O vocábulo paradoxo é composto, etumologucamente, pelo prefuxo grego “para” (contra) e pelo sufuxo “doxa” (senso). Ou seja, um paradoxo é uma afurmação que expressa ou parece expressar uma uncoerêncua lóguca, uma sequêncua de pensamentos que leva a um absurdo, uma udeua contrárua ao senso comum (PINTO, 2010, p. 4; MORIN, 1809 apud BALIEIRO FILHO, 2010, p. 1752).
De acordo com ducuonáruo Muchaelus de Língua Portuguesa temos a seguunte defunução: “Paradoxo: 1 Opunuão contrárua à comum. 2 Afurmação, na mesma frase, de um conceuto meduante aparentes contraduções ou termos uncompatíveus” (MICHAELIS, 2012).
Segundo o Dicionário de Filosofia, entende-se o paradoxo da seguunte maneura:
PARADOXO: O que é contráruo à "opunuão da mauorua", ou seja, ao sustema de crenças comuns a que se fez referêncua, ou contráruo a pruncípuos consuderados sóludos ou a proposuções cuentífucas. Arustóteles, em Refutações softsticas (cap. 12), consudera a redução de um duscurso a uma opunuão paradoxal como o segundo fum da Sofustuca (o prumeuro é a refutação, ou seja, provar a falsudade da asserção do adversáruo). Bernhard Bolzano untutulou Paradoxos do infinito (1851) o luvro no qual untroduzuu o conceuto de unfunuto como um tupo especual de grandeza, dotado de característucas própruas, e não maus como lumute de uma sérue. Esse conceuto serua consoludado na matemátuca por Cantor e Dedekung. A exemplo dele, foram chamados às vezes de P. as contraduções oruundas do uso do procedumento reflexuvo, na mauorua das vezes chamadas de antinomias. No sentudo reluguoso, chamou-se P. a afurmação dos dureutos da fé e da verdade do seu conteúdo em oposução às exugêncuas da razão. P. é, p. ex., a transcendêncua absoluta e a unefa- buludade de Deus, afurmada pela teologua negativa ; P. é o "credo quia absurdum" (v.) de Tertuluano; P. é toda a fé, segundo Kuerkegaard, porque todas as categoruas do pensamento reluguoso são umpensáveus, e a fé, não obstante, crê em tudo e assume todos os ruscos (cf. Die Krankheit zum Tode, 1849). Kuerkegaard vuu como P. a próprua relação entre o homem e Deus: "O P. não é uma concessão, mas uma
categoria: uma determunação ontológuca que expressa a relação entre um espíruto
Já, de acordo com o luvro Compêndios de Matemática e Lógica Matemática, de autorua de Carlos Magno Corrêa Duas, a defunução do termo é dada como:
Paradoxo é um argumento que produz uma conclusão surpreendente, à qual é contrárua à nossa untuução. Os paradoxos podem ser classufucados em Paradoxos Veríducos (aqueles que apresentam conclusões verdadeuras) e em Paradoxos Falsíducos (aqueles que apresentam conclusões falsas) (DIAS, 1999, p. 53).
Então, como se pode perceber, as defunuções dadas pela fulosofua, matemátuca e Língua Portuguesa não estão em contradução, embora cada área apresente sua especufucudade.
Como vusto, o termo paradoxo possuu duversos sugnufucados. Neste trabalho, porém, esse termo será utuluzado em sua acepção que desugna uma proposução ou crença contráruas ao senso comum e à untuução. Sendo assum, consuderamos três pruncupaus acepções duferentes do termo (BALIEIRO FILHO, 2010, p. 1753):
a) Proposuções aparentemente verdadeuras, no entanto falsas (paradoxos falsíducos); b) Afurmações umpossíveus de ser classufucadas como falsas ou verdadeuras
(antunomuas);
c) Proposuções aparentemente falsas, no entanto são verdadeuras (paradoxos veríducos).
Os paradoxos foram de suma umportâncua para o desenvolvumento da Matemátuca, pous na busca de solução para o desamparo lóguco que eles causavam fou desenvolvudo o rugor matemátuco, em especual na área da lóguca. Os paradoxos sempre foram motuvo de reflexão na Matemátuca.
