O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e definir cohomologia de grupos (mais precisamente os “grupos de cohomologia {Hn(G, A)}
n”, onde G ´e um grupo e A
um ZG−m´odulo (Defini¸c˜ao 2.1.1)); calcular os grupos de cohomologia para alguns grupos particulares, mais especificamente para os grupos c´ıclicos (Exemplos 2.2.2 e 2.2.3); deduzir a n˜ao existˆencia de resolu¸c˜oes projetivas de comprimento finito de Z sobre ZG se G ´e c´ıclico finito (Proposi¸c˜ao 2.2.1); interpretar H1(G, A)
em termos de deriva¸c˜oes e deriva¸c˜oes principais (Proposi¸c˜ao 2.3.1), e calcular H1(G, A) para grupos e m´odulos espec´ıficos usando essa interpreta¸c˜ao. Note
que, na defini¸c˜ao de cohomologia de grupos, consideramos A um RG−m´odulo, para R = Z ou Z2, no entanto, nos cap´ıtulos seguintes trabalhamos apenas com
ZG−m´odulos.
2.1
Conceito e Resultados
Vamos apresentar agora o conceito de cohomologia de um grupo G com coe- ficientes em um RG−m´odulo A (R = Z ou Z2). Defini¸c˜ao 2.1.1. Sejam . . . −→ Fn ∂n −→ . . . −→ F1 ∂1 −→ F0 ε −→ R → 0 uma resolu¸c˜ao projetiva de R sobre RG e A um RG−m´odulo (`a esquerda). Considere o complexo de cocadeias
2.1. Conceito e Resultados 32 HomRG(F, A) : 0 → HomRG(F0, A) δ0 −→ HomRG(F1, A) δ1 −→ . . . com o operador cobordo dado por δn(f ) := f ◦∂
n+1, para todo f ∈ HomRG(Fn, A).
O n−´esimo grupo de cohomologia de G com coeficientes em A ´e, para todo n ∈ Z, definido por: Hn(G, A) := Hn(Hom RG(F, A)) = Ker δn Im δn−1. A cole¸c˜ao {Hn(G, A)}
n∈Z ´e denominada cohomologia do grupo G com coefici-
entes em A.
Observa¸c˜ao 2.1.1. (1) Os grupos de cohomologia independem da resolu¸c˜ao pro-
jetiva escolhida. Mais precisamente, dadas ε : F → R e ε′ : F′ → R duas
resolu¸c˜oes projetivas de R sobre RG, sabemos, pela proposi¸c˜ao 1.3.2 (Unicidade
de Resolu¸c˜oes), que existe uma equivalˆencia de homotopia τ : F → F′. Conside-
remos o funtor (contravariante) T = HomRG(−, A) da categoria de RG−m´odulos
na categoria de grupos abelianos e os complexos T (F ) e T (F′), obtidos por apli-
car (termo a termo) T a F e a F′, respectivamente. Como T ´e aditivo (ou seja,
satisfaz T (β + β′) = T (β) + T (β′), com β e β′ homomorfismos) segue que T
preserva homotopia de cadeia, assim T (τ ) ser´a uma equivalˆencia de homotopia
entre T (F ) e T (F′). Da´ı, Hn(T (F )) ≃ Hn(T (F′)) (por [1], 0.2, p.5), ou seja,
Hn(Hom
RG(F, A)) ≃ Hn(HomRG(F′, A)), como desejado.
(2) Hn(G, A) = 0, para todo n < 0.
(3) ´E usual denotar a cohomologia de um grupo G com coeficientes no ZG−
m´odulo trivial Z, H∗(G, Z), simplesmente por H∗(G).
Proposi¸c˜ao 2.1.1. Se A ´e um Z2G−m´odulo ent˜ao os grupos de cohomologia de
G (sobre Z2) com A visto como um Z2G−m´odulo e os grupos de cohomologia de
G (sobre Z) com A visto como um ZG−m´odulo s˜ao isomorfos como grupos. Demonstra¸c˜ao : Segue essencialmente do fato que se ε : F → Z ´e uma resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre ZG ent˜ao ε′ : F′ = F ⊗
Z Z2 → Z ⊗Z Z2 ≃ Z2
2.1. Conceito e Resultados 33
A proposi¸c˜ao seguinte caracteriza os grupos de cohomologia no n´ıvel n = 0. Para esse resultado e demais resultados e exemplos ao longo desse trabalho faz-se necess´ario o conceito de grupo de (co)invariantes de um RG−m´odulo.
