Com vistas ao atendimento dos objetivos propostos, demos início à elaboração dos materiais educativos, a princípio, com destaque para as visitas orientadas aos monumentos históricos das cidades de Ouro Preto e Belo Horizonte e, ainda, ao Museu das Reduções localizado em Amarantina, distrito de Ouro Preto, MG.
Para as visitas orientadas elaboramos um manual (Manual de Trabalho Interdisciplinar), posteriormente entregue a todos os alunos, onde indicamos elementos a serem observados e solicitamos que os alunos efetuassem medições dos diferentes locais dos monumentos. As visitas orientadas foram documentadas através de fotografias e registros tanto dos alunos como dos professores, constituindo a base documental para a investigação pretendida e para a continuidade dos trabalhos a serem realizados em sala de aula. Os registros contaram com fotos e anotações dos alunos sobre medidas feitas nos locais visitados e sobre formas geométricas observadas. Como já relatado no Capítulo 3, a esse primeiro grupo de atividades – as visitas orientadas – denominamos de GA1.
Na conclusão dessa etapa do trabalho, como já programado, pedimos aos alunos que elaborassem um relatório expressando suas opiniões sobre as visitas realizadas e o que haviam aprendido com o projeto até o momento. Para tal, sugerimos o seguinte roteiro: (1) Relate resumidamente o que foi possível observar nas visitas feitas; (2) Em cada uma delas o que despertou interesse em você? Por que?; (3) Como a matemática se apresenta nos monumentos visitados? Explique; (4) Que perguntas vocês têm a fazer sobre o que viram nas visitas? Têm curiosidade em saber mais sobre algo relacionado ao que visitaram? (5) Conclua dizendo o que esse projeto representou para vocês.
A leitura dos relatórios nos revelou o gosto dos alunos pelas visitas e pelo trabalho realizado nas semanas seguintes em sala de aula. Seus relatos – elaborados em trio de alunos – revelaram o empenho em participar das tarefas e executá-las a contento. Um dos relatos destacou que a arte barroca de Alejadinho esculpida na Igreja de São Francisco de Assis é bem diferente das outras igrejas de Ouro Preto. Segundo as observações deles (orientadas pelas explicações dadas pelos professores que acompanharam as visitas), as torres das igrejas dão a impressão de movimento, têm canhões, torres em forma de fortes, granadas e as pontas em formato de capacetes homenageando São Francisco de Assis que foi um militar. Dentro da igreja ficaram
impressionados com as pinturas do artista Manoel da Costa Ataíde. Relembraram as medidas que fizeram no exterior na Igreja e que seriam utilizadas para os estudos posteriores enfocando a proporcionalidade.
Na Casa dos Contos, segundo relatos, conheceram um pouco mais sobre a história de Ouro Preto, aprenderam como eram cunhadas as moedas de ouro, observaram as ferramentas usadas contra os escravos e pelos escravos, como eram os banheiros e como funcionavam os esgotos na época. Puderam conhecer as várias funções que já teve a Casa dos Contos, entre uma delas como ponto de recolhimento de impostos, o quinto do ouro, ou seja, 20% do valor do ouro que deveria ser repassado para coroa. Através das várias cédulas em exposição foi possível perceber a desvalorização da moeda brasileira ao longo dos anos.
Quanto à visita à Igreja da Pampulha em Belo Horizonte, MG, os alunos ressaltaram a obra de Oscar Niemeyer, seu estilo de uma arquitetura de linhas curvas e do trabalho de Candido Portinari na pintura do painel interno da Capela. O Museu das Reduções em Amarantina, despertou muita atenção dos grupos, com suas 27 reduções de vários monumentos Brasileiros, na escala de 1:25.
Sobre a maneira como a matemática se apresenta nos monumentos visitados, os alunos destacaram principalmente as formas geométricas percebidas nos monumentos e a proporcionalidade entre seus elementos. Apresentamos, a seguir, algumas impressões dos alunos, destacando frases que, entre outras, reforçaram nossa crença na validade da proposta e no alcance dos objetivos que orientaram a criação dos materiais educativos.
“Percebemos a Matemática relacionada a todos os lugares que visitamos. Vimos várias formas geométricas e a proporcionalidade. Vimos a Matemática relacionada com a mudança das moedas, com as construções, vimos também a escala nas representações das reduções.”