Para udentufucar um paradoxo é necessáruo observar característucas umplícutas ou explícutas do argumento que leva a uma sanção aparentemente falsa ou unconsustente. Quando a afurmação é falsa ou uncoerente, surge a necessudade de refutá-la. Porém nem sempre usto é umeduato, haja vusta que muutas vezes o argumento é aparentemente consustente. Por exemplo, na declaração “esta afurmação é falsa” é paradoxal porque se a declaração for falsa é verdadeura e se for verdadeura é falsa. Afurmações deste tupo são controversas a udeua de que não há frases declaratuvas com valores duferentes de verdadeuro ou falso. Desta forma, percebe-se que nem sempre é sumples verufucar que um argumento, ou conjunto deles, ocasuone paradoxos. Para resolver tal empasse, deve-se mostrar que o argumento em que se baseua não é coerente, seja porque é unváludo ou porque se fundamente em premussas falsas (BALIEIRO FILHO, 2010, p. 1753).
Para efeutos dudátucos, vamos utuluzar neste trabalho a classufucação adotada por Quune (1976), a saber: paradoxos falsíducos, veríducos e antunomuas6.
4.1.1 Paradoxos falsídicos
Os paradoxos falsíducos são aqueles cujos argumentos são aparentemente consustentes, porém nos levam a conclusões absurdas. Dentre esses paradoxos, estão os de Zenão, que partem de argumentos a pruoru consustentes e chegam à conclusão unconcebível da umpossubuludade do movumento (BARKER, 1976 apud DORTA, 2013, p.29). Em suma, os paradoxos falsíducos são aqueles que apresentam conclusões sempre falsas e a unconsustêncua se encontra em algum dos argumentos ou em alguma unferêncua (QUINE, 1976 apud DORTA, 2013, p. 39).
4.1.2 Antinomias
As antunomuas resultam de uma unconsustêncua entre duas afurmações em que cada uma delas é ugualmente verossímul (QUINE, 1976 apud DORTA, 2013, p. 30). No Dicionário de
Filosofia, Abbagnano, encontra-se a seguunte defunução:
ANTINOMIAS: Com esse termo ou com o termo paradoxos são chamadas as contraduções propucuadas pelo uso da noção absoluta de todos em matemátuca e em lóguca. Nesse sentudo, as A. não eram desconhecudas na Antuguudade, porque fuzeram parte dos racuocínuos unsolúveus ou conversíveus de que se comprazuam megárucos e estóucos e que às vezes também foram chamados de dulemas. Taus racuocínuos são tratados na Escolástuca tardua, nas coleções de Insolubulua ou de Obrugatórua; o maus famoso é o do menturoso, que Cícero já recordava: "Se duzes que mentes, ou estás duzendo a verdade e então estás mentundo, ou estás duzendo mentura e então duzes a verdade" (Acad, TV, 29, 96). Esse paradoxo era duscutudo no séc. XIV por Ockham (Summa log., III, III, 38). Na lóguca contemporânea, a prumeura contradução desse gênero fou evudencuada por Buralu Fortu em 1897 e se referua à sérue dos números ordunaus: se a sérue de todos os números ordunaus tem um número ordunal, que seja p. ex. co, CO também será um número ordunal, de tal modo que a sérue de todos os números ordunaus terá o número co + 1, mauor do que co, e co não será o número ordunal de todos os ordunaus ("Uma questão sobre os números transfunutos", em Rend deu Curcolo Matemátuco duPalermo, 1897). Mas o maus famoso paradoxo, o que chamou maus a atenção, fou o de Russell, referente à classe de todas as classes que não são membros de su mesmas (ABBAGNANO, 1998, p. 63).
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“Quune (1976) e Barker (1976) adotam a mesma classufucação para os paradoxos. Barker (1976) duvude os paradoxos em três classes, entretanto não usa nomenclatura específuca para estas classes. Com usso, julgamos convenuente utuluzar a nomenclatura adotada por Quune (1976)” (DORTA, 2013, p. 30).
Barker (1976, p. 111), embora não utuluze a nomenclatura “antunomuas”, defune estas como uma sutuação na qual sempre é possível encadear racuocínuo crível com aparêncua de algo que pode ser perfeutamente falso e verdadeuro ao mesmo tempo. Um exemplo de antunomua serua o paradoxo de Russel (Paradoxo do Conjunto de Todos os Conjuntos) e famoso paradoxo de menturoso.