Defini¸c˜ao 2.1.2. Sejam G um grupo e A um RG−m´odulo (`a esquerda). O grupo
de invariantes de A, denotado por AG, ´e definido por:
AG = {a ∈ A | g · a = a, ∀ g ∈ G},
e o grupo de coinvariantes de A, denotado por AG, ´e definido por:
AG= A/hg · a − a | g ∈ G e a ∈ Ai.
Observa¸c˜ao 2.1.2. (1) Se a a¸c˜ao de G sobre A ´e a trivial, isto ´e, g · a = a, para
todo a ∈ A e todo g ∈ G, ent˜ao AG= A = A G.
(2) Temos que toda G−a¸c˜ao sobre A induz a G−a¸c˜ao trivial sobre AG e A G
e assim, tanto AG quanto A
G s˜ao RG−m´odulos triviais. E ainda, AG ´e o maior
subm´odulo de A no qual G atua trivialmente e AG ´e o maior quociente de A no
qual G atua trivialmente.
(3) Se A ´e um RG−m´odulo, considerando R como RG−m´odulo trivial, pode-
mos definir sobre HomR(R, A) uma G−a¸c˜ao (denominada a¸c˜ao diagonal) de
modo a torn´a-lo um RG−m´odulo da seguinte forma:
G × HomR(R, A) → HomR(R, A)
(g, f ) 7→ g · f ; (g · f )(m) = g · f (m), ∀ m ∈ R.
Al´em disso, temos que (HomR(R, A))G = HomRG(R, A), pois:
g · f = f ⇐⇒ (g · f )(m) = f (m), ∀ m ∈ M ⇐⇒ g · f (m) = f (m), ∀ m ∈ M Re RG−m´´ ⇐⇒odulo trivial g · f (m) = f (g · m), ∀ m ∈ R.
Exemplo 2.1.1. Se A ´e um RG−m´odulo e G = hti ≃ Zn, para algum n > 1,
ent˜ao AG = {a ∈ A | tk· a = a, ∀ k = 1, . . . , n} = {a ∈ A | t · a = a}, ou seja,
para determinarmos AG quando o grupoG ´e o c´ıclico finito basta sabermos quem
s˜ao os elementos de A fixados pelo gerador de G.
2.2. C´alculo da Cohomologia de Grupos Particulares 34 Demonstra¸c˜ao : Seja . . . −→ Fn ∂n −→ . . . −→ F2 ∂2 −→ F1 ∂1 −→ F0 ε −→ R → 0 uma resolu¸c˜ao projetiva de R sobre RG.
Como o funtor HomRG(−, A) ´e exato `a esquerda ([7], I.8.7), segue que a
seq¨uˆencia 0 //HomRG(R, A) ε ∗ //HomRG(F0, A) δ 0 //HomRG(F1, A) δ 1 //. . . 0 δ−1 OO
´e exata `a esquerda e da´ı, ε∗ ´e um monomorfismo e Im ε∗ = Ker δ0. Assim,
H0(G, A) := Ker δ 0
Im δ−1 ≃ Ker δ
0 = Im ε∗ T eo. Iso.≃ HomRG(R, A)
Ker ε∗
ε∗: monom.
≃ HomRG(R, A)
obs.2.1.2(3)
= (HomR(R, A))G ≃ AG (pois HomR(R, A) ρ
≃ A, com ρ(f ) := f (1), ∀ f ∈ HomR(R, A)).
Portanto, H0(G, A) ≃ AG.
Corol´ario 2.1.1. Se A ´e um RG−m´odulo trivial ent˜ao H0(G, A) ≃ A.
Demonstra¸c˜ao : Segue da proposi¸c˜ao anterior e da observa¸c˜ao 2.1.2(1).
2.2
C´alculo da Cohomologia de Grupos Particu-
lares
Exemplo 2.2.1. Sejam G = {1} e A um RG−m´odulo. Temos que RG ≃ R e
j´a vimos, no exemplo 1.3.2, que 0 → R idR
−→ R → 0 ´e uma resolu¸c˜ao projetiva de R sobre RG.
Aplicando o funtorHomR(−, A), obtemos o complexo 0 → HomR(R, A) → 0.
Mas, HomR(R, A) ≃ A e da´ı, este complexo se reduz a 0 → A → 0. Logo,
Hi({1}, A) ≃ A{1}= A, se i = 0, 0, se i > 0.
