Como suporte às questões de investigação a que pretendemos responder neste trabalho, vamos considerar um conjunto de hipóteses, que julgamos fundamentais, e dar algumas justificações para as mesmas. Assim, vamos considerar que:
I) O sistema tem apenas dois estados de funcionamento. Um estado de bom
funcionamento, correspondente ao tempo de vida do sistema, e no qual o processo se (re)inicia encontrando-se sob controlo estatístico, e outro de mau funcionamento, como resultado do aparecimento de uma causa assinalável.
II) O tempo de vida do sistema tem distribuição com função densidade f(t), t > 0, que
supomos conhecida.
III) Quando o processo se encontra sob controlo estatístico, a característica da
qualidade tem distribuição aproximadamente normal com média µμ0 e desvio padrão σ0; é seguido o pressuposto mais utilizado na literatura. Contudo, se uma característica da qualidade não é normalmente distribuída (o que acontece em
muitas das situações práticas), utilizando-se técnicas com base na distribuição normal, podem cometer-se erros importantes. Na literatura, existem alguns trabalhos com abordagens que permitem ultrapassar esta problemática. Por exemplo, Yourstone e Zimmer (1992) determinam limites assimétricos para a carta para média do tipo Shewhart no caso em que a distribuição das médias segue uma distribuição de Burr. Chou et al. (1998) efetuam uma transformação de Johnson para normalizar os dados da característica da qualidade. Shore (2004) apresenta uma revisão bibliográfica das abordagens utilizadas neste tipo de contexto. Lin e Chou (2005b) consideram que a característica da qualidade e a distribuição por amostragem (com parâmetros estimados seguindo a metodologia de Burr (1973)) seguem distribuição de Burr. Figueiredo (2003) considera transformações do tipo Box-Cox para transformar dados não normais em normais. Infante (2004) considera, por um lado, que a característica da qualidade não é normal (mistura de normais) e distribuição normal para as médias amostrais, avaliando erros cometidos. Por outro lado, considera que a característica da qualidade e a distribuição das médias amostrais têm distribuição de Burr. Chen e Cheng (2007) consideram que a qualidade tem distribuição de Weibull e utilizam técnicas de Johnson para normalizar os dados. Num contexto de amostragem de aceitação, Carolino (2012) utiliza transformações do tipo Box-Cox para estudar variáveis não gaussianas. Carmo et al. (2013) recorrem à simulação para obter os parâmetros da carta de controlo, considerando que a característica da qualidade pode ser uma distribuição t-Student ou uma normal contaminada com diferentes graus de contaminação. Estudos de robustez, face à não normalidade, têm sido realizados em diversos trabalhos. Considerando antigos ou novos esquemas de amostragem e/ou estatísticas mais robustas do que a média amostral, como, por exemplo, a mediana, a mediana total e amplitude total podem ver-se os trabalhos de Amin e Miller (1993), Borror et al. (1999), Calzada e Scariano
(2001), Stoumbos e Reynolds (2004), Figueiredo e Gomes (2004), Lin e Chou (2005c), Figueiredo e Gomes (2009), Lin e Chou (2011) e Ou et al. (2012).
IV) A ocorrência de uma causa assinalável provoca uma alteração da média µμ0 para
µμ1=µμ0∓ λσ0, O > 0, e/ou uma alteração do desvio padrão de σ0 para σ1=ρσ0, U > 0. Em relação aos pressupostos relacionados com uma alteração da média (o próximo pressuposto também refere esta alteração) podemos referir que se trata do mais usual na literatura. Contudo, outros pressupostos têm sido considerados. Por exemplo, Duncan (1971), utilizando design económico, considera múltiplas causas assinaláveis com diferentes tempos de ocorrência para cada causa, concluindo que um modelo com uma única causa assinalável é uma boa aproximação do modelo de múltiplas causas; Costa (1993) considera o processo sujeito ao aparecimento de duas causas assinaláveis, admitindo que um dos parâmetros se pode alterar depois do processo estar fora de controlo; Costa e Rahim (2000), considerando uma abordagem económica, apresentam uma generalização do modelo proposto por Costa (2003) em que uma das causas assinaláveis provoca alteração na média do processo e a outra na variância, sendo a sua ocorrência independente; Nenes e Tagaras (2007) utilizam uma abordagem Bayesiana, fazendo depender os instantes de amostragem, a dimensão amostral e os limites de controlo da probabilidade de ocorrência da causa assinalável; Nenes e Panagiotidou (2011) propõem uma abordagem Bayesiana para obter os parâmetros que minimizam o custo total médio por unidade de tempo.