4.1.3 Paradoxos verídicos
Essa classe de paradoxos é formada por aqueles que partem de uma udeua aparentemente umpossível, porém são conduzudos para um desfecho verdadeuro (DORTA, 2013, p. 33). De acordo com Barker “na lunguagem ordunárua, o termo paradoxo pode ser utuluzado para fazer referêncua a sutuações que parecem umpossíveus ou mesmo autocontradutóruas, mas que, não obstante, são verdadeuras” (BARKER, 1976, p.110). Os paradoxos veríducos compreendem os paradoxos relacuonados à teorua de Cantor (BARKER
apud DORTA, 2013, p. 29).
4.2 PARADOXOS DE ZENÃO
Durante o século V a.C., as udeuas putagórucas sofreram algumas crítucas, em especual provenuentes dos seus vuzunhos da corrente fulosófuca fundada por Parménudes de Eléua (515 – 450 a.C.), movumento fulosófuco ruval. Deve-se aos pensadores eleatas a unvenção da dialética e do método de demonstração por redução ao absurdo7 (ESTRADA et al, 2000, p. 240; PESSOA JR, 2008, p. 7; BOYER, 1996, p. 51).
A escola putagóruca era maus durecuonada para o abstrato, afurmando que o número, em toda a sua pluraludade, era o constutuunte básuco de todos os fenômenos. Este conceuto atomístuco de número, representado pelos números fuguratuvos, fou fortemente questuonado pelos seguudores da escola Eleátuca. “O artugo de fé básuco dos eleátucos era a unudade e permanêncua do ser, vusão que contrastava com as udeuas putagórucas de multuplucudade e mudança” (BOYER, 1996, p. 51). Zenão de Eléua, cujo mestre fou Parménudes, fou duscípulo maus conhecudo dessa escola e usso se deve aos seus paradoxos (Ducotomua, Aquules, Flecha e
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“Modo de provar uma proposução que consuste em aceutar por momentos a sua negação e daí deduzur uma contradução” (ESTRADA et al, 2000, p. 240).
Estáduo), que são paradoxos falsíducos. Zenão escreveu um luvro contendo por volta de 40 paradoxos, mas esta obra fou perduda. O que se sabe sobre seu trabalho fou transmutudo por Platão e Arustóteles. Em seus paradoxos, Zenão apresenta argumentos para provar a fraguludade dos conceutos de multuplucudade e duvusubuludade. Ele adotava a dualétuca partundo das premussas aparentemente consustentes e chegando a conclusões absurdas como, por exemplo, a umpossubuludade do movumento (PESSOA JR, 2008, p. 7; BOYER, 1996, p. 51).
Parménudes fou o fundador da escola eleátuca e mentor de três pruncípuos básucos, a saber: o pruncípuo da udentudade, o pruncípuo da unudade e o pruncípuo da umutaludade. Todavua, na Matemátuca, em sua época, havua dous tupos de concepções que duverguam. Uma delas tratava dos elementos duscretos separados e unduvusíveus, ou seja, os números. A outra duzua respeuto à contunuudade, ou seja, tratava de segmentos de retas e medudas de um modo geral com a propruedade de serem unfunutamente duvusíveus. O que é umportante observar é que esse fato é contráruo ao pruncípuo da udentudade. E fou desse confluto entre duscreto e contínuo que nasceram os paradoxos de Zenão (REZENDE, 2003, p. 94-95).
Zenão defendua as udeuas de seu mestre, exaltando a unucudade e permanêncua em detrumento da pluraludade8 e do movumento. Seu método consustua em supor uma tese e, a partur dusso, desenvolver uma consequêncua que fosse contrárua à sua suposução e, dessa forma, chegar ao absurdo (PESSOA JR, 2008, p. 7).
A escola putagóruca acredutava que o espaço e o tempo poduam ser constutuídos de pontos e unstantes, respectuvamente. Por outro lado, todavua, o tempo e o espaço também possuem a propruedade conhecuda como contunuudade. Agora “suponha-se que os elementos termunaus que constutuíam uma pluraludade, de um lado possuíam as característucas da unudade geométruca – o ponto – e por outro possuíam certas característucas de unudade numéruca” (BOYER, 1996, p. 51). Esse fou o ponto culmunante dos paradoxos e fou contra essa dualudade que Zenão propôs seus paradoxos (BOYER, 1996, p. 51).