2.2. C´alculo da Cohomologia de Grupos Particulares 35
Exemplo 2.2.2. Sejam G = hti ≃ Z o grupo c´ıclico infinito e A um RG−m´odulo.
Vimos, no exemplo 1.3.4, que a seq¨uˆencia
0 → RG−→ RG∂ −→ R → 0,ε
com ε a aplica¸c˜ao aumenta¸c˜ao e ∂ a multiplica¸c˜ao por t − 1, ´e uma resolu¸c˜ao
projetiva de R sobre RG.
Aplicando o funtor HomRG(−, A), temos:
0δ−→ Hom−1=0 RG(RG, A) δ0
−→ HomRG(RG, A) δ1=0
−→ 0
com δ0 a multiplica¸c˜ao por t − 1, pois δ0(f )(x) = (f ◦ ∂)(x) = f ((t − 1)x) =
(t − 1)f (x), ∀ f ∈ HomRG(RG, A) e ∀ x ∈ RG.
Como HomRG(RG, A) ≃ A, a seq¨uˆencia anterior ´e equivalente a:
0δ−→ A−1=0 δ0−→ A=t−1 δ−→ 0.1=0 Assim, H1(G, A) = Ker δ1 Im δ0 = A (t − 1)A = AG e H i(G, A) = 0, para i ≥ 2. Logo, Hi(G, A) ≃ AG, se i = 0, AG, se i = 1, 0, se i ≥ 2.
Calculemos os grupos de cohomologia de G ≃ Z para alguns m´odulos particu- lares.
(a) Se A ´e um RG−m´odulo trivial ent˜ao
H0(G, A) = A = H1(G, A) e Hi(G, A) = 0, ∀ i ≥ 2.
(b) Seja A = ZG visto como ZG−m´odulo com a G−a¸c˜ao natural: tk·(rtk′
) := rtk+k′
, ∀ tk, tk′
∈ G e r ∈ Z.
Ent˜ao, H0(G, ZG) = (ZG)G ≃ 0 (pois tk· tk′
6= tk′
se tk 6= 1).
Determinemos (ZG)G. Denotemos por I = htk· z − z | tk ∈ G e z ∈ ZGi e
x = x + I ∈ ZG/I = (ZG)G.
Consideremosy = tk ∈ ZG com k > 0. Como tk−1 = (t−1)(tk−1+. . .+t+1) ∈
I segue que tk− 1 = 0 e assim, y = tk = 1 em (ZG) G.
Agora, se y = t−k ∈ ZG com k > 0, tamb´em temos t−k = 1 (pois t−k =
2.2. C´alculo da Cohomologia de Grupos Particulares 36
Assim, para todox ∈ ZG, x = r0tk+ r1tk+1+ . . . + rntk+n comk ∈ Z, n ≥ 0 e
ri ∈ Z, temos x = (r0+ r1+ . . . + rn) = r1 onde r = r0+ r1+ . . . + rn∈ Z. Da´ı,
H1(G, ZG) ≃ (ZG) G ≃ Z. Portanto, Hi(G, ZG) ≃ 0, se i = 0, Z, se i = 1, 0, se i ≥ 2.
Exemplo 2.2.3. Sejam G ≃ Zn e A um RG−m´odulo. Vimos, no exemplo 1.3.3,
que a seq¨uˆencia
. . . → RG−→ RGN −→ RGt−1 −→ . . .N −→ RGt−1 −→ R → 0,ε
tal que ε ´e a aplica¸c˜ao aumenta¸c˜ao, e t − 1 e N denotam, respectivamente, a
multiplica¸c˜ao por t − 1 e 1 + t + . . . + tn−1, ´e uma resolu¸c˜ao projetiva de R sobre
RG. Aplicando o funtor HomRG(−, A), obtemos:
0δ−→ Hom−1=0 RG(RG, A) δ0 −→ HomRG(RG, A) δ1 −→ HomRG(RG, A) δ2 −→ . . . sendo que δn(f )(x) := (f ◦ ∂
n+1)(x) com ∂n+1 = t − 1 se n ´e par e ∂n+1 = N se
n ´e ´ımpar.