“Na Igreja São Francisco de Assis a Matemática esta presente nas janelas, nas portas, nas torres, nos telhados e em praticamente todos os lugares, na Pampulha foi no formato da Igreja, no trapézio invertido, onde fica o sino, nos azulejos quadriculados e etc., no Museu das Reduções foi possível observar na perfeição dos monumentos reduzidos pela escala de (1:25).”
“No ponto de vista matemático a igreja São Francisco de Assis possui diversas figuras geométricas. Na Pampulha observamos as curvas utilizadas nas construções de Oscar Niemeyer e o cubismo realizado nas pinturas nas obras Candido Portinari.”
“A partir das medições dos comprimentos, larguras, das janelas e das portas das fachadas dos monumentos, podemos estabelecer relações de proporcionalidade e escala.”
Quanto à pergunta sobre o que esse projeto representou para eles, pudemos perceber que, através da proposta elaborada, os alunos passaram a “enxergar” a matemática de modo diferente, contextualizada, estando presente em muitos lugares, o que lhes garantiu envolvimento e motivação para a realização das tarefas e, possivelmente, um aprendizado significativo dos assuntos matemáticos decorrentes das atividades, fato este que provocou maior interesse dos alunos, formulando perguntas e querendo aprender mais. Algumas de suas falas, que transcrevemos a seguir, nos dão ciência desse episódio.
“Este trabalho nos ajudou a relacionar a matemática com o dia-a-dia, e nos mostrou que a matemática esta relacionada com várias profissões. Também conhecemos mais sobre a história dos monumentos presentes em Ouro Preto e Belo Horizonte.”
“Este trabalho nos dá uma nova visão sobre a matemática, achamos que a partir desse passeio iremos observar mais as igrejas, os museus..., tudo, pois a matemática esta presente em nosso cotidiano.”
“Esse projeto representa nosso conhecimento sobre a matemática em todos os lugares e como utilizá-la”.
“Esse projeto esta representando diversas coisas, uma delas é poder observar a matemática de outro modo, de que a proporcionalidade é muito importante. Com os monumentos reduzidos foi possível detectar detalhes praticamente “invisíveis” no tamanho real do monumento. Por exemplo, detalhe dos telhados das casas, dos quintais e terrenos. No Palácio do Planalto foi possível ver muitos detalhes que nunca tínhamos percebido no tamanho real”.
“Este trabalho representa para nós que a maravilhosa matemática, esta presente em todos os lugares e pode ser bem mais interessante saindo da teoria. Também, foi interessante observar a arquitetura de Niemayer e a arte de Portinari. Sobre o museu das Reduções, é interessante observar, como foram feitas as reduções, tão perfeitas com tão pouco recurso da época”.
“Para nós, este projeto representou mais um momento de aprendizado, mostrando que as formas geométricas estão presentes em todos os lugares, mesmo sem percebermos.”
A continuidade do trabalho, contou com o apoio do texto “Manual de Trabalho Interdisciplinar”. Os alunos foram orientados a anotarem, em todas as visitas, as informações recebidas, os dados quantitativos que conseguiram a partir das medidas feitas nos monumentos visitados e a fotografarem os locais permitidos. Esclarecemos que todo esse material seria utilizado nas atividades em sala de aula estabelecendo as conexões possíveis com os conteúdos a serem estudados. Nas semanas posteriores às visitas, com base em todo o material coletado e documentado através das fotos, foi realizada uma das atividades constante do Manual (p.11), destacada a seguir:
Observe atentamente a foto da Igreja de São Francisco de Assis da Pampulha – Belo Horizonte – MG: Podemos afirmar que o Monumento é, na verdade, uma composição de diversas figuras geométricas. Queremos que você as identifique fazendo um registro na folha transparente subsequente conforme as orientações:
I) Depois de observar a figura da página 12:
a) desenhe as figuras que você conseguiu encontrar, na folha transparente sobreposta
b)“esgote” as possibilidades... ou seja, encontre o número maior de figuras geométricas na imagem.
c) Utilize linhas imaginárias para completar a composição da imagem encontrada.
