O objetivo do projeto de um sistema de controle em malha fechada é diminuir a sensibilidade da planta a distúrbios externos. A filosofia de projeto consiste em ajustar o valor de vários parâmetros do controlador de uma forma dada através de uma estratégia inteligente de tentativa e erro, até parecer que o sistema completo irá satisfazer as especificações.
A característica essencial do método de controle convencional é, primeiramente, o estabelecimento de uma especificação no domínio da freqüência que é relacionada à performance desejada no domínio do tempo, e em segundo, o ajuste através de tentativa e erro de certos parâmetros do sistema na tentativa de trazer o desempenho do sistema aos limites requeridos.
O uso do controle ótimo moderno permite uma visão diferente sobre o problema, permitindo o estabelecimento de um índice de performance analítico para o sistema, e o projeto do sistema de tal forma que isto otimize um índice selecionado (Bryson, 1999). Nas últimas décadas, as técnicas matemáticas de cálculo das variações e passo de decrescimento têm sido retomadas e estendidas para o uso em problemas de controle ótimo. Em acréscimo, outras técnicas como a programação dinâmica e o princípio do máximo têm sido utilizados para a resolução de problemas de controle ótimo. Em cada um destes casos o sistema é
descrito em termos de uma formulação de variáveis de estado do sistema de equações, definindo as leis de movimento do processo.
Esta teoria é geralmente formulada através de um sistema com variáveis contínuas. Assim, sua operação é modelada através do uso de equações diferenciais. A representação discreta destas equações é geralmente utilizada quando se consideram propósitos computacionais.
Problemas de programação dinâmica para sistemas contínuos decorrem do cálculo de variações. Estes problemas podem ser considerados como casos limite para os problemas de programação ótima aplicada a sistemas discretos, onde os intervalos de tempo entre os passos são pequenos se comparados ao tempo característico do sistema contínuo.
Atualmente, o procedimento inverso é mais comum, ou seja, sistemas contínuos são aproximados por sistemas discretos para simulação em computadores digitais (Bryson, 1999).
3.3.1 Sistema dinâmico contínuo
Um sistema dinâmico contínuo é descrito por um vetor de estado n-dimensional q(t) especificado no tempo t. A escolha do vetor de controle m-dimensional v(t) determina a taxa de variação do tempo para a atualização do vetor de estado através da relação
) ), ( ), ( ( ) (t f q t v t t q& = . (3.13)
O caso geral de otimização para este tipo de sistema consiste em determinar o histórico no tempo do vetor de controle v(t), onde t0 ≤ t ≤ tf , que minimiza um índice de performance da
forma J = φ[ q(tf) ] +
∫
f t t0 L(q(t), v(t) ,t) dt (3.14)sujeito à Equação (3.13), onde t0, tf, e q(t0) são especificados.
Em alguns problemas de otimização dinâmica há restrições terminais, especificando o estado terminal do sistema através de uma função da forma
ψ [ q(tf) ] = 0, (3.15)
onde ψ tem dimensão menor ou igual a n.
Este tipo de problema requer uma extensão da teoria e dos algoritmos que tratam o problema irrestrito. Utilizando a forma de Mayer (Bryson, 1999), o problema consiste em determinar u(t) de forma a minimizar
J = φ[ q(tf) ] (3.16) sujeito a ] ), ( ), ( [q t v t t f q& = , (3.17) q(0) = q0 (3.18) Ψ [ q(tf) ] = 0. (3.19)
3.3.2 Sistema dinâmico discreto
Um sistema dinâmico discreto é descrito por um vetor de estado n-dimensional q(i) em cada passo i. A escolha de um vetor de controle m-dimensional v(i) determina a transição do sistema para o estado q(i+1) através da relação:
q(i+1) = f[q(i),v(i), i], (3.20)
onde
q(0) = q0. (3.21)
Dado o número de passos N, o problema de otimização geral para este tipo de sistema consiste em determinar a seqüência de vetores de controle v(i), i=0, ..., N-1 que minimizam um índice de performance da forma
J =φ[ q(N) ] +
∑
− = 1 0 N iL[q(i), v(i), i], (3.22)
sujeito às Equações (3.20) e (3.21), sendo N, q0 e a função f , especificados previamente.
Este é um problema de otimização paramétrica com restrições de igualdade que pode ser resolvido por um método de programação não linear, considerando os valores do vetor de controle v(i) como variáveis de projeto.
Dado um valor inicial para cada v(i), os valores do vetor de estado q(i) podem ser calculados com o objetivo de otimizar J.
A extensão da formulação apresentada, para um sistema discreto com restrições terminais, consiste em determinar v(i) que minimize a equação:
J = φ [q(N)] (3.23)
sujeito a
q(i+1) = f[q(i), v(i), i], i=0, ..., N-1, (3.24)
q(0) = q0 (3.25)
Ψ[ q(N) ] = 0. (3.26)
3.3.3 Solução numérica
Somente problemas bastante simples podem ser resolvidos analiticamente. Por este motivo, considera-se o uso de algoritmos iterativos para obter a solução numérica. Na formulação de Mayer o vetor de estado dado pelas Equações (3.20) e (3.21) é acrescido de um estado qn+1(i), que é a soma acumulada de L no passo i, ou seja,
qn+1(i+1) = qn+1(i) + L[q(i), v(i), i] , (3.27)
qn+1(0) = 0.
J =φ[ q(N) ] + qn+1(N). (3.28)
Considerando w = [q, qn+1], deve-se então encontrar uma seqüência de vetores v(i),
i=0, ..., N-1, que minimiza (ou maximiza) a equação:
J =φ[ w(N) ] (3.29)
sujeito a
w(i+1) = f[w(i), v(i), i], (3.30)
w(0) = [q0 , 0] (3.31)
Ψ[ w(N) ] = 0. (3.32)
onde q0 e N são especificados.
Na literatura há diferentes métodos propostos para a solução deste tipo de problema. O método Multiple Shooting é uma ferramenta eficiente na resolução de problemas de valores de contorno altamente não lineares (von Stryk and Schlemmer, 1994). Pode-se encontrar uma descrição detalhada do mesmo, por exemplo, em Stoer and Bulirsch (1993).
Este método oferece uma solução bastante precisa, entretanto algumas características que limitam seu uso na resolução numérica de problemas de controle ótimo são: (a) o desenvolvimento algébrico das condições necessárias de otimalidade, ou seja, das equações diferenciais adjuntas, (b) necessidade de estimação do comportamento do controle ótimo, e (c) o estabelecimento de uma aproximação inicial apropriada para as variáveis de estado e variáveis adjuntas, para se iniciar o processo iterativo.
Pode-se também utilizar métodos do tipo Direct Collocation, que tem por base uma aproximação finita das variáveis de controle e estado, através de discretização. Para tanto, deve-se escolher uma aproximação através de um controle contínuo, linear por partes e continuamente diferençável. A discretização resulta em um problema de otimização não linear sujeito a restrições não lineares. As propriedades de convergência do método e detalhes sobre sua implementação são apresentados em von Stryk (1991).
Alternativamente, pode-se utilizar uma combinação de métodos diretos e indiretos, conforme proposto no trabalho de von Stryk and Schlemmer (1994).
No trabalho atual, os resultados apresentados foram computados através de um método de otimização não linear clássico, que não exige a determinação de parâmetros tais como o tamanho do passo e onde se calcula as derivadas parciais numericamente. O algoritmo consiste em uma implementação do método das direções viáveis modificado (Vanderplaats, 1984), (Zoutendijk, 1960), presente no software DOT ® (Vanderplaats, 1995). Os algoritmos foram implementados em FORTRAN.