ESTUDO DA ESTABILIDADE DAS MESMAS. (GUCKENHEIMER &
HOLMES, 1983; SEYDEL, 1988; BOYCE & DIPRIMA, 1992; STROGATZ, 1994, SCOTT, 1994).
O estudo completo da topologia do espaço das fases de um sistema dinâmico é em geral muito complexo. Para sistemas baseados em equações diferenciais lineares ordinárias, a teoria é relativamente completa, mas para sistemas não-lineares, vastas regiões são ainda teoricamente inacessíveis, mesmo com o uso de métodos de perturbação e de valores médios.
Os métodos analíticos permaneceram as principais ferramentas dos estudos dos sistemas dinâmicos até que os trabalhos de Poincaré ao final do século XIX mostraram que os métodos de perturbações podem não dar resultados corretos em todos os casos, porque as séries usadas em tais cálculos divergem. Isto fez com que o próprio Poincaré propusesse, unindo os métodos analíticos a uma visão geométrica, uma aproximação qualitativa ao estudo dos sistemas dinâmicos. Foi assim que surgiram os métodos modernos de análise qualitativa de equações diferenciais que tem origem nesses trabalhos de Poincaré. Isto fez com que nos meados dos anos setenta do século XX as principais ferramentas para este tipo de análise tivessem sido desenvolvidas dentro do âmbito da matemática, sem que existissem trabalhos de aplicação importante. A partir dos meados dos anos setenta até os dias de hoje é que se desenvolvem as aplicações dessas concepções matemáticas e passam a ser explorados assim não só casos altamente complexos de, por exemplo, sistemas unidimensionais (por exemplo, o mapeamento cúbico), mas também casos em várias dimensões, casos não-lineares, etc. No caminho dessas pesquisas se conjugam os esforços analíticos com os geométricos, estes últimos chegando a visões topológicas. É neste contexto que se deve colocar o último problema que queremos enfrentar, e, portanto, as metodologias correspondentes: tratar de complementar a visão de pontos fixos e bifurcações de Hopf obtidas com as duas primeiras metodologias, com uma busca da existência de outros tipos de bifurcações nos sistemas analisados. Este problema é fundamental para os sistemas não lineares, mesmo de poucas variáveis (três ou menos), pois pode dizer-se que os sistemas lineares (em particular de duas variáveis) se encontram razoavelmente descritos. Por isso, se terá em mente no que segue sistemas não lineares de poucas variáveis, pois os sistemas mais complexos estudados na presente tese têm no máximo duas variáveis.
Os ciclos limites encontrados nestes sistemas, não surgidos de bifurcações de Hopf, e suas estabilidades, podem ser determinados através do mapeamento de Poincaré e dos multiplicadores de Floquet – estes métodos também podem ser utilizados para detectar e determinar a estabilidade de ciclos limites surgidos de bifurcações de Hopf.
O mapeamento de Poincaré é uma maneira de converter problemas a respeito de conjuntos de equações diferenciais de primeira ordem que têm como soluções órbitas fechadas (que são difíceis de ser encontradas quando não provêm de bifurcações de Hopf), em problemas sobre pontos fixos do mapeamento correspondente. O mapeamento de Poincaré surge assim da transformação do problema do campo vetorial, definido pelo sistema de equações diferenciais anteriores e seus fluxos, em um processo de iteração (mapeamento) em um plano chamado plano de Poincaré, onde os pontos são obtidos já analiticamente a partir da solução do sistema de equações
x’ = f(x) (4.3.1)
que denominaremos φt(x), como veremos mais adiante, ou por simulação
numérica das trajetórias do sistema. Note-se que os símbolos em negrito significam vetores nos respectivos espaços.
O mapeamento de Poincaré pode ser então definido a partir de considerar uma superfície S de dimensão n-1, onde n é a dimensão do sistema de equações diferenciais. A superfície S precisa ser transversa ao fluxo, φt(x) , ou seja, todas
trajetórias iniciando em S devem fluir através dela, não podendo ser paralelas a mesma. O mapeamento de Poincaré é um mapeamento de S em si mesma, obtido ao seguir as trajetórias a partir de uma interseção com S até a próxima, e assim sucessivamente. Se xk ∈ S e denota a k-ésima interseção, então, o
mapeamento de Poincaré é definido por
xk+1 = P(xk), k= 0,1,2,3 ... (4.3.2)
onde
P(xk) = φτ(xk) (4.3.3)
com φτ(xk) sendo ao mesmo tempo a solução do sistema e o fluxo global do
mesmo para um tempo τ que é o que tarda uma órbita começando no plano de Poincaré e terminando com a primeira intersecção no mesmo. Note-se que para aplicar a fórmula acima usando φτ(xk) é necessário conhecer esta função
analiticamente, isto é, ter resolvido nosso sistema de equações diferenciais. Por isso esta resolução muitas vezes é substituída por simulações numéricas.