II) Observando a imagem da página 12:
a) é possível identificar reta(s) paralela(s)? Se for possível, assinale-a(s) com uma caneta colorida, para melhor identificação.
b) Se você identificou e registrou retas paralelas, será possível identificar alguma(s) reta(s) que intercepte as paralelas registrada? Se for possível, assinale-a(s) com uma caneta colorida.
III) Observando a imagem da página 12
a) é possível identificar algumas linhas curvas?Se as identificou, destaque-as com uma caneta colorida:
IV) Com orientação de seu professor e com auxílio de uma fita métrica, você fará o registro numérico de alguns dados do Monumento a saber:
- Largura da porta principal do Templo: ___________ metros. - Altura da porta principal do Templo: ___________ metros. - Largura da Torre Sineira do Templo: _________ metros. - Altura da Torre Sineira do Templo: ________ metros. - Largura total da Fachada do Templo: _______ metros.
V) Os painéis externos da Igreja de São Francisco de Assis são muito originais e considerados obra prima de Cândido Portinari. Você irá fazer um registro dos painéis nas 02 folhas de papel milimetrado. Para tal registro, você deverá seguir alguns passos, a saber:
a) Escolha uma cena, representada nos painéis e que tenha lhe chamado atenção.
b) Você perceberá que vários quadrados que compor a cena, formando um conjunto simétrico e harmonioso.
c) Você deverá utilizar os conceitos que você apreendeu de escala, simetria, equilíbrio, ângulo, medidas, harmonia... e fazer uma cópia da cena escolhida para as folhas milimetradas.
Na finalização dessa tarefa realizada em sala de aula, através de um trabalho colaborativo e seguido de discussões entre os grupos, ficou evidente que as formas geométricas foram reconhecidas e devidamente representadas no Manual, atendendo ao
objetivo a.1 (Reconhecer, identificar e representar aspectos geométricos e de simetrias
na arquitetura dos monumentos históricos de Ouro Preto e região próxima), como mostram os traçados (Figuras 1 e 2), elaborados por um dos alunos nas folhas transparentes sobrepostas à foto da igreja de São Francisco e à foto da Casa dos Contos, ambas localizadas em Ouro Preto.
Figura 1 – Transparência Igreja São Francisco Figura 2 – Transparência Casa dos Contos
Também que, as medidas foram realizadas e anotadas (Figura 3) e, através delas, foi possível estimar dimensões inacessíveis, atendendo ao objetivo a.2 (Efetuar medidas lineares e estimar dimensões inacessíveis), como mostra uma das situações na qual os alunos estimaram a altura da torre sineira da Igreja da Pampulha, em Belo Horizonte, MG (Figura 4), tomando como parâmetro a altura dos retângulos formados pelas pedras que revestem externamente a torre.
Figura 3- Estimar dimensões inacessíveis
Figura 413 - Torre Sineira da Igreja da Pampulha
Com base no livro texto e uso de papel quadriculado foi realizado trabalho envolvendo ampliação e redução de figuras chegando ao conceito teórico de segmentos proporcionais. Embora o conceito tenha sido estudado através de atividades propostas no livro texto, procuramos fazer algumas relações com as visitas realizadas nos monumentos e no Museu das Reduções. Nessas visitas os alunos puderam observar monumentos e algumas de suas representações em tamanho reduzido.
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As fotos apresentadas são de autoria do professor pesquisador. Foram tiradas durante as visitas, em abril de 2011. A Figura 6 apresenta uma foto de autoria de Renato Wandeck.
Uma das atividades que atendeu ao objetivo a.3 (Retomar conceitos relativos ao tema “proporcionalidade”, reconhecer e sistematizar aspectos relativos à proporção presentes nas situações identificadas nas visitas), foi aquela versando sobre os painéis da Igreja da Pampulha. A partir da observação dos painéis (Figuras 5 e 6), os alunos elaboraram esboços em papel quadriculado de imagens do painel de azulejos da Igreja (Figuras 7 e 10). A proporcionalidade aparece na relação entre o tamanho real do painel e do azulejo (medidos pelos alunos, Figuras 6, 8 e 9) e o tamanho do quadriculado do papel. Assim, os esboços representaram reduções das imagens do painel retratando São Francisco de Assis num fundo repleto de aves e peixes.
