4. TEORETISK FUNDAMENT
4.3 D ISKRIMINERING
Em Portugal, os matemáticos não ficaram indiferentes aos novos números e ao estudo das suas propriedades; antes manifestaram o seu interesse e estudaram as propriedades destes novos números. Vejamos alguns contributos dados no nosso país.
• Pedro Nunes
Segundo Silva Dias (1982), no século XVI a Faculdade de Medicina desempenhou, em Portugal, o papel de uma Escola Politécnica. É neste contexto que se enquadra, em 1544, a nomeação de Pedro Nunes (que havia feito estudos médicos em Lisboa) para a regência de disciplinas de Matemática e, ainda segundo o mesmo autor, foi deste modo que Pedro Nunes difundiu (muitas vezes através de uma crítica contundente) os autores italianos na universidade/sociedade portuguesa. A propósito das obras de Cardano e Tartaglia, Pedro Nunes afirma no seu Libro de Algebra en Arithmetica y Geometria que “Este autor [Cardano] ao princípio tinha ordem, mas depois escreveu confusamente ” (Nunes, 1950,p.393) e afirma também que
(Nunes, 1950,p.393)
Com estes comentários fica claro que Pedro Nunes mostra conhecer algumas das mais importantes discussões Matemáticas do seu tempo. Na sua carta aos leitores incluída no Libro de Álgebra, Pedro Nunes afirma que neste seu livro existe ordem, que faz as referências necessárias e que demonstra todas as regras que usa, só se referindo a Euclides e a mais nenhum autor. De facto, é reconhecido nas obras de Pedro Nunes, um alto nível de rigor.
Segundo Bosmans (1908), o capítulo 1 do Libro de Álgebra, juntamente com o postface, é suficiente para fazer de Pedro Nunes um mestre. Ainda segundo este autor, Pedro Nunes indicou uma fórmula para a resolução da equação de 3º grau mais prática do que a de Tartaglia, mas infelizmente não conseguiu encontrar uma regra geral para determinar com toda a certeza o cubo a subtrair aos dois membros, já que a regra apresentada por Pedro Nunes exigia o conhecimento prévio de uma raiz da equação.
• Anastácio da Cunha
Anastácio da Cunha (1744-1787) terá sido um dos primeiros matemáticos em Portugal a referir os números complexos na sua obra Principios Mathematicos, publicada pela primeira vez em 1790. Esta obra, não sendo a única de Anastácio da Cunha, foi a mais marcante da sua carreira, acabada de publicar só após a sua morte. Pode ler-se na introdução da edição fac-simile:
O estilo é conciso, mesmo lacónico, e assim se compreende que, no curto espaço de trezentas e duas páginas, o Autor vá dos princípios da geometria euclidiana às questões e aplicação da análise infinitesimal (Anastácio da Cunha, 1987a,p. XX)
A referência aos números complexos surge aquando da resolução das equações de segundo grau:
Se 1 2
4a b
2
− for um número negativo, fará de 1 2 2
4a −b
uma expressão
absurda; mas os matemáticos modernos quando encontram semelhantes expressões, nem por isso deixam de continuar o cálculo: e mostra a experiência que eles fazem bem, com tanto que se observem certas cautelas. Uma consiste em fazer sempre −m. − = −n mn; outras em sujeitar a interpretação destas
expressões metafóricas às condições do problema e da razão.
Estas e outras expressões absurdas indicam que alguma coisa impossível se supôs possível. Por exemplo, se se pedem as raízes de x2−6x+11, a resposta é 3± −2; o que na realidade quer dizer é que 2 1
6 1
x − x+ não tem raízes, o que os Matemáticos também exprimem dizendo que tem as raízes imaginárias
3± −2. (Cunha, 1987a, p.125)
As referências introduzidas por Anastácio da Cunha teriam sido as únicas a ser seguidas, segundo Almeida, L. C. (1891/92) pelos restantes matemáticos da época até meados do século XIX. Mas a verdade é que, já nos anos 80 do séc. XIX, F. Gomes Teixeira tinha introduzido em Portugal, uma nova teoria destes números, embora tal não seja referido por Luís da Costa Almeida no mesmo artigo. Uma vez que a publicação deste artigo é posterior à publicação de Gomes
Teixeira, ficam por esclarecer quais terão sido as razões que levaram Luís da Costa Almeida14 a
não se referir a Gomes Teixeira.