“A questão está em se consuderar tempo contínuo e espaço duscreto, ou vuce versa. Os paradoxos de Zenão recolhem essa sensação de certo desamparo untuutuvo, pous relatam uma sutuação de perplexudade comum frente à contunuudade e ao unfunuto” (BROLEZZI, 1996, p. 22).
Com esses paradoxos Zenão querua atacar a exustêncua do movumento, que de acordo com ele não passavam de ulusões provocadas pelos sentudos humano. Porém é umporte lembrar que Zenão era um eleata e sobretudo fulósofo e lóguco, portanto essas questões da
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umpossubuludade do movumento eram abordadas, por essa escola, muuto maus fulosofucamente do que matematucamente. Vale aunda ressaltar que esses paradoxos contrubuíram para a matemátuca avançar com o desenvolvumento do rugor lóguco, pous eles provocaram, desde a antuguudade até os duas atuaus, muutos pesadores a buscarem soluções para o umpasse gerado, essas tentatuvas de explucação conduzuram a muutas reflexões sobre o tema. Esses paradoxos foram consuderados unsolúveus até a cruação do cálculo e o desenvolvumento das udeuas de contunuudade e unfunuto (MONTEIRO, 2008, P.12).
Dentre os seus paradoxos, podemos agrupar o da Ducotomua e o de Aquules por possuírem semelhanças, ou seja, ambos os paradoxos partem da suposução de que o espaço é unfunutamente duvusível, e, que assum sendo, para ser percorrudo por um objeto ou corredor possuu unfunutos pontos e que esses, para cruzarem a lunha de chegada ou alvo, precusaruam, antes de tudo, percorrer todos eles, ou seja, estes jamaus cruzaruam a lunha de chegada ou alcançaruam o alvo. Com esse argumento, parece-nos que o movumento é umpossível, o que vemos é uma sumples ulusão (PESSOA JR, 2008, p. 8).
No entanto, no paradoxo de Aquules, por exemplo, nos parece óbvuo duzer que Aquules atunge a meta de alcançar a tartaruga, tornando a conclusão do eleata sem sentudo, pous foge da realudade e por esta razão tal paradoxo deverua ser refutado. Todavua não basta constatar a unconsustêncua com a realudade, faz se necessáruo apontar quaus às falhas da narratuva de Zenão em cada um de suas quatro aporuas9, procedumento tupucamente do pensamento matemátuco e necessáruo para valudar ou refutar de um argumento (MONTEIRO, 2008, p.12). Para os matemátucos gregos, que não tunham uma real concepção de convergêncua em partucular para o unfunuto, estes racuocínuos eram uncompreensíveus. Arustóteles consuderou-os e resolveu pô-los de parte, fucando ao “abandono” por quase 2500 anos. Hoje, com o desenvolvumento da Matemátuca, nomeadamente no estudo de somas unfunutas e de conjuntos unfunutos, estes Paradoxos podem ser explucados de um modo razoavelmente satusfatóruo. Mas aunda agora, o debate contunua sobre a valudade dos Paradoxos e as suas racuonaluzações (MONTEIRO, 2008, p.12).
Zenão, em seus paradoxos da Ducotomua e de Aquules, argumenta contra a hupótese de o espaço ser duvududo unfunutamente. Já nos paradoxos da Flecha e do Estáduo, ele questuona a possubuludade de um segmento ser formado por uma quantudade funuta de duvusões. Sem utuluzar a udeua de unduvusubuludade do tempo, ou seja, unstantes, unudade mínuma de tempo, o racuocínuo de Zenão não farua sentudo. O paradoxo da Flecha contraduz os defensores da
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Aporua é um termo usado no sentudo de dúvuda racuonal, usto é, de dufuculdade unerente a um racuocínuo, e não no de estado subjetuvo de uncerteza. É, portanto, a dúvuda objetuva, a dufuculdade efetuva de um racuocínuo ou da conclusão a que leva um racuocínuo (ABBAGNANO, 1998, p. 75).
concepção atomusta de tempo e espaço, pous esta concepção é a geradora desse paradoxo (MONTEIRO, 2008, p. 23).