Figura 5- Foto dos alunos observando e desenhando detalhes do painel de azulejos
Figura 8 – Detalhe do painel de azulejo Figura 9 – Detalhe do painel de azulejo
Figura 10 – Esboço de peixes e pássaro
Na sequência dos estudos, elaboramos um segundo grupo de atividades – que denominamos GA2 – para o qual seriam utilizados os elementos coletados por ocasião das visitas, enfocando, principalmente, os conceitos de proporcionalidade e escala. Com base em um roteiro14, os alunos fizeram comparações entre os monumentos ou elementos deles em tamanho real e suas representações nas maquetes, nas fotos e nos
1. 14 Na igreja de São Francisco de Ouro Preto foi solicitado a vocês que tirassem algumas medidas. Quais foram elas?
2. O que foi possível e o que não foi possível medir? É possível estimar os valores daquelas que não foi possível medir? De que forma?
3. Considerem a altura da aluna”X” e com base nas fotos tiradas estimem a altura da porta da Igreja. 4. Considerem a altura do aluno”Y” e com base nas fotos tiradas estimem a altura da torre da igreja. 5. Vocês tem algumas outras formas de representação da igreja de São Francisco de Ouro Preto: a foto
do roteiro do relatório, as fotos que tiraram, a maquete do Museu das Reduções ou outras que tenham encontrado. Existem relações entre as medidas nestas diferentes representações? Essas relações permanecem constantes quando comparamos medidas de diferentes partes da igreja nas mesmas representações? Como podemos explicar isso?
6. Considerando a escala indicada na maquete do museu das reduções para a Igreja de São Francisco e as medidas que vocês tem dessa foto estimem as medidas reais da igreja.
7. Comparem os resultados com as estimativas feitas anteriormente. Procurem explicar semelhanças e diferenças encontradas.
8. É possível dizer em que escala está a foto do roteiro de relatório? Como pode ser representada essa escala?
desenhos produzidos. Foram também solicitados a fazer estimativas de medidas inacessíveis a partir da proporcionalidade. Paralelamente às visitas e às atividades realizadas, também foi feito um trabalho com o livro texto, enfocando a proporcionalidade, razão áurea e segmentos proporcionais.
Uma atividade bem representativa de atendimento ao objetivo a.4 (Entender e utilizar o conceito de escala ao estabelecer relações entre medidas efetuadas nos locais visitados e nas representações), foi aquela na qual se pedia a determinação da escala da foto da igreja de São Francisco de Assis, uma das atividades do grupo GA2, como detalharemos a seguir.
Os materiais utilizados para o desenvolvimento da atividade foram: a foto da igreja, as anotações das medidas realizadas durante a visita e fotos mostrando os alunos posicionados em frente aos monumentos (Figuras 11 e 12), impressas pelo professor e distribuídas aos alunos. Em grupos, os alunos trabalharam os itens de 1 a 4 do roteiro. Escolheram segmentos de reta que pudessem medir na foto do manual ou nas fotos entregues a eles e que, ao mesmo tempo tivessem sido medidos na visita ou que conhecessem a medida (como o caso da altura dos alunos que apareciam nas fotos). Com o auxílio do professor foram feitas estimativas para as medidas inacessíveis escolhidas, como por exemplo, a altura da porta da igreja.
Figura 11- foto da igreja de São Francisco/OP Figura 12- foto Casa dos Contos Os questionamentos colocados no item 5 do roteiro, foram abordados em uma discussão conjunta com a classe, conduzida pelo professor. Entendemos que teria sido mais interessante se os alunos tivessem tido a oportunidade de discutir inicialmente nos grupos. No entanto, optamos pela discussão conjunta por questão de tempo. Demos
especial atenção à atividade que pedia a escala da foto constante do Manual (item 8), atividade esta que os alunos desenvolveram com facilidade como presenciamos em sala de aula.
A verificação formal do aprendizado do tema proposto como conhecimento prévio para a continuidade dos estudos e também para a conceituação trimestral dos alunos como norma da Escola, foi realizada através de uma avaliação individual que exigia conhecimentos sobre razão áurea, escala e segmentos proporcionais, como destacada a seguir:
1) Você acha que pode existir um número com propriedades mágicas, que represente beleza, perfeição e harmonia? Que teria sido utilizado através dos séculos por matemáticos, cientistas, artistas e por incrível que pareça, estaria presente na natureza?