É em O Insti uto que Luís da Costa Almeida apresenta vários artigos sobre a “teoria das quantidades geométricas”, que segundo este, não estaria “a ser aproveitada na parte mais elementar das ciências”. (Almeida, L. C., 1891/92, p. 563). A colectânea dos artigos referentes a este assunto tratado pelo autor, ocupa um total de oitenta páginas, distribuída por vários números. O artigo denomina-se “Primeiras noções sobre o cálculo das quantidades geométricas” e nele Luís da C. Almeida começa por expor as dificuldades que surgem no ensino da Álgebra, nomeadamente no ensino das quantidade negativas (números negativos) e no facto de se usar para as representar o mesmo sinal que representa a subtracção.
t
t Afirma ainda que, em relação aos números complexos, “ o mais que se faz ainda hoje é repetir o conceito, há muito formulado por um autor”15
Os números complexos são designados por quantidades geométricas (à semelhança da terminologia utilizada por Cauchy) ou quantidades complexas, preferindo o autor a primeira denominação.
• O Contributo de F. Gomes Teixeira
Gomes Teixeira aborda pela primeira vez o assunto dos números imaginários numa memória intitulada Sur la théorie des imaginaires, publicada em 1883, no jornal Annales de la Socié é Scientifique de Bruxelles. (Tome VII, p.417-427). Mais tarde, em 1885, publica no Jornal de Sciencias Mathematicas e Astronomicas, volume VI, uma artigo intitulado “Introducção a theoria das funções” no qual inclui a “Theoria analytica dos imaginários”, que é a versão portuguesa da memória anterior. E é com este mesmo título, e com leves alterações de conteúdo, que o assunto é abordado pela primeira vez na 1ª edição do seu Curso de Analyse Infinitesimal – Cálculo Differencial, publicada em 1887.
Na 1ª memória de 1883, Gomes Teixeira começa por atribuir a Cauchy a teoria analítica dos imaginários, referindo as duas memórias por ele publicadas sobre o assunto. E, como em Cauchy, o seu tratamento passa pela teoria das congruências, para clarificar o sentido atribuído a
−1
.Por curiosidade, vamos transcrever do Curso a definição de “adicção côngrua” que Gomes Teixeira nos dá e que denota já a dificuldade em lidar com os números complexos:
14 Luís da Costa Almeida (1841-1919) foi professor na Universidade de Coimbra, publicou artigos sobre equações de
derivadas parciais e suas aplicações na mecânica e outros artigos expositivos, como é o caso do artigo a que acima nos referimos. Foi ainda presidente da Câmara de Coimbra, Director da Faculdade de Matemática e membro do Conselho Superior de Instrução Pública. (Silva, 2005).
Consideremos os polinómios f(i) e f1(i) inteiros relativos a i e definamos as operações que se podem fazer com eles.
Chamaremos adição congrua à operação que tem por fim procurar o resto da divisão por i2+1 da soma dos restos dos polinómios dados. Empregaremos para a indicar o sinal +!. De modo que f(i)+!f1(i) representa o resto da divisão por i2+1 da soma ordinária dos restos de f(i) e f
1(i). Se os polinómios dados são
a+bi e a’+b’i a adição congrua coincide com a soma ordinária. (Gomes Teixeira, 1987, pág 4)
Gomes Teixeira define as outras operações congruas: a subtracção, a multiplicação, a divisão, a potencia e a extracção da raiz congrua de índice n, que lhe permite afirmar que “!
−1
indica o resto cujo quadrado sendo dividido por i2+1 dá o resto -1, de modo que se pode escrever!
−1≡i
e temos assim o significação do imaginário−1
” (Gomes Teixeira, 1887,p.9).Gomes Teixeira incluiu também logo na 1ª edição do seu manual a teoria geométrica dos imaginários, que atribui principalmente a Argand. Utiliza também o método das equipolências de Bellavitis.
É curioso notar a tentativa de Gomes Teixeira em introduzir no conjunto dos números complexos uma relação de ordem. Tal tentativa aparece unicamente na 2ª edição do seu Curso de Analyse Infini esimal – Cálculo Differencial, publicada em 1890, onde se lê: t
Diz-se que a+b
−1
é maior do que c+d−1
, ou que c+d−1
é menor que a+b−1
, quando é , (Gomes Teixeira, 1890, p. 10) 2 2 2 2d
c
b
a
+
>
+
O prestígio de Gomes Teixeira era, aliás, internacional. Numa nota de rodapé do Curso pode ler-se:
Esta memória [refere-se a Sur la théorie des imaginaires] foi publicada nos Annales de la Société Scientifique de Bruxelles. (tome VII-1883), foi transcripta no jornal Mathesis (tomo III) e foi traduzida em italiano pelo Snr. Gastaldi para a revista Rivista di matemática (tomo V).
(Gomes Teixeira, 1887,p. 4)