Supondo-se que x* é um ponto fixo de P, por exemplo, correspondente a uma órbita fechada, teremos que
P(x*) = x*, (4.3.4)
A expressão analítica de φτ(xk) sendo a solução do sistema de equações
diferenciais em um dado domínio das variáveis e do tempo, é difícil, em geral, de ser obtida. Por isto, para obter o mapeamento de Poincaré, em geral, se procede à simulação de uma trajetória a partir de um ponto convenientemente eleito sobre o plano de Poincaré. No caso da existência de uma trajetória espiralada, que indica a possível presença de uma órbita fechada, a trajetória espiralada gerará os sucessivos xk do mapeamento de Poincaré.
Através de uma representação de xi,k+1 versus xi,k podemos determinar
para cada xi de xk, no plano de Poincaré, seu valor correspondente a xi* (por
extrapolação dos diferentes pontos (xi,k+1, xi,k) à reta xi,k+1 = xi,k). Com isto, se
obtêm as coordenadas completas de x* para esse plano de Poincaré. Repetindo- se este procedimento para outros planos e para outros pontos de partida nesses planos, sempre assegurando que o fluxo seja transversal à superfície S, pode conseguir-se obter uma série de pontos que se encontram dentro do conjunto que forma a órbita fechada detectada e assim visualizar esta órbita ou órbitas no espaço das fases. O mapeamento de Poincaré, além de permitir localizar e visualizar órbitas fechadas no espaço das fases, informa sobre a estabilidade das órbitas fechadas. Isto ocorre porque a estabilidade do ponto fixo x* do mapeamento de Poincaré corresponde àquela da órbita fechada no espaço das fases. Assim, verificando nas simulações numéricas se o mapeamento de Poincaré aproxima-se ou afasta-se do ponto fixo x*, pode ser determinada a estabilidade da órbita fechada a que pertence x*.
Por outro lado, estudando a evolução de uma perturbação pequena a partir de um dos pontos x* encontrados (para poder aplicar uma aproximação linear), podemos também determinar a estabilidade de uma órbita fechada. Isto porque nesse caso podemos proceder a uma linearização do mapeamento nesse entorno. Isto é permitido pelo fato de que nesse caso
ε‘= Df(x*(T))ε (4.3.5)
onde ε‘ é a derivada de ε com respeito a x e ε é igual a (x - x*) e T é o período da órbita fechada. Com isto temos linearizado nosso sistema.
A matriz Df(x*(T)) está formada pelos multiplicadores de Floquet e está relacionada com as derivadas das funções f que definem o campo vetorial na equação diferencial, derivadas com relação a cada uma das componentes de x. Dos multiplicadores de Floquet, um (o m1, por exemplo) será sempre igual a 1,
pois é na direção da própria órbita fechada e os outros definem as características das órbitas fechadas. Por exemplo, estável se todos os outros mi são menores
que 1, instável se todos os outros mi são maiores que um, etc. Note-se que no
cálculo dos elementos da matriz Df(x*(T)) deveremos ter conhecimento dos valores de x*(T), portanto volta-se necessária a primeira etapa de cálculo realizada em geral por simulação numérica.
Pode-se assim estudando distintos intervalos do espaço das fases, e para distintos intervalos do espaço dos parâmetros, tendo-se em conta as topologias já detectadas com a primeira e segunda metodologia, buscar detectar outros tipos de bifurcações que não os de Hopf e estudar a estabilidade das órbitas fechadas que nesses estudos apareçam. Tudo isto com cuidado, tendo em conta as grandes limitações que estes sistemas ainda podem apresentar para seu estudo. Nesse sentido não se pode descartar, como métodos paralelos, o uso dos métodos de perturbação de estruturas e de valor médio, métodos classicamente usados para a resolução de equações diferenciais. Isto pode fazer-se, utilizando-os em paralelo com a aproximação dos mapas de Poincaré.