Como HomRG(RG, A) ≃ A segue que a seq¨uˆencia acima ´e equivalente a:
0δ−→ A−1=0 −→ Aδ0 −→ Aδ1 −→ . . .δ2 onde δ2k = t − 1 e δ2k+1= N, k ≥ 0. Portanto, Hi(G, A) ≃ AG, se i = 0, Ker N Im (t − 1) = Ker N (t − 1)A, se i ´e ´ımpar, Ker (t − 1) Im N = AG N · A, se i ´e par. Em particular, temos:
(a) Se G = hti ≃ Zn (n > 1) e A ´e um RG−m´odulo trivial ent˜ao (t − 1) · a =
t · a − a = 0 e (1 + t + . . . + tn−1) · a = a + t · a + . . . + tn−1· a = n · a, ∀ a ∈ A,
2.2. C´alculo da Cohomologia de Grupos Particulares 37 Hi(Z n, A) ≃ Hi(G, A) ≃ A, se i = 0, A n · A, se i ´e par, Ker N, se i ´e ´ımpar.
ConsiderandoA = Z, com a G−a¸c˜ao trivial, obtemos: Hi(Z n, Z) ≃ Hi(G, Z) ≃ Z, se i = 0, Z nZ ≃ Zn, se i ´e par, 0, se i ´e ´ımpar.
(b) Se G = {1, t} ≃ Z2 e A = Z ´e visto como Z(Z2)−m´odulo com a G−a¸c˜ao:
1 · r := r e t · r := −r, ∀ r ∈ Z, temos que (t − 1) · r = t · r − r = −r − r = −2r e (1 + t) · r = r − r = 0, ∀ r ∈ Z. Da´ı, Ker N = Z, Im (t − 1) = (t − 1) · Z = 2Z, Ker (t − 1) = 0 e Im N = (1 + t) · Z = 0. Logo, Hi(Z 2, Z) ≃ ZZ2 = {0}, se i = 0, Z 2Z ≃ Z2, se i ´e ´ımpar, 0, se i ´e par.
Finalizando esta se¸c˜ao, apresentamos a seguinte aplica¸c˜ao `a teoria de grupos c´ıclicos finitos:
Proposi¸c˜ao 2.2.1. Se G ≃ Zn ´e um grupo c´ıclico finito (n˜ao trivial) ent˜ao n˜ao
existe resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre ZG de comprimento finito. Demonstra¸c˜ao : Suponhamos que exista
0 → Fk → Fk−1 → . . . → F1 → F0 → Z → 0
resolu¸c˜ao projetiva de Z sobre ZG de comprimento finito. Ent˜ao, usando esta resolu¸c˜ao, temos que Hi(G, Z) = 0, para i > k. Mas, vimos no exemplo 2.2.3(a),
que Hi(G, Z) ≃ Z
n se i ´e par, para todo i ≥ 2, o que nos d´a uma contradi¸c˜ao,
uma vez que a cohomologia do grupo G ≃ Zn independe da resolu¸c˜ao escolhida.
2.3. Uma Interpreta¸c˜ao para H1(G, A) em Termos de Deriva¸c˜oes de Grupos 38
2.3
Uma Interpreta¸c˜ao para H
1(G, A)
em Ter-
mos de Deriva¸c˜oes de Grupos
Defini¸c˜ao 2.3.1. Sejam G um grupo e A um RG-m´odulo (R = Z ou Z2). O
grupo das deriva¸c˜oes de G em A ´e definido por
Der(G, A) = {d : G → A | d(gg′) = d(g) + g · d(g′), ∀ g, g′ ∈ G}
e o subgrupo das deriva¸c˜oes principais, por
P (G, A) = {da∈ Der(G, A), a ∈ A ; da(g) = g · a − a, ∀ g ∈ G}.
Observa¸c˜ao 2.3.1. (1) Se d ∈ Der(G, A) ent˜ao d(1) = d(1·1) = d(1)+1· d(1) = d(1) + d(1), o que implica em d(1) = 0.
(2) Se A ´e um RG-m´odulo trivial (R = Z ou Z2) ent˜ao Der(G, A) = Hom(G,
A) e P (G, A) = 0.
Faremos a seguir algumas considera¸c˜oes sobre a Resolu¸c˜ao Bar e daremos uma interpreta¸c˜ao de H1(G, A) em termos dos grupos de deriva¸c˜oes e deriva¸c˜oes
principais.
