Um dos métodos mais simples de identificação output-only é técnica Basic Peak Picking (BPP), derivada dos métodos input-output, contudo em vez do uso das FRFs, é usada a matriz de funções de densidade espectral da resposta.
Apesar de ter sido aplicado anteriormente, é devido ao trabalho de Felber (1993), que este método é descrito de uma forma mais sistematizada.
A matriz de funções de densidade espectral da resposta, Gyy, e a matriz das FRFs, H, relacionam-se de acordo com a equação (3.33).
( ) ( ) ( ) ( ) (3.33)
onde Gxx denota a matriz de densidade espectral da excitação, é a matriz das FRFs conjugada, e o subscrito T significa a transposta da matriz.
No caso de a excitação ser um ruido branco do tipo Gaussiano, isto é um sinal que no limite excita todas as frequências com igual amplitude, as funções de densidade espectral da excitação Gxx podem-se admitir constantes, o que relaciona as densidades espectrais de resposta como proporcionais às funções de resposta em frequência a uma constante C.
Desta maneira, é possível identificar as frequências de ressonâncias através dos picos da amplitude das funções de densidade espectral de resposta.
Tal como no caso dos métodos input-output, as funções de densidade espectral da resposta podem ser estimadas a partir da medição das vibrações, em vários locais ao longo da estrutura. Após a aquisição dos sinais de resposta no domínio do tempo, estes são divididos
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em n amostras, é lhes aplicada uma janela de dados a cada, e calculadas as respetivas transformadas discretas de Fourier. Por fim, é determinada a média para se obter as estimativas alisadas das funções de densidade espectral.
De modo a condensar a informação contida em cada uma das estimativas das funções de densidade espectral, Felber (1993) propôs o uso de uma média normalizada das funções de densidade espectral (ANPSD), calculadas de acordo com as expressões (3.34).
( ) ∑ ( ) ;
( ) ∑ ( ( ) )
(3.34)
Em que l corresponde ao número de funções de espectros usados no calculo da média, e n o numero de frequências usadas.
Rodrigues (2004) sugere uma maneira alternativa de normalizar os espectros, que em vez de dividir os espectros pela sua área, multiplica por um fator proporcional à sua área a dividir pela soma das áreas de todos espectros correspondentes a um mesmo ensaio, com o objetivo de dar um menor peso aos espectros dos registos com menor relação sinal-ruido, i.e., em que a vibração tem menor amplitude, esta abordagem está descrita na equação (3.35), na nomenclatura usada por Felber.
( ) ( ) ∑ ( )
∑ [∑ ( )] (3.35)
As componentes modais podem ser estimadas recorrendo às chamadas funções FRF de transmissibilidade, tratando-se de relações entre espectros que apenas envolvem apenas as respostas de um sistema, ao contrário das convencionais FRF, que são a razão entre os espectros das respostas e da excitação, processo explicado por Rodrigues (2004).
A estimativa do amortecimento pode ser obtida pelo método da meio potência, já descrito nos métodos input-output, ou alternativamente recorrendo ao ajuste de um espectro analítico na proximidade dos picos de ressonância das funções de densidade espectral.
O método Basic Peak Picking (BPP), como é um método SDOF, apenas pode dar estimativas razoáveis nos casos em que os modos se encontram bem separados, ainda assim é um método suscetível a erros e imprecisões.
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Um método mais rigoroso no domínio da frequência é proposto sob o nome de Frequency Domain Decomposition (FDD), apresentado por Brincker, et al. (2001).
A partir da equação (3.33), sobre a suposição de uma excitação de ruído branco independente, i.e., de uma matriz de excitação diagonal e modos de vibração ortogonais, pode-se escrever a seguinte equação (3.36). ( ) ∑ ̅ ̅ ̅ ̅ (3.36)
onde, as funções de densidade espectral de resposta são escritas como o somatório das contribuições de n modos, sendo denominados de pólos e são relacionados com as
frequências naturais e amortecimento do sistema, tal como é dado na equação (3.37), é o
vector contendo as componentes modais do modo k, e é uma constante escalar.
√ (3.37)
O algoritmo subjacente ao método FDD baseia-se na decomposição de valores singulares da matriz das estimativas das funções de densidade espectral de resposta a cada valor discreto de frequência, tal como está expresso na equação (3.38).
̂ ( ) (3.38)
onde a matriz , contém os vectores singulares, é uma matriz diagonal que contém os valores singulares. Na proximidade de um pico correspondente a um modo de vibração k, e caso este modo seja dominante, o somatório da expressão (3.36) passa a ter uma parcela dominante ,podendo as outrasserem desprezadas, e nesse caso o vetor singular correspondente ao primeiro valor singular, e é uma estimativa do modo de vibração do modo k (Brincker, et al, 2001).
Por outro lado, os valores singulares relacionam-se com as ordenadas de um espectro de um grau de liberdade com os mesmos parâmetros modais que os modos que contribuem para a resposta do sistema MDOF analisado.
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A primeira geração do algoritmo FDD apenas estimava as frequências de ressonância e os modos de vibração, porém posteriormente este método é estendido para o chamando Enhanced FDD ou EFDD, que usando os valores singulares perto dos picos e transferindo para o domínio do tempo, calcula uma estimativa da função de correlação do modo analisado. Através da técnica do decremento logarítmico é possível estimar o amortecimento de cada modo.
Para a medição da correlação entre dois modos de vibração é usual o recurso ao critério MAC, calculado através da expressão (3.39), dando um valor que varia entre zero e a unidade. Assumindo o valor unitário quando os modos comparados são semelhantes ou proporcionais e zero quando são totalmente ortogonais.
( )
( )( ) (3.39)
O parâmetro MAC tem tido diversos usos na história da análise modal. Neste contexto é usado para selecionar pontos com configurações modais semelhantes na vicissitude do pico de ressonância identificado. Contudo, outro importante uso do MAC é a comparação entre os modos de vibração de modelos numéricos e os modos de vibração resultantes dos ensaios de vibração das estruturas reais.
O método FDD ou o mais completo EFDD têm sido amplamente usados na identificação modal estocástica, por serem métodos simples e eficientes em grande parte das suas aplicações. Estes métodos estão também integrados na maioria dos softwares comerciais, como no caso do software ARTeMIS (SVS, 2011).
Ainda mais recentemente, têm surgido propostas de melhoramentos na técnica original EFDD, no sentido da eliminação da influência de componentes harmónicos por Brincker et al. (2007) e a aplicação da técnica decaimento aleatório (Random Decrement Technique), no melhoramento dos espectros usados na técnica FDD por Rodrigues, et al. (2004).
Em meados de 2005, é também proposto outra variante do método FDD, o chamado Frequency-Spatial Domain Decomposition FSDD, desenvolvido por Zhang, et al. (2005). Este método FSDD distingue-se do método FDD/EFDD na obtenção do amortecimento: em vez de recorrer uso da transformada inversa de Fourier, faz uso das propriedades de
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ortogonalidade entre modos de vibração, evidência cada modo nas funções de densidade espectral e posteriormente acerta uma função SDOF ainda no domínio da frequência.
Ainda no domínio da frequência, existe a possibilidade do uso de métodos de identificação apresentados no contexto input-output, tais como os métodos RFP, Maximum Likelihood (ML), p-LSCF, entre outros, que podem ser adotados para o contexto da análise modal operacional, onde emvez de recorreram a matriz de FRFs, esta é substituída pela matriz de funções de densidade espectral da resposta (Zhang, 2004).