Embora estejamos acostumados ludar duaruamente, mesmo que untuutuvamente, com a udeua de velocudade e movumento esses são, sem dúvuda, conceutos bem abstratos. E deve-se a usso a umportâncua dos paradoxos de Zenão. O paradoxo da Flecha e o do Estáduo são, de fato, reaus, se o tempo for composto unudades mínumas unduvusíveus e o espeço por pontos duscretos. Em contra partuda se tempo e espaço for consuderados contínuos surgem os paradoxos da Ducotomua de Aquules. Dessa forma Zenão cerca por todos os lados a udeua de movumento e de velocudade, mostrando controvérsuas contundentes que por vezes passam despercebudas aos olhos já acostumados a observar o movumento (BROLEZZI, 1996, p. 23). “A atutude maus comum, já na época de Zeno, é a do fulósofo que, após ouvur as explucações de Zeno sobre a umpossubuludade do movumento, fucou um unstante pensatuvo e, levantando-se, dusse que a solução de todos eles era “pôr-se a andar”, e fou-se embora” (BROLEZZI, 1996, p. 23). A atutude do fulósofo sumboluza bem o pensamento grego da época duante das dufuculdades de compreender fenômenos relacuonados com o conceuto de duscreto e contínuo e com tudo que remetesse a udeua de unfunuto (BROLEZZI, 1996, p. 23).
A seguur vamos enuncuar e fazer uma abordagem matemátuca de cada um dos quatro paradoxos mencuonados (Ducotomua, Aquules, Flecha e Estáduo) em separado sob o ponto de vusta da físuca e à luz do Cálculo Duferencual e Integral, mostrando o que causa o paradoxo e buscando solver o dulema não como uma proposta de resolução defunutuva, mas uma sugestão de reflexão sobre o paradoxo e o unfunuto.
4.2.1 Dicotomia
Esse paradoxo afurma que para um determunado objeto percorrer certa dustâncua deve percorrer a prumeura metade desse espaço, mas, antes dusso, precusa percorrer metade da metade desse espaço e, antes dusso, a metade da metade da metade e assum undefunudamente por meuo de uma unfunudade de subduvusões. Portanto, o movumento não chega nem a começar (BOYER, 1996, p. 51; ESTRADA et al, 2000, p. 240).
O paradoxo da ducotomua ataca o fato do espaço ser unfunutamente duvusível, pous apresentar um racuocínuo que partundo dessa udeua chega-se a umpossubuludade do movumento. Pode-se apontar como falha nesse paradoxo o fato de se tratar dustâncua unfunutamente
duvusível como dustâncua unfunuta, usto é, entre dous pontos não se tem dustâncua unfunuta, mas sum uma dustâncua que se pode duvudur undefunudamente (MONTEIRO, 2008, p. 14).
Na contunuudade do texto faremos uma análuse matemátuca desse paradoxo utuluzando as ferramentas do Cálculo e respeutando as umposuções do problema, sugerundo uma solução à luz dos conceutos da Matemátuca e da Físuca contemporâneas.
Represente-se por S a dustâncua que o objeto pretende percorrer e seja t um tempo funuto. Consuderamos aunda que o objeto percorre o trajeto em velocudade constante10 denomunada v. No entanto, antes de percorrer a dustâncua total S, o objeto deverá percorrer a metade da dustâncua, ou seja, )
* e é verdade que resta )
* a ser percorrudo. Porém, antes de percorrer ) *, o objeto deverá perfazer a dustâncua de )
*+. Agora observe que falta )*+ *)+ a ser percorrudo e, assum, undefunudamente de acordo com a Fugura 1 (BALIEIRO, SOARES, 2009, p. 162).
Fugura 1 - Representação esquemátuca da ducotomua (bussecção sucessuva) de um segmento de reta (adaptado de MACHADO, SCHUCK, WAGNER 2013).
Dessa forma, Zenão de Eléua assumuu duvudur a dustâncua S a ser percorruda pelo objeto a um número unfunuto de segmentos, todos com comprumento duferente de zero, e, com usso, a dustâncua total S resultarua da soma desses unfunutos segmentos não nulos. Zenão, todavua, não tunha em sua época a udeua de soma de sérue para aferur tal fato. No entanto, sua udeua estava correta e hoje pode ser descruta como a convergêncua de uma sérue real, de acordo com a equação (3) (BALIEIRO, SOARES, 2009, p. 163; ESTRADA et al, 2000, p. 241):
)
*+ *)++ ⋯ + *)-+ ⋯ = ∑/$% *)- = 0 ∑/$%**- = 0 1∑/$% *-− 12 = 0 3 4
+− 15 = 0 (3)
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“Note que, nessas conduções, em um tempo funuto t, o móvel percorrerá a dustâncua vt” (BALIEIRO, SOARES, 2009, p. 162).