Dado um grupo G, considere a resolu¸c˜ao de R sobre RG (R = Z ou Z2)
. . . −→ Fn ∂n −→ Fn−1. . . −→ F1 ∂1 −→ F0 ε −→ R −→ 0
como sendo a Resolu¸c˜ao Bar (dada no exemplo 1.3.6). Assim, cada Fn ´e o R-
m´odulo livre gerado pelos s´ımbolos [g1| . . . |gn] e ∂n([g1| . . . |gn]) = g1[g2| . . . |gn]+ n−1
X
i=1
(−1)i[g
1| . . . |gigi+1| . . . |gn] + . . . + (−1)n[g1| . . . |gn−1].
Denotemos por C∗(G, A) o complexo Hom
RG(F, A) e Cn(G, A) = HomRG(Fn,
A). Logo, um elemento f ∈ Cn(G, A) ´e um homomorfismo
f : Fn → A
[g1| . . . |gn] 7→ f ([g1| . . . |gn])
Identificando [g1| . . . |gn] com (g1, . . . , gn), podemos ver f : Gn= G×. . .×G →
A como uma fun¸c˜ao de n vari´aveis. Por conven¸c˜ao, G0 ´e um conjunto com um
elemento (por exemplo [ ], o s´ımbolo usado quando introduzimos a resolu¸c˜ao bar) de modo que C0(G, A) ≃ A.
2.3. Uma Interpreta¸c˜ao para H1(G, A) em Termos de Deriva¸c˜oes de Grupos 39
Assim, o operador cobordo δn−1 : Cn−1(G, A) → Cn(G, A) ´e dado por:
(δn−1(f ))(g 1, . . . , gn) := f (∂n(g1, . . . , gn)) = g1f (g2, . . . , gn) + n−1 X i=1 (−1)if (g1, . . . , gigi+1, . . . , gn) + (−1)nf (g1, . . . , gn−1).
Por exemplo, para n = 1, temos δ0(f )(g
1) = f (∂1(g1)) = g1f ([ ]) − f ([ ])
e para n = 2,
δ1(f )(g
1, g2) = g1f (g2) − f (g1g2) + f (g1).
Proposi¸c˜ao 2.3.1. Se G ´e um grupo e A um RG-m´odulo ent˜ao H1(G, A) ≃ Der (G, A)
P (G, A) . Demonstra¸c˜ao : Considere o complexo:
C∗(G, A) : 0 −→ C0(G, A)−→ Cδ0 1(G, A)−→ Cδ1 2(G, A) −→ . . .
definido anteriormente. Por defini¸c˜ao, H1(G, A) ≃ Ker δ1
Im δ0 .
Temos:
(i) Ker δ1 = Der(G, A):
Seja f ∈ C1(G, A). Ent˜ao, f : G → A e δ1(f ) : G2 → A ´e tal que
(δ1(f ))(g, h) = gf (h) − f (gh) + f (g).
Assim,
f ∈ Ker δ1 ⇐⇒ δ1(f ) = 0 ⇐⇒ (δ1(f ))(g, h) = 0, ∀ g, h ∈ G ⇐⇒ f (gh) =
f (g) + gf (h), ∀ g, h ∈ G ⇐⇒ f ∈ Der(G, A). Logo, Ker δ1 = Der(G, A).
(ii) Im δ0 = P (G, A):
Se d ∈ Im δ0 ent˜ao existe f : G0 → A com δ0(f ) = d. Assim, para todo g ∈ G,
d(g) = (δ0(f ))(g) = gf ([ ]) − f ([ ]).
Como f ([ ]) ∈ A segue que f ([ ]) = a ∈ A. Da´ı, d(g) = ga − a, ou seja, d ∈ P (G, A).
Reciprocamente, se d ∈ P (G, A) ent˜ao d(g) = g · a − a, para algum a ∈ A e todo g ∈ G. Seja f : G0 → A tal que f ([ ]) := a. Logo, d(g) = (δ0(f ))(g), ∀ g ∈ G
2.3. Uma Interpreta¸c˜ao para H1(G, A) em Termos de Deriva¸c˜oes de Grupos 40
De (i) e (ii), conclu´ımos que H1(G, A) ≃ Der (G, A)
P (G, A) .
Corol´ario 2.3.1. Se G ´e um grupo e A um RG-m´odulo trivial (R = Z ou Z2)
ent˜ao H1(G, A) ≃ Hom(G, A).
