Como exemplo de turbulência multifractal, emergente a partir de um mapa não- linear, trabalhamos com um modelo de dois mapas não-lineares acoplados intro-
duzidos por Madeira e Gonçalves (2009), os quais foram posteriormente adap- tados por Gonçalves (2010), para a proposta de um modelo de economia artificial com um mercado financeiro.
As máquinas de Turing de uma só fita, capazes de hipercomputação categorial,
trabalhadas acima, conseguem capturar a dinâmica computacional de um sistema complexo com uma dinâmica descrita por mapas não-lineares acoplados, contudo,
torna-se mais útil trabalhar com máquinas de Turing de múltiplas fitas, aproxi-
mando o modelo de computação, daquilo que são os softwares de simulação, utili-
zados para a simulação de sistemas complexos.
Uma revisão aprofundada, das diferentes dinâmicas e da teoria dos mapas não- lineares acoplados, encontra-se para além dos objectivos da presente tese, assim,
na presente secção, pretendemos, somente, exemplificar alguns padrões de risco associados à sincronização dinâmica e emergência de turbulência multifractal.
Considere-se, deste modo, uma máquina-a com duas fitas, a computação em
cada fita é capturada, para N iterações, a partir de uma máquina de iterações
M(ϕi, µi, N) em que ϕi é a regra dinâmica para a i-ésima fita e µi é o ponto de fase inicial para a i-ésima fita.
Tome-se x ≡ µ1 e y ≡ µ2 como assumindo valores no intervalo [ − 1, 1].
Tomando o momento inicial t = 0 e τ = 1, a órbita pode ser indexada ao tempo pelo número de iteração, assim, µi(n) corresponde ao ponto de fase resultante da
n-ésima iteração, inserido na n + 1-ésima célula da i-ésima fita.
A estrutura fundamental de relações dinâmicas assumida, no presente exemplo, é a seguinte:
x(n) = (1 − ε)fa(x(n − 1)) + εy(n − 1) (310)
y(n) = (b + x(n)2) (r − y(n − 1)) + x(n)2y(n − 1)3 (311)
fa(x(n − 1)) = a x(n − 1) − (a + 1) x(n − 1)3 (312)
A primeira equação (equação (310) introduz um acoplamento entre o mapa cúbico
(equação (312)) e o valor de y(n − 1), com constante de acoplamento ε. Assim, temos:
x(n) = ϕ1(x(n − 1)) = (1 − ε)fa(x(n − 1)) + εy(n − 1) (313)
Para a variável dinâmica y, estão a ser adicionadas duas componentes dinâmicas, a saber: x(n)2· (r − y(n − 1) + y(n − 1)3) e b · (r − y(n − 1)). A segunda compo-
nente introduz um efeito de reversão em relação a um valor central (mean-rever- sion effect), enquanto que a primeira contém a componente dinâmica não-linear.
Assim, ϕ2 é tal que:
y(n) = ϕ2(y(n − 1))
= x(n)2(r − y(n − 1) + y(n − 1)3) + b(r − y(n − 1)) (314)
Em ϕ2, x(n) funciona como se fosse um parâmetro adaptativo.
Na figura 2 do anexo C., apresentamos os diagramas de bifurcações para x(n) e y(n), com a = 3, b = 0.5 e r = 0.001, variando ε.
Os diagramas evidenciam que: enquanto o comportamento das bifurcações, para x(n), apresenta uma estrutura de duplicação de período e caos com janelas
periódicas (figura 2(a)), os dados para y(n), obtidos para valores de ε na região
de caos com janelas periódicas em x(n), evidenciam um padrão de turbulência
nas bifurcações com a presença de regiões de uma dinâmica caótica, próxima de
uma linha central e estruturas irregulares com saltos, correspondendo a dinâmicas de elevada variabilidade nos valores assumidos por y(n) (figura 2(b)). Estas regiões de elevada variabilidade apresentam, no entanto, uma dinâmica mais estruturada do que as regiões centrais, como é evidenciado pelas estruturas identi- ficáveis nos diagramas de desfasamento (delay plots) para y(n) (figura 3).
