O Caderno tem dois temas centrais a serem explorados ao longo das Situações de Aprendizagem: as frações e as potências. Aos tópicos destinados às frações pretende-se construir a ideia de número racional e da fração geratriz,
aprofundando as discussões sobre as noções de classes de equivalência e infinito e arredondamentos, respectivamente.
Com relação à discussão sobre as classes de equivalência, o desafio proposto será o de compreender o conjunto dos números racionais como uma forma particular de organização das frações, em que cada número racional será um representante de uma classe de frações equivalentes. A compreensão dos racionais nesse contexto explora diretamente duas habilidades frequentemente utilizadas no pensamento matemático, a de organizar e a de classificar elementos em conjuntos de acordo com certa propriedade estabelecida. (SÃO PAULO, 2009, p. 9)
Relacionado às potências, o seu estudo será ampliado com a incorporação dos expoentes inteiros negativos e a retomada da discussão sobre as propriedades da potência. Apesar de não se concentrar em uma seção específica para o trabalho com tais propriedades, é importante que este assunto seja relembrado, com a finalidade de aplicação na representação de números com muitas casas decimais, observando-se sua presença em algumas situações cotidianas.
As propostas de trabalho nas atividades deste Caderno exploram a ideia do uso das potências na representação de números muito grandes ou muito pequenos em situações práticas e aplicadas como, por exemplo, a de investigarmos o significado das unidades de medida frequentemente usadas na informática bits, bytes, megabytes, etc. (SÃO PAULO, 2009, p. 9)
A ficha desse Caderno apresenta como temas deste bimestre para o 8º ano os temas: Números Racionais; Decimais e frações; Dízimas periódicas e geratrizes;
Potenciação; Expoentes inteiros; Tratamento da informação.
A Situação de Aprendizagem 3 tem como objetivo o estudo das potências em situações práticas, como recomendam suas competências conforme a Figura 41, no quadro de identificação.
Figura 41: Ficha da Situação de Aprendizagem 3
A Situação de Aprendizagem 3 insere o estudo sobre o tema da potenciação de forma diferenciada, iniciando-se com um texto para leitura e análise a cada novo tópico a ser explorado, a partir de diversas situações ilustradas, contendo a representação numérica no sistema de base 10 e em notação científica. Isso porque se supõe que esses alunos já detenham destreza sobre a forma de como são realizados os cálculos que envolvem a operação de potenciação, e solicita como estratégia o uso da calculadora em uma das seções, de forma a interpretar dados e auxiliar na construção e leitura de tabelas.
A possibilidade de diversificar formas de abordagem ou resolução de uma situação pode contribuir para uma tão necessária flexibilidade curricular. A natureza experimental e a diversidade de capacidades que envolve, fazem desse segundo processo um contexto oportuno para a utilização da calculadora como ferramenta na resolução de problemas. (VELOSO, 1989, p. 12)
Figura 42: Leitura e análise
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.18.
A atividade 1 tem início a partir da Leitura e Análise de Texto com a finalidade de introduzir, de maneira contextualizada, o aluno ao tema a ser estudado, conforme Figura 42, de forma que eles reconheçam o significado e representem números muito grandes ou números muito pequenos, realizando a mudança de representação
de notação científica para a representação de base 10. Para este tema, não houve um trabalho prévio com este tipo de transformação, pois é esperado que os alunos já o tenham estudado no 7º ano.
[...] permitir a retomada da discussão sobre o cálculo de potências a partir do seu significado, também possibilita a compreensão de que contar o número de algarismos necessários para a escrita de uma potência de base 10 é muito simples, bastando para isso olhar para o expoente da potência. Isso ocorre porque nosso sistema de numeração é de base 10 (decimal), o que foi discutido em detalhes na atividade de sistema de numeração proposta na 6a série. (SÃO PAULO, 2009, p. 28)
Seguindo para a seção Você aprendeu? (Figura 43) a atividade apresenta ao aluno, questionamentos pelos quais poderá expressar os conhecimentos adquiridos a partir da leitura realizada na seção anterior, bem como nos estudos dos anos anteriores sobre o tema potência.
O que se deseja mostrar com essa e outras atividades apresentadas na sequência são algumas possibilidades de cruzamento de dados contextualizados e o trabalho com potências. Tais possibilidades não devem ser interpretadas como atividades acabadas sobre o assunto e, sim, como suporte didático ao trabalho do professor. Cabe, portanto, ao professor, articulá-las da maneira mais conveniente, de acordo com os conhecimentos sobre potências dos alunos. (SÃO PAULO, 2009, p.28)
Figura 43: Você aprendeu?