Demonstra¸c˜ao : Segue da proposi¸c˜ao anterior que H1(G, A) ≃ Der (G, A)
P (G, A) . Como A ´e um RG-m´odulo trivial, pela observa¸c˜ao 2.3.1(2), temos que Der(G, A) = Hom(G, A) e P (G, A) = 0. Portanto, H1(G, A) ≃ Hom(G, A).
Exemplo 2.3.1. Sejam G um grupo e A um ZG-m´odulo trivial. Consideremos
alguns casos particulares:
(i) G = hti ≃ Z e A = Zn(n > 1) :
ComoG ´e c´ıclico gerado por t, os homomorfismos de G em Zn s˜ao dados por:
f0(tk) = 0, f1(tk) = k, f2(tk) = 2k, . . . , fn−1(tk) = (n − 1)k, ∀ tk∈ G.
Da´ı, Hom(Z, Zn) ≃ Zn. Logo,
H1(Z, Z
n) ≃ Der(Z, Zn) = Hom(Z, Zn) ≃ Zn.
(ii) G = Zn e A = Z :
O ´unico homomorfismo de Zn em Z ´e o homomorfismo nulo e da´ı
H1(Z
n, Z) ≃ Der(Zn, Z) = Hom(Zn, Z) ≃ 0.
(iii) G = hti ≃ Zn e A = Z2 :
Temos que os homomorfismos de G em Z2 s˜ao dados por:
f0(tk) = 0, f1(tk) = k, ∀ tk ∈ G.
Assim,
H1(Z
n, Z2) ≃ Der(Zn, Z2) = Hom(Zn, Z2) ≃ Z2.
Exemplo 2.3.2. Seja G = hti ≃ Z. Considere A = RG (R = Z ou R = Z2)
visto como um RG−m´odulo com a G−a¸c˜ao natural: tk · (rtk′
) := rtk+k′
, para quaisquer tk, tk′
∈ G e r ∈ R.
Vamos mostrar, usando deriva¸c˜oes, que H1(G, ZG) ≃ Z (compare com o
exemplo 2.2.2(b)) e H1(G, Z
2G) ≃ Z2.
2.3. Uma Interpreta¸c˜ao para H1(G, A) em Termos de Deriva¸c˜oes de Grupos 41
Se d ´e um elemento de Der(G, ZG), temos para k > 0 que: (1) d(tk) =
k−1
X
j=0
tjd(t).
De fato, usando o princ´ıpio de indu¸c˜ao finita (sobre k ∈ Z), temos que:
Para k = 1, d(t) = t0d(t). Suponhamos que d(tn) = n−1 X j=0 tjd(t). Da´ı, d(tn+1) = d(t tn) = td(tn)+d(t) = t n−1 X j=0 tjd(t) ! +d(t) = n−1 X j=0 tj+1d(t)+d(t) = n X j=1 tjd(t) + t0d(t) = n X j=0 tjd(t). (2) d(t−k) = k X j=1 (−t−j)d(t).
Com efeito, novamente, usando o princ´ıpio de indu¸c˜ao finita (sobre k ∈ Z),
temos que:
Para k = 1, d(t−1) = (−t−1)d(t) pois 0 = d(t−1t) = t−1d(t) + d(t−1). Agora,
suponhamos que d(t−n) = n X j=1 (−t−j)d(t). Ent˜ao, d(t−n−1) = d(t−nt−1) = t−nd(t−1) + d(t−n) = t−n((−t−1)d(t)) + d(t−n) = (−t−n−1)d(t) + d(t−n) = (−t−n−1)d(t) + n X j=1 (−t−j)d(t) = n+1 X j=1 (−t−j)d(t).
Com isso, d fica bem determinada e depende somente de d(t). Logo, todo
elemento x ∈ ZG d´a origem a uma deriva¸c˜ao d em Der(G, ZG), pois basta
tomarmos d(t) = x e estender de modo geral usando (1) e (2). Assim, Der(G, ZG) ≃ ZG.
Em particular, para cada r ∈ Z, dr(t) := r1 d´a origem a uma deriva¸c˜ao e
temos {dr| r ∈ Z} = hd1i ≃ Z e hd1i ⊂ Der(G, ZG). Observe ainda que dr n˜ao
´
e principal.
Mostremos ent˜ao que : “ ∀ d ∈ Der(G, ZG), ∃ da ∈ P (G, ZG) e r ∈ Z tal
que d − da = dr”, pois isto implica que d + P (G, ZG) = dr + P (G, ZG) e da´ı,
conclu´ımos que
Der(G, ZG) P (G, ZG) ≃ {d
r+ P (G, ZG) | r ∈ Z} ≃ Z.
