Na óptica de campo próximo, o campo eletromagnético de uma fonte de excitação interage com a amostra através de uma ponta de prova localizada a uma curta distância da sua superfície. Após a interação, o campo propaga-se no campo distante e viaja até o detector para ser anali- sado. Já que a detecção é realizada no campo distante, algumas questões surgem naturalmente: i) como é possível conseguir informações do campo próximo na região de campo distante, onde as ondas evanescentes já decairam? ii) Como as informações a respeito das estruturas nano- métricas são codificadas na radiação? Esses problemas, com uma abordagem mais geral, serão discutidos nos parágrafos seguintes.
Para o desenvolvimento das ideias, consideremos três planos diferentes, como mostrado na Figura 4.3: o plano da fonte está em z = −z0, a superfície da amostra em z = 0 e o detector
encontra-se em z = z∞. Para generalizar o tratamento, consideraremos 3 meios com índices de
refração diferentes e a fonte em z = 0 não está restrita somente ao caso da extremidade de uma ponta de prova, poderia ser também o plano de um feixe de laser empregado na microscopia confocal. Usando a representação angular, podemos escrever o campo da fonte como
~Ef onte(x, y; −z0) = +∞ ZZ −∞ ˆ Ef onte(kx, ky;−z0)ei[kxx+kyy]dkxdky. (4.3)
tra como sendo ~Ef onte(x, y; 0) = +∞ ZZ −∞ ˆ Ef onte(kx, ky;−z0)ei[kxx+kyy]eikz1z0dkxdky. (4.4)
O campo ~Ef onte(x, y; 0) é o campo elétrico na superfície superior da amostra e antes mesmo de
ocorrer qualquer interação entre eles. Como z ≪ λ, ~Ef onte(x, y; 0) é uma combinação de ondas
planas e também de evanescentes.
Figura 4.3: Esquema de transferência de informação do campo próximo para o campo distante. No plano z = −z0≪ λ , há uma fonte confinada, a amostra encontra-se em z = 0 e em
z = z∞≫ λ [16].
Para simplificar, imaginemos uma amostra infinitamente fina e que é caracterizada por uma função de transmissão T (x,y). Além de não ser uma escolha absurda [111], isso nos permite ignorar efeitos induzidos pela topografia [112]. Assim, imediatamente após sair da amostra, o campo será
~Eamostra(x, y; 0) = T (x, y)~Ef onte(x, y; 0). (4.5)
Uma multiplicação no espaço direto torna-se uma convolução no espaço de Fourier, portanto ˆ
Eamostrapode ser escrito como
ˆ Eamostra(κx, κy;0) = +∞ ZZ −∞ ˆT(κx− kx, κy− ky) ˆE(kx, ky;0)dkxdky (4.6) = +∞ ZZ −∞ ˆT(κx− kx, κy− ky) ˆE(kx, ky;−z0)eikz1z0dkxdky (4.7)
espaciais, matematicamente devido ao teorema da convolução, será fundamental para entender- mos como o espectro de freqüências será ampliado. Resta-nos ainda calcular o campo elétrico ao chegar no detector, em z = z∞. Propagando ˆEamostra, encontramos:
~Edetector(x, y; z∞) = +∞
ZZ
−∞
ˆ
Eamostra(κx, κy;0)ei[κxx+κyy]eκzz∞dκxdκy. (4.8)
Essa equação é similar à Eq. 2.6 e equivale à condição Eq. 2.10a de ondas planas. Devido ao propagador eiκzz∞, apenas ondas planas alcançarão o detector e estas satisfazem a inequação
κk≤ k3=ω
cn3, (4.9)
onde κk=qκx2+ κy2. Considerando a abertura numérica NA da amostra, reafirmamos o limite de resolução na forma
κk≤ k3NA. (4.10)
Com as equações acima, concluímos o desenvolvimento matemático do campo elétrico desde que saiu da fonte, interagiu com a amostra e finalmente chegou ao detector. Para simpli- ficar a interpretação dos cálculos desenvolvidos acima, consideremos o espectro de campo da fonte como sendo uma soma infinita de freqüências espaciais discretas:
ˆ Ef onte(kx, ky;0) = +∞ ZZ −∞ ˆ Ef onte(˜kx, ˜ky;0)δ (˜kx− kx)δ (˜ky− ky)d ˜kxd ˜ky. (4.11)
Para cada campo parcial, calculamos separadamente a interação com a amostra e o corres- pondente campo distante que chega no detector. O resultado final será a soma de todas as contribuições individuais.