Esta familiarização se intensifica, quando é solicitada uma investigação na seção nomeada Pesquisa Individual, e da Lição de casa em que se mostram as representações condizentes com o contexto estudado na seção anterior, como apresentam as Figuras 44 e 45.
Figura 44: Pesquisa Individual
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.19.
Figura 45: Lição de casa
Fonte SÃO PAULO, 2009, p. 20.
Num segundo momento dessa Situação de Aprendizagem na seção Você
aprendeu? é sugerido ao professor que sejam exploradas essas representações na
forma de tabelas de dados, de modo que possa referenciar tais representações na elaboração de atividades com potências que envolvam proporcionalidade e transformação de medidas, conforme as Figuras 46 e 47.
A atividade 2 tem como objetivo relacionar o uso das potências expressas em base dez, para representações muito grandes, à sua representação por palavras, de modo que o significado da ordem da grandeza seja compreendido pelo aluno, uma vez que a representação por notação científica foi trabalhada na atividade 1.
Figura 46: Notação Científica – I Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.20
Figura 47: Notação Científica – II Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p. 21.
Para a realização da atividade 3, foi proposta mais uma Leitura e Análise do
texto (Figuras 48 e 49) que situa o aluno no contexto em que deve ser desenvolvida
a atividade, propondo a comparação entre uma grandeza expressa pela unidade de medida muito grande 1 googol, equivalente a 1100 a uma grandeza anteriormente trabalhada na atividade 2, de forma que se observe a superação de valores por nós
considerados muito altos, como o número de gotas em um dia de chuva na cidade de São Paulo.
Figura 48: Leitura e Análise do texto
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.21
Figura 49:Você aprendeu? Número googol
Como orientação ao professor (p. 31) é destacado que a aplicação dessa atividade ou atividades semelhantes a ela, podem estimular o trabalho com potências, permitindo ao professor que intensifique o seu estudo na propriedade de divisão de potências de mesma base.
Ainda na atividade 3, como nos tópicos anteriores, a mediação é iniciada a partir de um texto que se concentra na apresentação do contexto, Leitura e análise
do texto: Usando a calculadora, como mostram as Figuras 50 e 51, que
apresentaram a funcionalidade de uma calculadora científica, ao tema em que é proposto a inserção de números cuja representação é composta por vários algarismos, em notação científica que serão tratados posteriormente em potência de base 10.
Figura 50: Usando a Calculadora – I Parte
Figura 51: Usando a Calculadora – II Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.23.
A inserção do texto antes do enunciado da atividade tem o propósito de mostrar a representação sob a forma de potência de base 10, com o auxílio da calculadora científica. Orienta sobre as diferentes representações da potência de base 10, assim como sobre a tecla que representa a potenciação, de acordo com modelo e fabricante, de modo a preparar o aluno para o desenvolvimento da atividade, como mostra a Figura 51.
O estudo das potências também oferece um interessante ambiente para o trabalho com a calculadora. Nas calculadoras simples, com oito dígitos no visor, não conseguimos fazer diretamente a conta 370000 . 2100000, contudo, com o conhecimento de potências, essa conta pode ser feita na
calculadora. Sabendo-se que 370000= 3,7.105 e 2 100 000 = 2,1. 106, o
produto procurado é 2,1 . 3,7 . 1011. A calculadora nos fornece o resultado
de 2,1 . 3,7 = 7,77, e nossos conhecimentos sobre potência indicam que
esse número multiplicado por 1011 será igual a 777000000000. (SÃO
Ainda:
O aluno deve perceber que a calculadora científica trabalha com potências de 10. Em todos os casos citados, o número 11 representa um expoente de uma potência de base 10 que deverá ser multiplicado por 7,77. (SÃO PAULO, 2009, p. 32)
Para o desenvolvimento dessa seção é sugerido, inicialmente, que os alunos façam experiências utilizando a calculadora. A essa atividade não é dada nenhuma orientação específica. Devemos lembrar que, do grupo de Situações de Aprendizagens analisadas até o momento, essa é a primeira que faz a solicitação mediante um contexto que irá explorar a sua funcionalidade, proposta sob a representação apresentada por uma calculadora científica, sem antes ter mencionado a exploração de uma calculadora simples. Figura 52.
Figura 52: Você Aprendeu? – I Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.23.