Na figura 3(a), é apresentado um diagrama de desfasamento para um valor
de ε que conduz a uma região de elevada variabilidade para a dinâmica de y, enquanto que na figura 3(b) é apresentado um diagrama de desfasamento para
um valor de ε que conduz a uma região de baixa variabilidade para a dinâmica de y.
Existe, em cada um dos casos, uma estrutura heteroscedástica com a forma de
um duplo cone, contudo, esta estrutura de duplo cone adquire padrões com maior estrutura, no caso da dinâmica com maior variabilidade, do que no caso da dinâ- mica com menor variabilidade.
Considerando a representação bidimensional dos pares (x(n), y(n)), apresen- tada na figura 4, do mesmo anexo, pode ser identificada uma estrutura complexa de atractor para a dinâmica caótica em cada um dos casos de maior (figura
4(a)) e menor variabilidade para a dinâmica de y (figura 4(b)).
Ambos os atractores são tais que um valor de y(n), perto de um dos extremos
de variação, positivo ou negativo, ocorre em simultâneo com um valor de x(n), perto de um dos extremos de variação, também positivo ou negativo.
Por outro lado, para valores x(n), perto de um dos extremos de variação (posi- tivo ou negativo), y(n) tende a ocorrer numa região de elevada variabilidade. Esta estrutura dos atractores permite sinalizar o risco de ocorrência de um efeito de Malcolm sincronizado (Madeira e Gonçalves, 2009).
O efeito de Malcolm corresponde a uma transição súbita no comportamento
de uma dinâmica caótica para uma fase turbulenta, marcada por saltos súbitos e elevada variabilidade, comparativamente com aquilo que constitui o intervalo de variação normal do sistema, sendo esta transição e o risco de ocorrência da mesma, uma consequência da estrutura não-linear do próprio sistema. O nome foi proposto por Crichton (1991), referindo-se ao seu personagem: o matemático Ian Malcolm.
O efeito de Malcolm constitui uma noção eficaz na análise do comportamento
do caos multifractal, sendo observáveis efeitos de Malcolm na forma de saltos repentinos que se destacam em relação às variações mais frequentes da dinâmica
sistémica (Madeira e Gonçalves, 2009; Gonçalves, 2010).
Regressando à figura 4, é de relevar que quando y(n) apresenta valores pró- ximos dos extremos de variação, parecem existir apenas duas, no máximo quatro, regiões alternativas concentradas de valores para x(n), todas longe de 0 (este resultado é visível, em particular, no caso da figura 4(a)), o que significa que o risco de ocorrência de um efeito de Malcolm em x(n) é bastante elevado.
Na figura 5, apresentamos um cronograma para y(n), obtido a partir de uma simulação do sistema para parâmetros situados na região de baixa variabilidade. É visível a presença de turbulência nesta região, concentrações de volatilidade e saltos repentinos com valores para y(n) que se destacam em relação às regiões de variação mais frequente39(efeitos de Malcolm).
A dinâmica de y(n), apresentada na figura 5, revela a presença de efeitos de escala multifractais, conforme pode ser confirmado pelo espectro multifractal,
apresentado na figura 6 e estimado sobre os dados da figura 5. O espectro apre- senta evidência de multiscaling, com uma moda próxima de 0.4, e uma amplitude
elevada do espectro com αmaxacima de 0.85 e αminabaixo de 0.1.
Estes resultados são significativos, pois, com um sistema de equações com apenas duas variáveis, consegue-se produzir turbulência multifractal, com um cro-
nograma que visualmente demonstra uma forma bastante irregular, típica de um processo de elevada dimensão. Para capturar este tipo de turbulência, os modelos
de spin glass e os modelos quânticos são computacionalmente mais complexos.