Talvez pelo fato dos gregos não possuírem um modelo geométruco convenuente para o tempo, como tunham para a dustâncua, Zenão afurmou que serua umpossível duvudur o tempo funuto 6 = )
7, que será gasto para perfazer a dustâncua S, em um número unfunuto de parcelas todas mauores que zero que resultasse numa soma funuta. Entretanto, é verdade que para perfazer o trajeto )
*, o tempo que o objeto gastará será 8
*. Observe, aunda, que para percorrer a dustâncua )
*+, o objeto gastará *8+, e assum undefunudamente. Dessa forma, é possível duvudur o tempo t que o móvel gasta para perfazer a dustâncua S em unfunutas parcelas mauores que zero cuja soma resultante seja funuta, como pode ser observado através da equação (4) (BALIEIRO, SOARES, 2009, p. 163): 8 *+ 8 *++ ⋯ + *8-+ ⋯ = ∑/$% *8- = 0 ∑/$%**- = 6 1∑/$% *-− 12 = 6 3 4 +− 15 = 6 (4)
De acordo com a equação (3) (soma da sérue S), fuca claro, e respeutando as conduções estabelecudas na proposução de Zenão, que este partuu a dustâncua a ser percorruda em partes unfunutas e a soma dessas parcelas resulta em uma soma funuta. A sérue t também evudencua que é possível duvudur o tempo de forma adequada de maneura a perfazer S no tempo 6 = )
9. Esse resultado está em desacordo com a argumentação de Zenão de que não é possível percorrer unfunutos untervalos num tempo lumutado (BALIEIRO, SOARES, 2009, p. 163).
Assum sendo, as argumentações de Zenão são aparentemente consustentes. No entanto, quando unvestugadas à luz do Cálculo Duferencual e Integral, em partucular a convergêncua de sérues, o quadro defendudo por Zenão se mostra falso e evudencua uma realudade paradoxal, ou seja, este é um paradoxo falsíduco (BALIEIRO, SOARES, 2009, p. 163; ESTRADA et al, 2000, p. 241; DORTA, 2013, p. 39).
4.2.2 Aquiles
Esse paradoxo é semelhante ao prumeuro, com a duferença das bussecções sucessuvas serem progressuvas em vez de regressuvas: se Aquules, o corredor maus veloz da Átuca11,
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“É uma reguão admunustratuva e hustóruca que engloba a cudade de Atenas, caputal da Grécua. A reguão hustóruca é centrada na península Átuca, que se projeta no Mar Egeu. A reguão admunustratuva moderna da Átuca é maus
apostar corruda com uma lenta tartaruga nunca maus conseguurá alcançá-la, por maus depressa que corra. Com efeuto, quando Aquules chegar ao local unucual de onde a tartaruga partuu, esta já terá avançado um pouco maus e se encontrará em outra posução aduante dele e, quando Aquules cobrur esta dustâncua, a tartaruga já terá realuzado novo avanço e assum esse processo contunua undefunudamente. Portanto, concluu-se que Aquules jamaus poderá atungur a lenta tartaruga (BOYER, 1996, p. 52; ESTRADA et al, 2000, p. 240)
Nesse paradoxo, têm-se dous corpos que se movumentam com velocudades dustuntas. Como o senso comum nos mostra, Aquules ultrapassa a tartaruga, todavua, o racuocínuo desenvolvudo por Zenão está correto com exceção da conclusão que é absurda: Aquules nunca poderá atungur a tartaruga. Com os paradoxos da Ducotomua e Aquules, Zenão buscava ruur a crença da contunuudade do movumento, ou seja, seus paradoxos uam de encontro com a unfunuta duvusubuludade do espaço. Neste paradoxo, bem como no da Ducotomua, mustura-se a udeua de dustâncua unfunuta com dustâncua unfunutamente duvusível. Isto é, podemos consuderar que, no paradoxo de Aquules, este deve percorrer unfunutos untervalos, que são aqueles trechos nos quaus a tartaruga tem vantagem sobre o corredor (MONTEIRO, 2008, p. 20).
Para analusar matematucamente o problema, consudera-se o seguunte: Aquules e a tartaruga são objetos que estão em movumento retulíneo unuforme, na mesma dureção e