Havendo a possibilidade de trabalhar com a calculadora científica em classe, podemos fazer a mesma conta e sugerir aos alunos que levantem hipóteses sobre o tipo de linguagem que a calculadora está usando. (SÃO PAULO, 2009, p.32)
A segunda parte dessa atividade objetiva que o aluno complete a tabela apresentada na Figura 53, de forma a explorar a relação entre as grandezas ano e toneladas, representando o valor da produção P em toneladas, em notação científica e a sua potência correspondente à produção anual de um material, observando a regularidade apresentada por intermédio do fator 3, sob a forma exponencial, até generalizar-se esta produção para n anos.
Assim, para a realização dessa atividade, com a utilização da calculadora, o aluno poderá verificar com maior facilidade, por exemplo, que 19683 equivale a 39 utilizando-se da tecla adequada na máquina, ou seja, xy ou ^ para a representação de 3 xy 9 ou 3^9, além de associar que, para o tempo presente, o expoente a ser utilizado é o zero, como no ano de 2000.
Figura 53: Você Aprendeu? – II Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.24.
É dado ao terceiro item da atividade (Figura 54) um tratamento à regularidade nas potências, de acordo com o Sistema Decimal Posicional, na qual a observação exposta na tabela pode propiciar a associação dos expoentes negativos à sua representação decimal, de forma a generalizar os dados obtidos.
Figura 54: Você Aprendeu? – III Parte
Assim como no segundo item desta atividade, se este for articulado à utilização da calculadora, o aluno poderá explorar a mesma tecla; entretanto com valores negativos, observando a equivalência entre diferentes formas de representação, e o professor poderá ampliar esta discussão já iniciada no 7º ano quanto à representação de números muito pequenos. Porém, nessa atividade de que tratamos, a solicitação não é feita para o aluno e nem é dada nenhuma orientação no Caderno do Professor.
Após o desenvolvimento das transformações entre a potência de base 10 e a notação científica, é apropriado que os alunos sejam novamente encaminhados à realização de uma pesquisa com o intuito de verificar em quais situações cabe a utilização de números muito grandes ou muito pequenos, como mostra a Figura 55.
Figura 55: Pesquisa Individual – I Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.25.
Ainda para complementar essa seção de pesquisa, no item 4, é sugerida uma investigação sobre as representações de potências, cujos expoentes são negativos, em que o aluno precisará realizar uma representação numérica fracionária, segundo a Figura 56.
Figura 56: Pesquisa individual – II Parte
Para o desenvolvimento desse tópico é recomendado ao professor (p. 34), que realize uma discussão com os alunos sobre a utilização de potências com expoentes negativos para representar números muito pequenos. Nessa atividade, é esperado que os alunos apliquem os princípios descobertos no item 3 (Figura 54).
As três atividades que compõem a seção Lição de casa tratam da formalização das representações estudadas, envolvendo potências com expoentes negativos, conforme a Figura 57.
Figura 57: Lição de casa
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p. 26.
No item 1 dessa seção, o aluno deverá expressar a correspondência entre angstrom e metros, ou seja, que 1 angstrom = 10-10. Nos itens seguintes, é esperado que o aluno associe os conhecimentos adquiridos nas atividades anteriormente propostas, como apresentado na Figura 55, para a realização da correspondência entre metros e números de fios, expressada pela razão:
3 7 0 . 3 9 1 0 . 5 4 ,2 1 5 = − fios de
cabelo. Para o último item desta tarefa, é desejável que o aluno expresse a razão entre a metragem percorrida pelo caracol e a do crescimento do cabelo obtendo:
3 5 2 ,18 7 5 1 0 .6 ,1 .31 0 = − − .
O professor é orientado a ampliar esta correspondência, apresentando outras equivalências.
O professor pode ainda discutir com os alunos que como, em média, o ser humano tem 100000 fios de cabelo, podemos concluir que todos os fios de cabelo de um individuo, quando alinhados por seus diâmetros, resultariam
cerca de 2,54 metros (2,54 . 10–5 . 100000). (SÃO PAULO, 2009, p.35)
O trabalho proposto nessa Situação de Aprendizagem pretendeu explorar as potências na representação do googol e do angstrom, uma preparação para a próxima unidade desse Caderno que abordará outras grandezas que utilizam da potência para a sua representação.
Síntese da nossa análise
As Atividades 1, 2 e 3 apresentadas realizam o tratamento sobre as representações de números muito grandes ou muito pequenos. Ao longo do seu desenvolvimento, pudemos observar a componente da representação expressa em todas as atividades, pela representação na forma de notação científica para potência de base 10 e vice-versa ou na associação da língua natural a representação numérica, fator que consideramos importante para se poder dimensionar a grandeza como expressa na Atividade 2.