Que, a partir de uma dinâmica com apenas duas variáveis, se consiga replicar
turbulência multifractal, constitui evidência a favor da eficácia dos mapas caóticos
na modelação dos sistemas e na análise do risco, em particular quando se colocam questões de limites à capacidade computacional.
A extensão do modelo de mercado financeiro de Gonçalves (2003), a múltiplos
activos, por exemplo, é mais pesada em termos computacionais, do que este modelo, o que explica a proposta e testagem empírica de um modelo de mercado financeiro com múltiplos activos (Gonçalves, 2010).
39. A dinâmica apresenta risco de cauda elevado, pois o parâmetro de curtose, estimado empirica- mente para os dados da figura 5, é de 8.616094, o que indica a presença de caudas mais pesadas que as da distribuição normal.
Capítulo 6. Conclusões
A presente tese, que procurou contribuir para a expansão e autonomização da matemática do risco, a partir dos seus fundamentos categoriais, foi colocada perante dois níveis discursivos, um primeiro nível que visa a própria matemática do risco, trabalhada a partir do substrato lógico do cálculo categorial, e um
segundo nível que visa o próprio risco, objecto de investigação da matemática do risco.
Quando se trabalha a matemática do risco, a partir dos fundamentos, tra- balha-se a partir da causalidade formativa do risco nos sistemas, é o pensamento científico acerca desta causalidade formativa e o pensamento ontológico e sisté- mico da ciência do risco que suportam toda a estruturação do trabalho, condicio- nando-o, assim como à reflexão acerca dos resultados e avaliação das consequên- cias dos mesmos.
A matemática do risco, enquanto ramo autónomo da matemática, visa, desde logo, uma ligação com objectos concretos, a saber: os sistemas. O referente sisté-
mico das redes de relações sistémicas em situações de risco nunca pode ser per-
dido, pelo que, na investigação acerca dos fundamentos da matemática do risco, torna-se necessário trabalhar a partir de uma lógica sistémica, pois é a partir da mesma que se pode estruturar o discurso formal da matemática do risco.
Existem, assim, três níveis de consequências a considerar, quando se investiga nos fundamentos da matemática do risco, a saber: as consequências para a própria matemática do risco; as consequências para a ciência do risco; as potenciais con- sequências para os problemas aplicados da ciência do risco, em que a mesma ciência e a matemática são utilizadas com valor instrumental.
Quando se trabalha a matemática do risco e a ciência do risco, qualquer resul- tado constitui, por si só, um contributo disponível para um agente adaptativo que necessite de o utilizar enquanto ferramenta.
Deste modo, um qualquer trabalho na matemática do risco constitui um con- tributo disponível para as aplicações da ciência do risco. Nos contextos de investi- gação que visem uma expansão da matemática do risco, enquanto ramo da mate- mática subjacente à ciência do risco, os contributos instrumentais apenas podem ser avaliados em termos de linhas gerais de ferramentas disponíveis.
No presente capítulo, trabalha-se de um modo integrado os contributos, as conclusões, as conjecturas, traçadas a partir do trabalho desenvolvido, e linhas de investigação futura.
Assim, na secção 6.1., revê-se os principiais contributos do cálculo categorial
para os fundamentos da ciência do risco. Na secção 6.2., são trabalhadadas as
principais implicações do trabalho desenvolvido para a investigação acerca do risco nos sistemas. Em conjunto, nestas duas secções são abordados os problemas de investigação identificados no capítulo 1., os contributos do trabalho desenvol- vido para a resolução desses problemas e as linhas de investigação futura.
Na secção 6.3., é abordada a questão da relação entre a criticalidade auto- organizada e a turbulência multifractal, questão que constituiu, no presente tra-
balho, um campo de ilustração aplicativa do formalismo.
Na secção 6.4. apresenta-se uma breve reflexão acerca dos contributos do