Em geral, nos métodos de perturbação se começa estudando o sistema complexo, mas reduzindo-o a um sistema mais simples, integrável, cujas soluções, portanto, podem ser completamente conhecidas. Este sistema mais simples (por exemplo, um sistema Hamiltoniano), não perturbado, é então perturbado estruturalmente (ao nível das f) para aproximá-lo e até transformá-lo no sistema real, buscando as condições para as quais as soluções do sistema não perturbado permaneçam próximas das do sistema perturbado. Isto pode ocorrer para pequenas perturbações, mas deve ter-se muito cuidado, pois muitos dos sistemas simples são estruturalmente instáveis. Foi justamente isso o que Poincaré assinalou ao fim do século passado. Em geral, os sistemas estruturalmente instáveis estão relacionados com comportamentos limites assintóticos e, mesmo nesses casos, se pode encontrar que os sistemas perturbados e não perturbados permanecem próximos para tempos finitos. Os estudos modernos têm demonstrado que resultados para tempos finitos junto com idéias surgidas da teoria de sistemas dinâmicos permitem deduções a cerca de comportamentos assintóticos de soluções e sobre a estrutura de sistemas estacionários. Quanto ao método do valor médio, este se aplica ao estudo de sistemas fracamente não lineares (cujo campo de direção é dado por uma função periódica) e consiste na determinação de um sistema médio autônomo cujo comportamento, em um intervalo de tempo semi-infinito, permite saber informações globais a respeito do sistema fracamente não linear a partir do qual ele foi obtido.
Outro método clássico que pode ser utilizado é o método de Lyapunov. Este método é interessante porque não necessita do conhecimento da solução do sistema de equações diferenciais, mas permite obter conclusões sobre a estabilidade e instabilidade de pontos críticos através de convenientes funções auxiliares chamadas de funções de Lyapunov, que não são sempre de fácil obtenção. A importância desta técnica reside também em permitir a investigação de regiões de estabilidade assintótica , isto é, domínios em que soluções que neles começam se aproximam do ponto crítico. Também permite obter informações sobre centros. A teoria de sistemas aproximadamente lineares, sendo uma teoria local, não permite obter este tipo de informação.
Outra ferramenta que pode ser utilizada na caracterização do espaço das fases de um sistema são os expoentes de Liapunov. Estes representam uma generalização da idéia de autovalor e informam se uma órbita (trajetória) está, em média, divergindo ou convergindo de outra órbita que inicialmente estava muito próxima dela numa dada direção. Esta generalização permite detectar atratores estranhos (para o caso de sistemas de três dimensões ou mais, cujas equações diferenciais são não lineares). Basta que um dos expoentes de Liapunov seja positivo, sendo a soma de todos eles negativa (GUCKENHEIMER & HOLMES, 1983; SEYDEL, 1988).
Um último aspecto a ser apontado a respeito da topologia do espaço das fases está relacionado às situações em que ocorrem múltiplos pontos fixos: a união de pontos fixos e as trajetórias conectando-os (GUCKENHEIMER & HOLMES, 1983). Quando as trajetórias unem distintos pontos fixos, elas são denominadas de órbitas heteroclínicas, enquanto, no caso em que elas conectam um ponto fixo a si mesmo, elas são denominadas como órbitas homoclínicas. Os ciclos formados de órbitas heteroclínicas são denominados de ciclos homoclínicos, sendo que os pontos fixos contidos em tais ciclos devem ser todos pontos de sela. As órbitas homoclínicas podem estar relacionadas ao surgimento e ao desaparecimento de ciclos limites (os quais surgirão ou desaparecerão em uma bifurcação de Hopf) e também podem estar relacionadas ao aparecimento de órbitas de periodicidade complexa ou mesmo oscilações não periódicas (aperiodicidade), para sistemas com mais de duas variáveis (SCOTT, 1994) – os estudos destas situações relativas às órbitas homoclínicas são realizados por métodos de perturbação ou método de valor médio. Não há um método geral para determinar tanto os ciclos homoclínicos quanto as órbitas heteroclínicas e homoclínicas, mas são conhecidos sistemas (por exemplo, certos sistemas Hamiltonianos ou sistemas do tipo gradiente de campo vetorial (GUCKENHEIMER & HOLMES, 1983)) que os apresentam e que podem auxiliar na busca deles em outros sistemas.
4.4. O PROBLEMA DAS RESTRIÇÕES IMPOSTAS SOBRE OS