Vale a pena observar que, apesar da praticidade relacionada ao uso de potências para a representação de números muito grandes, quando temos a possibilidade de nos referir a um número dessa natureza por palavras, a compreensão do significado concreto da ordem da grandeza será favorecida. (SÃO PAULO, 2009, p.30)
Ainda para as mesmas atividades, podemos destacar o trabalho realizado por intermédio da comparação entre as diferentes representações enunciadas por tabelas, com a pretensão de facilitar a visualização do aluno em relação às equivalências numéricas apresentadas.
Segundo Dreyfus (1991, p. 31), a visualização é um processo pelo qual a representação passa a existir, partindo da imagem gerada por um objeto concreto, gráficos, fórmulas algébricas ou diagramas de setas.
Para a resolução de um item da atividade 3, Usando a calculadora, foi mencionada a utilização desse recurso pedagógico como um dos meios para a
formalização dos conceitos envolvidos com as transformações de notação científica para potência de base 10. Nessa atividade, o recurso não desempenhou o papel de mero verificador; sua proposta esteve vinculada à exploração das funções específicas para o trabalho com potências, na busca pelas diferentes representações de um mesmo número, propiciados pelas diferentes linguagens das calculadoras, segundo seu modelo.
O trabalho realizado com a calculadora também apresentou o resgate de tópicos estudados nos anos anteriores, propondo a observação da regularidade exposta na atividade Potência correspondente, que encaminha ao processo de generalização de 3n , na segunda parte da atividade 3.
Embora solicitada para a realização dessa atividade, o recurso não foi utilizado completamente quando poderia tê-lo sido. Na terceira parte da atividade 3, é proposta a continuidade da observação de regularidades; nesse momento seria adequado que a mediação fosse realizada com o auxílio da calculadora, encaminhando o aluno a verificar a partir das funções apresentadas, o que acontece com os valores obtidos pela divisão por dez, cem, mil, etc, pois a calculadora científica só registra o expoente negativo a partir da divisão por unidade de milhar. Dessa forma, seria mostrada mais uma representação para um mesmo número.
Então, podemos dizer que, se essa intervenção tivesse sido realizada previamente, com planejamento estabelecido, a utilização da calculadora para a realização da Lição de casa teria o efeito de facilitadora, se solicitada.
Há de se comentar, também, que na primeira parte dessa atividade, poderia ter sido recomendado ao professor que situasse o aluno sobre quais números deveriam realizar as suas experiências, ou seja, dar-lhes um propósito específico. Com experiências aleatórias, nas quais o aluno não tem o que observar ou construir, perde-se o caráter investigativo que a calculadora oferece.
Enfim, podemos destacar a componente síntese, responsável por conectar tais atividades em um único propósito, isto é, o de utilizar-se da potência para a representação de números muito grandes.
Ao longo dessa Situação de Aprendizagem pudemos perceber a presença das seguintes componentes do P. M. A: representação, visualização, generalização e da síntese e da abstração.
Tabela 6: Componentes do P. M. A: 8º ano- volume 1
8º ano – volume 1
Componentes do P. M. A. Situação de Aprendizagem
1 2 3 4 Visualização Representação Generalização Síntese Abstração Fonte: A autora
As informações sobre em qual seção estas componentes foram observadas se encontram no Anexo D.
4.1.5 Caderno do Professor (2009) – 7ª série/8º ano – Volume 1 Situação de Aprendizagem 4
Ainda no volume 1, destinado ao 8º ano, analisaremos a Situação de Aprendizagem 4, que objetiva a exploração entre o uso da potência e as unidades memória do computador.
Nessa Situação de Aprendizagem propõe-se o desenvolvimento do tema a partir da exploração por construção de tabelas, análise de gráficos e utilização da calculadora, como mostra a Figura 58.
Figura 58: Situação de Aprendizagem 4, 1º bimestre, 8º ano
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.36.
A atividade 1 desta Situação de Aprendizagem inteira o aluno sobre o assunto a ser estudado por intermédio da Leitura e análise de Texto, na qual são
apresentadas as unidades de memória do computador e do sistema binário, responsável por processar as informações nela armazenadas, por intermédio de um capacitor, dispositivo que assume apenas os valores de 0 (zero) e 1(um) para desligado e ligado, respectivamente, não se utilizando, assim, do nosso sistema decimal (Figura 59).