Pois esse número existe! É um o irracional 2
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, de valor aproximado 1,618034 e é conhecido por número de ouro, razão de ouro ou razão áurea. Para os gregos, o número de ouro representa harmonia, equilíbrio e beleza. Por esse motivo, muitas construções gregas tinham como base esse número. Mas foi no século XIII que o matemático Fibonacci constatou que o número de ouro está presente também na natureza.
O Partenon tem 30,70 m de largura por 18,24 m de altura. Essa construção se enquadra em um retângulo de ouro?
Justifique sua resposta por escrito utilizando argumentos matemáticos.
2) Na figura abaixo, estão representados dois cômodos da planta de uma casa. Na realidade, a sala é quadrada com lados de 6 m.
Calcule:
a) a escala na qual foi desenhada a planta da casa. b) as dimensões reais do quarto da figura.
3) A maquete de um prédio é uma redução, em escala, em três dimensões. Na maquete, todas as medidas de comprimento são proporcionais às medidas reais correspondentes. Observe as seguintes fotos de um prédio de 48 m de altura,
representado na maquete com escala 1 : 75.
Foto do Partenon na Grécia É possível desenhar vários retângulos de ouro um dentro do outro e, com
Resolva o que se pede em cada item a seguir: a) Calcule a altura da maquete.
b) A largura real das portas é de 85 cm. Calcule a largura aproximada das portas na maquete.
4) A distância aproximada de Belo Horizonte (M.G) a Brasília (D.F) é de 700 km. Marcela mediu essa distância em um mapa e obteve 20 cm. Calcule em que escala foi desenhado esse mapa.
5) Observe o mapa do Brasil abaixo. Nele está indicada a rota de um avião que partiu de Belo Horizonte e pousou em São Paulo. A distância entre as cidades no mapa é de 1,62 cm e o avião percorreu 486 km. Determine a escala do mapa e calcule a distância, no mapa, entre São Paulo e Rio de Janeiro, sabendo que a distância real é de aproximadamente 357 km.
(http://mapas.ibge.gov.br/brasil/viewer.htm)
Para esta avaliação, entendemos que embora a base de estudo dos alunos tenha sido o livro texto, as visitas contribuíram muito para a compreensão dos conceitos relativos aos temas a serem estudados. É o caso da questão nº. 3 que pedia para calcular a altura da maquete e a largura real da porta. Para resolver o problema os alunos evocaram a visita ao Museu das Reduções, cujas obras construídas foram reduzidas na escala 1:25. As questões 2, 4 e 5, que pediam a determinação da escala, foram aquelas
Edifício na Cidade de
São Paulo Maquete do Edifício
em que os alunos apresentaram maiores dificuldades conforme os resultados da avaliação nos apontaram. No entanto é possível afirmar que o resultado desta avaliação, comparado a avaliações do mesmo tipo realizadas em anos anteriores, mostrou uma melhora significativa no aprendizado, pois os resultados quantitativos das duas turmas mostraram notas acima da média de mais de 80% dos alunos.
Em síntese, como já declarado, os materiais educativos que compuseram os grupos de atividades, GA1 e GA2, foram elaborados com o propósito de atender a alguns dos objetivos identificados no desenvolvimento deste Capítulo. Pelo exposto até o momento, julgamos que, através das atividades propostas, conseguimos atender aos objetivos a.1, a.2, a.3, a.4 do grupo (a), relativos aos princípios que regem a Aprendizagem Significativa do conhecimento matemático e, em consequência, foi possível afirmar que a aprendizagem significativa dos conteúdos programados se efetivou evidenciando uma nova e desejável postura dos alunos frente ao conhecimento. Observamos maior participação e empenho na busca de soluções para os problemas propostos, assim como as tentativas incansáveis no encontro de soluções para questões cujos aspectos teóricos e sistemáticos do conteúdo ainda não tinham sido enfocados. Além do mais, os alunos foram capazes de externar com naturalidade, em linguagem própria, como o conceito matemático se mostrava e se aplicava nas situações expressas pelas atividades.
Por tudo o que foi presenciado e expresso, temos ciência de que o aprendizado significativo enfocando o tema “Proporcionalidade”, selecionado em atendimento ao