Na 1a edição o conceito de número irracional aparece associado à noção de radical.
No início da parte II, da NOTA podemos ler:
"Com effeito, por não ser sempre possivel a operação √n
b empregando os numeros racionaes, somos levados a considerar o signal a + √n
b como rep- resentando numeros de uma nova especie, que contém os numeros racionaes quando é b = 0, e que quando b é differente de zero tomam o nome de numeros irracionaes."([45], p. 283)
Seguidamente, acrescentou que:
"Os numeros irracionaes appareceram tambem na Geometria Elementar debaixo de um ponto de vista mais geral do que o precedente, como limites de uma série de numeros racionaes." ([45], p. 284)
9A relação entre o trabalho de Francisco Gomes Teixeira e trabalhos de outros autores será explorada
Ainda na mesma edição, Gomes Teixeira apresenta a seguinte definição de número irracional:
"Diz-se que um numero racional, variavel e crescente un cujos valores
sucessivos são u1, u2... tende para um limite racional a quando n augmenta
indefinidamente, se os numeros u1, u2..., etc. se aproximam sucessivamente de
a, de modo que a cada valôr que se dê ao numero arbitrario δ, por mais pequeno que seja, corresponda um valôr n1 de n tal que seja (um valôr absoluto)
un− a < δ
quando n > n1.
Se um numero racional crescer á medida que n augmenta, sem todavia poder jamais exceder um numero racional determinado, e não tender para um limite racional, diz-se, por definição, que tende para um numero irracional (que representaremos por lim un) maior do que qualquer dos numeros racionaes
un ou inferiores a un e menor do que qualquer dos outros." ([45], p. 284)
O número irracional aparece assim definido como um limite de uma sucessão, de uma forma análoga à feita por Cauchy.10
Esta definição de número irracional, apresentada por Francisco Gomes Teixeira, merece, da nossa parte, particular atenção.
No início da definição parece-nos que o autor considerou uma sucessão de números racionais convergente para um número racional a, embora não seja explícito que δ deva ser também racional, visto que os números irracionais não tinham sido ainda definidos. Entendemos igualmente que a referência a numero racional, variavel e crescente corre- sponde ao que hoje entendemos por uma sucessão crescente de números racionais, embora tal consideração não esteja perfeitamente clara no texto.
No parágrafo seguinte assiste-se a uma possível aceitação de que uma sucessão monó- tona crescente e limitada de números racionais é convergente e Francisco Gomes Teixeira explicita que se o limite dessa sucessão não for um número racional então dizemos, por definição, que tende para um numero irracional (que representaremos por lim un).
Devemos ainda salientar que na parte final da definição acima citada, onde encon- tramos, ou inferiores a un e menor do que qualquer dos outros, embora não esteja ex-
plicitado, parece-nos que o autor supõe que a sucessão em causa é, agora, monótona decrescente e limitada.
Verificamos que os números irracionais são considerados, por este autor, como limites, antes mesmo de estarem definidos, isto é, a definição é o limite.
Gomes Teixeira refere ainda, nesta 1aedição, um teorema onde apresenta uma condição
necessária e suficiente para que un possua limite.
"É condição necessaria e sufficiente para que un tenda para um limite
quando n augmenta indefinidamente, que, a cada valôr dado a δ, por mais pequeno que seja, corresponda um valôr n1 de n tal que a desigualdade
(1) un+p− un< δ
seja satisfeita (em valôr absoluto) pelos valores de n superiores a n1, qualquer
que seja p." ([45], pp. 285 - 286)
Este teorema, referenciado por Gomes Teixeira como sendo devido a Cauchy, é acom- panhado de uma demonstração da condição necessária, muito próxima da actual.
A condição suficiente foi igualmente demonstrada, o que evidencia, por parte do autor, a sua necessidade.
Nas edições posteriores, este teorema é suprimido na parte respeitante à teoria dos números irracionais, aparecendo no contexto das sucessões, com a demonstração da condição suficiente, exposta com bastante mais clareza.
O facto de Gomes Teixeira, como acima foi referido, considerar os números irracionais como limites, antes mesmo de estarem definidos, mostra-nos que o seu objectivo não seria, nesta 1a edição, o de apresentar uma construção rigorosa e puramente aritmética, como
pretendiam outros matemáticos tais como Méray, Dedekind, Weierstrass e Cantor.11
A definição de número irracional aparece-nos de uma outra forma nas edições poste- riores.
"Consideremos um grupo composto de uma infinidade de numeros racionaes, positivos e crescentes,
a1, a2, ..., an, ...
e outro grupo composto de uma infinidade de numeros racionaes, positivos e decrescentes,
b1, b2, ..., bn, ...
e supponhamos que os numeros do primeiro grupo são todos menores que os numeros do segundo e que a differença bn− an póde tornar-se tão pequena
quanto se queira, dando a n um valor sufficientemente grande.
Se existe um numero racional, maior do que os numeros do primeiro grupo e menor que os do segundo grupo, este numero é completamente determinado pelos dous grupos. Com effeito, se existissem dous numeros A e B que satis- fizessem a esta condição, estes numeros deveriam estar comprehendidos entre bn e an, e seria, por maior que fosse n,
B− A < bn− an,
o que é absurdo, visto que a differença bn − an póde tornar-se tão pequena
quanto se queira, dando a n um valor sufficientemente grande.
Se porém não existe numero algum racional maior do que os numeros do primeiro grupo e menor do que os numeros do segundo, diz-se, por definição, que os dous grupos estão separados por um numero irracional. Como, n’este caso, qualquer numero racional differente dos precedentes é menor do que um valor de an ou maior do que um valor de bn, vê-se que cada numero irracional
divide a totalidade dos numeros racionaes em dous grupos, taes que os numeros do primeiro grupo são todos menores do que os numeros do segundo grupo." ([48], pp. 3 - 4)
Nota-se, nesta nova definição de número irracional apresentada na 3a edição, uma
possível influência do conceito de corte apresentado por Dedekind, embora Gomes Teixeira construa a sua própria definição.
"(...) a definição precedente comprehende os numeros irracionaes a que se foi conduzido em Arithmetica pela extracção das raizes. Assim, por exemplo, √
2 representa um numero irracional que separa os numeros racionaes cujos quadrados são menores do que 2 d’aquelles cujos quadrados são maiores do que 2." ([47], p. 4)
Uma vez mais constata-se a preocupação de Gomes Teixeira, em relacionar um novo conceito, neste caso o de número irracional, com algo que os seus leitores pudessem recon- hecer. Este aspecto vem de encontro com o facto desta obra representar um manual a ser utilizado pelos seus alunos da cadeira de Calculo Infinitesimal, como havíamos referido.