Figura 59:Leitura e Análise do texto- I Parte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.28.
Apresenta a justificativa para a utilização da potência de base 2, em lugar da potencia de base 10, estabelecida pela diferença em percentual, devido ao próprio desenvolvimento dos múltiplos do byte. Destaca a importância de conhecer as diferenças entre eles, por conta das informações contidas nos recursos tecnológicos
que fazem utilização da representação da memória. Complementa a informação com uma tabela que realiza a representação na forma de potência de base 10 e notação científica, como estudado na Situação de Aprendizagem 3, do mesmo Caderno, à nomenclatura, à sua transformação de potencia de base 2 e diferença entre os valores encontrados na potência de base 10 e de base 2 (Figura 60).
Figura 60: Leitura e Análise do texto II
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.29.
A seguir, apresenta na mesma atividade (Figura 61) o cálculo com número binário que comporta 3 bits, representando o capacitor por duas linguagens
simbólicas: na primeira e segunda colunas, a representação binária e a sua correspondência no sistema de numeração decimal.
Figura 61: Bits, bytes e potência de base 2
Para complementar essa abordagem, é sugerida uma tabela que expressa uma árvore das possibilidades para representar os números de informações armazenadas, conforme a Figura 62.
Figura 62: Representação das informações armazenadas
Assim, é esperado que o aluno perceba que, para representar os números listados na tabela, com a respectiva correspondência no nosso sistema de numeração decimal, ele precisa formalizar que cada configuração do capacitor ligado equivale a uma potência de base 2, assim como generalizar que, para n bits, as informações armazenadas podem ser expressas por 2n e o total por mn.
Assim:
Tabela 7: Representação na potência de base 2
000 0+0+0 0 001 0+0+20 1 010 0 + 21+0 2 011 0+21+20 3 100 22+0 + 0 4 101 22+0+21 5 110 22+21+0 6 111 22+21+20 7 Fonte: A autora
E que, para se representar números maiores que sete ele precisa de uma configuração cuja representação apresentasse 4 bits, por exemplo, para o número 8.
Tabela 8: Representação na potência de base 2 do número 8
L – D – D – D 1000 23 + 0 +0 + 0 8
Fonte: A autora
Dessa forma, o aluno poderia responder às questões seguintes a essa abordagem, na seção Você aprendeu? (Figuras 63 e 64) que propõe, justamente, a transformação de acordo com as representações exploradas na Leitura e Análise do
Texto.
As atividades a seguir exploram a potenciação a partir do contexto das relações em bits e bytes e a quantidade de informação armazenada. (SÃO PAULO,
Figura 63: Você aprendeu? Leitura dos capacitores I
Figura 64: você aprendeu? Leitura dos capacitores II
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.33.
Para a atividade 2, é esperado que o aluno relacione o número 8 como expoente da base 2 e, na atividade 3, que aplique o raciocínio inverso à atividade 2, como também o de realizar estimativas, pois 1000 está compreendido ente 29 e 210.
Na atividade 4 (Figura 65), é explorada a representação com os Múltiplos de byte, no qual se espera que o aluno utilize as propriedades de multiplicação e de divisão de mesma base.
Figura 65: Múltiplos de byte
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p. 33.
A atividade 5 possui mesmo propósito da atividade 4, no entanto, seu trabalho é desenvolvido com a potência de base 2, como apresentado na Figura 67.
Ainda com o propósito de realizar transformações, na atividade 6 (Figura 68) o aluno deve refinar seus cálculos utilizando da mudança de potência de base 10 para notação científica.
Figura 66: Múltiplos do byte II
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.34
Figura 67: Quando um mebibyte é um megabyte?
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.34.
A atividade 7 Lição de casa (Figura 68) propõe o pensamento combinatório, utilizando-se de uma situação ilustrada a partir de objetos distintos que fazem parte de seu cotidiano, de forma que o aluno observe a aplicação do sistema binário de uma maneira diferente da atividade 1, dessa Situação de Aprendizagem, realizando a permutação de 3 objetos (lápis, borracha e caneta) no qual se escolhe aleatoriamente um deles, codificando como 1 e para os demais 0 (zero) seguido da permutação de 5 objetos de livre escolha.
Figura 68: Usando potências para contagem
Fonte: SÃO PAULO, 2009, p.35.
Para a seção Lição de casa (itens 3 e 4) foi destinada, respectivamente, uma