V) Após a ocorrência de uma alteração da média e/ou do desvio padrão, os valores da
média e do desvio padrão mantém-se até a alteração ser detetada; em determinadas situações deste trabalho consideramos que, também, o desvio padrão se altera. Não é o pressuposto mais utilizado, na prática é usual considerar-se a carta para a média em conjunto com a carta para a amplitude ou para o desvio
novos métodos de amostragem apresentados. Na literatura podem encontrar-se diferentes trabalhos que utilizam cartas conjuntas. Como exemplo, podem ver-se os trabalhos de Chou et al. (2006) que utilizam uma carta X-R com amostragem VSI, para determinar os valores ótimos de sete parâmetros do esquema de controlo; Costa e Magalhães (2007) que utilizam uma estatística com distribuição do qui- quadrado para avaliar o desempenho de uma carta para a média em simultâneo com uma carta para amplitudes, X-R, com diferentes métodos de amostragem; Zhang, J. C. et al. (2012) que propõem o uso de uma carta de controlo que incorpora o procedimento EWMA com rácios de probabilidade generalizados para monitorizar média e variância de um processo, Lee (2013) que avalia o desempenho de uma carta de controlo para a média em simultâneo com uma para o desvio padrão, X-S, com procedimento de amostragem DSVSI.
VI) O estado de mau funcionamento do sistema só é conhecido se o sistema for
inspecionado.
VII) No controlo do estado do processo utilizamos uma carta de controlo para a média
do tipo Shewhart, que designaremos só por carta de controlo clássica; quando os principais procedimentos de amostragem foram propostos, a análise inicial de desempenho foi feita com esta carta de controlo e só à posteriori apareceram trabalhos com extensões a outro tipo de cartas (como exemplo, VSI-X em Reynolds et al. (1988); VSI-CUSUM em Reynolds et al. (1990); VSI-EWMA em Reynolds (1996a); VSIFT em Reynolds (1996b); VSS-X em Prabhu et al. (1993) e Costa (1994); VSS-X em Zimmer et al. (1998) e Zhang e Wu (2007); VSSI-X em Prabhu et al. (1994) e Costa (1997); VSSI-X&R em Costa (1999a); VSSI em Zimmer et al. (2000); VP-X em Costa (1999b); VP-X&R em Costa (1998b) e Costa e Rahim (2004); VPFT em Lin e Chou (2005a); VP-R em Lee (2011)).
VIII) Se a média de uma amostra é marcada fora dos limites de controlo, consideramos
outras regras foram introduzidas nas cartas Shewhart, em particular na carta para médias, tendo como objetivo melhorar a eficácia na deteção de alterações reduzidas e moderadas. Tais regras são designadas como regras suplementares, e conduzem, no geral, a um maior número de falsos alarmes.
Champ e Woodall (1987), apresentam um método para obter o ARL de cartas de controlo com regras suplementares e Champ e Woodall (1990) um programa, em linguagem FORTRAN, que permite estudar as propriedades da distribuição do RL de uma carta de controlo clássica, Champ (1992) combina as regras de Champ e Woodall (1987) com as regras introduzidas por Crosier (1986) e efetua um estudo da distribuição do “steady-state RL”, Lowry et al. (1995) apresentam regras suplementares alternativas para detetar alterações na dispersão, Zhang e Wu (2005) estudam a distribuição do “steady-state RL” e comparam os resultados obtidos com a distribuição do convencional “zero-state ARL” e Celano et al. (2006) incluem regras suplementares num esquema com amostragem VSSI.
IX) As amostras retiradas do processo são independentes e identicamente distribuídas.
É uma regra usual na literatura, contudo podem ver-se alguns exemplos em que se impõe, como hipótese, a não independência das amostras. A presença de autocorrelação tem muito impacto no desempenho das cartas de controlo, em particular, aumentando muito o número de falsos alarmes. Esta temática tem sido discutida por diferentes autores em diferentes trabalhos, dos quais destacamos Reynolds e Arnold (1996) que consideram uma carta de controlo para a média com amostragem VSI e amostras correlacionadas. Reynolds e Lu (1997) e Lu e Reynolds (1999a) que comparam diferentes cartas dentro deste contexto. Stoumbos e Reynolds (2000) considerando cartas do tipo Shewhart e de médias móveis, estudam o seu desempenho sob a não normalidade e a autocorrelação dos dados. Costa e Claro (2008) consideram amostragem DS e que as observações são representadas por um modelo autorregressivo de primeira ordem (ARMA(1,1)). Chen
e Cheng (2009) consideram que os dados da característica da qualidade são autocorrelacionados com matriz de covariâncias conhecida e a distribuição marginal com forma desconhecida e Sheu e Lu (2009) consideram que os dados são representados por um modelo autorregressivo de primeira ordem e estudam o desempenho de uma carta EWMA, recorrendo à simulação para obter o ARL.
X) Após o sinal dado pela carta de controlo e a causa assinalável ter sido eliminada,
consideramos que o processo volta ao estado em que estava antes do aparecimento da causa assinalável, iniciando-se um novo ciclo.