2.3. Uma Interpreta¸c˜ao para H1(G, A) em Termos de Deriva¸c˜oes de Grupos 42
Afirma¸c˜ao : Se d(t) = tk − 1 ou d(t) = t−k − 1, com k > 0, ent˜ao d ∈
P (G, ZG). De fato: (⋆) d(t) = tk− 1 = (t − 1)(tk−1+ . . . + t + 1) = (t − 1)ea = d e a(t) ∈ P (G, ZG), (⋆⋆) para d(t) = t−k− 1, temos: t−k− tk = (t − 1)(−t−k− t−k+1− . . . − t0− t − . . . − tk−1) = (t − 1)ba = d ba(t) ∈ P (G, ZG).
Por outro lado,
t−k− tk = (t−k− 1) − (tk− 1)(⋆)= (t−k− 1) − d
ea(t) = d(t) − dea(t).
Assim,
dba(t) = d(t) − dea(t) =⇒ d(t) = dba(t) + dea(t) ∈ P (G, ZG).
Agora, para todo d ∈ Der(G, ZG) temos (no gerador t) que,
d(t) = x = r0tk+ r1tk+1+ . . . + rntk+n = r0(tk− 1) + r1(tk+1− 1) + . . . + rn(tk+n−
1) + r01 + r11 + . . . + rn1
| {z }
r1
= da(t) + dr(t), isto ´e, existe a ∈ A = ZG tal que
d − da= dr.
Portanto,
H1(G, ZG) ≃ Der(G, ZG)
P (G, ZG) ≃ Z. (ii) Suponhamos agora A = Z2G :
Seja d ∈ Der(G, Z2G). De maneira an´aloga ao item (i), mostra-se que:
• d depende somente de d(t),
• todo y ∈ Z2G d´a origem a uma deriva¸c˜ao d em Der(G, Z2G). Da´ı, Der(G,
Z2G) ≃ Z2G,
• se d(t) = tk− 1 ou d(t) = t−k− 1, com k > 0, ent˜ao d ∈ P (G, Z 2G).
Considere um elemento qualquer d ∈ Der(G, Z2G). Temos :
d(t) = tk1 + tk2 + . . . + tkn ∈ Z
2G.
Se n ´e par, ent˜ao
d(t) = (tk1 − 1) + (tk2 − 1) + . . . + (tkn− 1) ∈ P (G, Z
2G) =⇒ d + P (G, Z2G) =
0 + P (G, Z2G).
2.3. Uma Interpreta¸c˜ao para H1(G, A) em Termos de Deriva¸c˜oes de Grupos 43 d(t) = (tk1−1)+(tk2−1)+. . .+(tkn−1)+1 =⇒ d+P (G, Z 2G) = 1+P (G, Z2G). Assim, H1(G, Z 2G) ≃ Der(G, Z2G) P (G, Z2G) ≃ {0 + P (G, Z2G), 1 + P (G, Z2G)} ≃ Z2.
Exemplo 2.3.3. Sejam G = {1, t} ≃ Z2 e A = Z visto como ZG-m´odulo com a
G−a¸c˜ao dada por 1 · r := r e t · r := −r, ∀ r ∈ Z.
Se d ∈ Der(G, Z) ent˜ao d depende somente de d(t), pois d(tk) = d(1) = 0,
para k par (pois t2 = 1), e d(tk) = d(t) para k ´ımpar.
Cada r ∈ Z, d´a origem a uma deriva¸c˜ao dr: G → Z dada por : dr(tk) = 0, se
k ´e par, e dr(tk) = r, se k ´e ´ımpar, para todo tk ∈ G.
Por indu¸c˜ao, temos que dr = rd1 e da´ıDer(G, Z) = hd1i ≃ Z.
Assim, se r = 2a ent˜ao dr = d
−a(t) ∈ P (G, Z), pois
dr(t) = r = 2a e d
−a(t) = t · (−a) − (−a) = a + a = 2a.
Por outro lado, se r = −2a segue que dr = d
a∈ P (G, Z), pois dr(t) = r = −2a e d a(t) = t · a − a = −a − a = −2a. Logo, P (G, Z) = hd0i ≃ 2Z. Portanto, H1(G, Z) ≃ Der(G, Z) P (G, Z) ≃ Z 2Z ≃ Z2,