledning til å velge å gå veien direkte fra formel til graf.
Tetra bruker funksjonsmaskiner i noen av sine oppgaver. Funksjonsmaskinen har en bestemt formel knyttet til seg, og når man "putter" en x-verdi i
maskinen, får man ut en v-verdi. I noen oppgaver er formelen ukjent, men man får vite noen x-verdier som er puttet inn, og hvilke v-verdier man da fikk ut. På bakgrunn av disse x- og v-verdiene skal elevene kunne bestemme formelen:
Filln dell
42
aj3 bl 5
2
, , lO fJ 'I 6
Figur 7 Oppga"" 42 i T"tra 9 (Hagen, Carlsson, Hake og Oberg, 200Gb, s. 207).
Som vi ser av første deloppgave (a) gir verdien 8 v-verdien 13. Putter man x-verdien 5 i funksjonsmaskinen får man ut v-x-verdien lO, mens x-verdien 3 gir y-verdien 8. Dette er tre tallpar som også kunne vært oppgitt som tallpar i en verditabell. At tallparene kan plasseres i en tabell viser også eksempelet før oppgavene. Ut fra disse tallparene skal man finne formelen til funksjonen.
Oppgaven er dermed kategorisert som omsetting fra tabell til formel.
Jeg har analysert alle oppgaver i elevbøkene og plassert dem i de kategoriene der jeg mente de hørte hjemme, slik jeg beskrev i metodekapitlet om
tekstanalyse. I dette arbeidet har jeg altså brukt delanalyse, slikjeg beskrev i metodekapitlet.
Det finnes altså tolv ulike muligheter for å omsette mellom ulike representasjoner, jf Janviers tabell i teoridelen. Figur 8 viser hvordan oppgavene totalt i løpet av ungdomstrinnet er fordelt mellom disse mulighetene for omsetting i Tetra og Grunntall.
70 , ... .
30 20 10
o
III! Totalt Tetra
o Totalt Grunntall
Figur 8 Diagrammet viser antall oppgaver som tar for seg ulike oversettinger mellom representasjoner av funksjoner i henholdsvis Tetra og Grunntal!.
Resultatet fra analysen viser at Tetra dekker alle tolv muligheter for omsetting mellom representasjoner av funksjoner, selvom noen av
omsettingsmulighetene bare er dekket av noen få oppgaver. Grunntall dekker ti av de tolv mulighetene. Flere omsettinger mellom representasjoner av funksjoner dekkes kun av sju eller færre oppgaver, og læreverkene er dermed bare så vidt er innom disse. For Tetras del gjelder dette omsetting fra situasjon til tabell (sju oppgaver), og fra situasjon til graf (seks oppgaver). Grunntall har ingen oppgaver som tar for seg omsetting tabell --+ formel eller
tabell --+ situasjon. De har få oppgaver der elevene skal omsette fra formel til situasjon (en oppgave), fra graf til formel (to oppgaver) og fra graf til tabell (sju oppgaver). Hva det vil si for utviklinga av elevenes funksjonsbegrep at noen omsettingsmuligheter ikke dekkes, eller dekkes av få oppgaver, ser jeg
nærmere på i drøftingsdelen. Det samme gjelder hvordan læreverkene løser at arbeid med omsetting mellom representasjoner av funksjoner utvikles best parvis, slik Janvier uttrykte.
Resultatene av analysen viser også at det er forskjell på hvilke omsettinger av representasjoner Tetra og Grunntall har vektlagt. Begge læreverkene har flest oppgaver med omsetting fra graf til situasjon, 65 i Tetra og 63 i Grunntall, noe som vises i figur 8. Tetra vektlegger deretter utregning, som Janvier kaller det, altså omsetting fra formel til tabell, med 38 oppgaver, og omsetting fra tabell til
graf, med 34 oppgaver. Grunntall har nest flest oppgaver der elevene skal omsette fra tabell til graf, 50 stykker, og deretter har Grunntall vektlagt omsetting fra formel til graf, med 41 oppgaver. I forhold til noen omsettingsmuligheter er det store forskjeller på hvor mange oppgaver
læreverkene har. Tetra har for eksempel prioritert omsetting fra graf til formel i mye større grad enn Grunntall, med 30 oppgaver mot Grunntalls to. Grunntall
læreverkene har. Tetra har for eksempel prioritert omsetting fra graf til formel i mye større grad enn Grunntall, med 30 oppgaver mot Grunntalls to. Grunntall