Na passagem para a Eq. 4.7, fizemos a convolução de ˆT (kx′, k′y) com ˆEf onte(kx, ky;0) e isso
nos levou a
~κk=~kk+~kk′, (4.12)
i.e., transladou o espectro de ˆT por~kk. A Figura 4.4 mostra o efeito dessa convolução para três números de onda discretos do campo da fonte: δ (kk), δ (kk− k) e δ (kk− 2k). A primeira coisa que observamos na Figura 4.4 é a intensidade do pico de ˆEf onte em k = 2k. Isso ocorre porque
a região kk≥ k é a região de campo evanescente, onde a intensidade cai exponencialmente. Em uma convolução, a maior contribuição vem da posição dos picos, dos zeros das funções. Caso essa função seja unimodal, ou seja, possua somente 1 pico, o resultado será uma translação por um vetor equivalente à posição desse pico, seguido por um novo desenho da respectiva
curva, dependendo de quão pontiagudo é esse pico. Esse é exatamente o caso que temos na Figura 4.4, sendo que temos exatamente uma translação, já nossa função ˆEf onte é uma delta
de Dirac. Então, a incidência normal, δ (kk), não translada o espectro original. A incidência paralela, δ (kk− k) traz a região entre k e 2k para a janela de detecção κk< k. Por último, a freqüência kk= 2k, que representa uma onda evanescente na superfície da amostra, amplia o espectro para k′k= [2k . . . 3k]. O efeito que ocorre aqui é similar ao que foi rapidamente discutido na microscopia SSIM com as franjas de Moiré, onde padrões com alto comprimento de onda são conseguidos ao se cruzar duas grades de alta freqüência espacial. Dessa forma, concluímos que usando uma fonte luminosa altamente confinada, altas freqüências espaciais da amostra tornam-se acessíveis em campo distante! Quanto maior o confinamento, maiores resoluções da amostra serão alcançadas. Esse é o grande "truque" da microscopia de campo próximo.
Figura 4.4: Convolução do espectro de freqüências espaciais de transmissão da amostra ˆT com o campo da fonte ˆEf onte. Três freqüências espaciais discretas de ˆEf ontesão mostradas: δ (kk),
δ (kk− k) e δ (kk− 2k). O resultado da convolução de uma função com um pico muito agudo é a translação dessa função, trazendo altas freqüências para a faixa de detecção [16]. Para abstrair menos a discussão, estimemos a máxima freqüência espacial que poderá ser atingida para um caso real de uma ponta de prova. Usando as Eqs. 4.10 e 4.12, temos
|~k′k,max+~kk,max| =2π(NA)
λ . (4.13)
Se a dimensão lateral for L, podemos aproximar kk,max≈ π/L, portanto k′k,max≈ π L ∓ 2π(NA) λ . (4.14) Se L ≪ λ, como ocorre nos casos reais, o último termo poderá ser desprezado e o confina- mento da ponta, seja ela do tipo com ou sem abertura, determinará completamente a máxima
freqüência espacial detectável da amostra. Este é um resultado importante!
Não devemos esquecer, no entanto, que a zona de detecção está restrita à [−k...k] e que altas freqüências espaciais estão sempre misturadas com baixas freqüências (Figura 4.4), o que pode dificultar na formação final das imagens. Esse problema deixa de existir se considerar- mos o campo total da fonte luminosa como sendo composto por infinitas freqüências espaciais. Matematicamente, isso seria o equivalente a δ (kk− β k), com β → 0...∞. Com essa varia- ção contínua de β , todo o espectro de freqüências espaciais de ˆT será coberto e a esse tipo de formação de imagem dá-se o nome de tomografia.