“A análise modal é o processo constituído de técnicas teóricas e experimentais que possibilitam a construção de um modelo matemático representativo do comportamento dinâmico do sistema em estudo, a fim de determinar os seus parâmetros modais (freqüências naturais, modos de vibração e fatores de amortecimento modal)” (NÓBREGA, 2004). Uma de suas aplicações é a avaliação da integridade estrutural, ou seja, a identificação e localização de danos existentes. A análise modal para ser realizada depende das relações de ortogonalidade dos modos de vibração (auto-vetores). Essa condição permite desacoplar as equações de movimento de sistemas de múltiplos graus de liberdade (MGDL) em um conjunto de equações diferenciais independentes, equivalente a vários sistemas de um grau de liberdade (1 GDL).
A análise modal teórica consiste inicialmente na definição das propriedades físicas e geométricas do sistema estrutural (matrizes de: massa M, amortecimento C e rigidez K). Determina-se o modelo modal, composto de freqüências naturais (k), modos de vibração correspondentes (k) e fatores de amortecimento modal (). Com esses parâmetros modais é possível estimar a resposta do sistema a uma determinada excitação, definindo um conjunto de respostas ao longo do tempo e de Funções de Resposta em Freqüência (FRFs).
Na análise modal experimental é feito o processo inverso. As respostas do sistema são medidas experimentalmente (FRFs), aplicam-se métodos para a obtenção dos parâmetros
martelo de impacto
58 C a p ítulo 3 – Aná lise Dinâ mic a
modais (k, k e ) e, empregando técnicas apropriadas, é possível obter as propriedades da estrutura (M, C e K). A obtenção da FRF é o principal objetivo de uma caracterização dinâmica experimental, pois é a base para a derivação dos parâmetros que caracterizam o modelo modal da estrutura.
A Função de Resposta em Freqüência (FRF) relaciona a resposta do sistema por unidade de excitação aplicada, como função da freqüência de excitação. Quando a variável da resposta (ou de saída) é o deslocamento, a FRF é chamada Receptância. Quando a variável de saída é a velocidade ou a aceleração, a FRF é chamada, respectivamente, de Mobilidade ou Acelerância. Neste trabalho, todas as Funções de Resposta em Freqüência obtidas em ensaios experimentais foram acelerâncias.
No campo experimental, os sinais de entrada (excitação) e de saída (resposta) são medidos no domínio do tempo e convertidos para o domínio da freqüência pela Transformada Rápida de Fourier (FFT), operação que é normalmente realizada pelo sistema de aquisição. Também no domínio da freqüência, os dados de saída e de entrada são divididos entre si para gerar o gráfico da FRF, do qual podem ser extraídos os parâmetros dinâmicos do sistema, tais como, freqüências naturais e fatores de amortecimento relacionados a cada modo de vibração.
Algumas das hipóteses fundamentais da análise modal experimental que devem ser consideradas são:
a estrutura é invariante no tempo (os parâmetros modais são constantes) e linear, ou seja, a resposta da estrutura a qualquer combinação de forças simultâneas é a soma das respostas individuais de cada uma das forças atuando isoladamente (NÓBREGA, 2004);
a estrutura sob teste pode ser descrita adequadamente por um modelo discreto (INMAN, 1994); e
a estrutura além de apresentar comportamento linear, também deve ser ensaiada sem que a força seja superior àquela que limita o comportamento linear (INMAN, 1994). Ewins (1984) define a análise modal experimental como um conjunto de métodos que diferem em complexidade, limitações e vantagens, mas que buscam ajustar uma expressão teórica de uma FRF aos dados de ensaios experimentais, por meio da obtenção dos coeficientes que definem esta expressão que, por sua vez, estão diretamente relacionados com os parâmetros modais do sistema.
Existem métodos de análise modal experimental em que o procedimento é essencialmente automático, ou seja, dados da FRF são fornecidos como dados de entrada e os
parâmetros modais são extraídos sem interferência do usuário. Outros métodos são interativos, pois exigem a participação do usuário na escolha ou nas decisões envolvidas na análise. Esses acabam sendo inevitáveis, visto que em estruturas reais e complexas, os dados obtidos são imperfeitos ou estão incompletos (EWINS, 1984).
Uma desvantagem da análise modal clássica é que para modos mais altos, é necessário impor um nível de energia (carregamento) maior à estrutura. Em estruturas de concreto, esses carregamentos elevados podem ocasionar fissuração dos elementos, o que implica na ocorrência de não-linearidades e redução da rigidez e, consequentemente, diminuição dos valores de freqüência.
3.2.1. Método do pico de amplitude (peak-amplitude) – Ewins (1984) e Inman
(1994)
O método do pico de amplitude (peak-amplitude ou peak-picking) faz parte de um conjunto de métodos simples de análise modal. A idéia básica desses métodos é que, na região da ressonância, a resposta do sistema é influenciada pela contribuição do modo cuja freqüência natural está nas proximidades. É um método para sistemas de um grau de liberdade e que funciona de forma apropriada em estruturas cujas FRFs exibem modos bem distintos, bem afastados uns dos outros. Ou seja, cada pico de ressonância é idealizado como sendo a resposta de um sistema de um único grau de liberdade independente. Outra hipótese do método é que as estruturas sejam medianamente amortecidas, isso quer dizer, que não sejam pouco amortecidas a ponto de ser difícil obter medidas válidas na ressonância, nem possuam amortecimento tão alto que a resposta na ressonância seja muito influenciada por vários modos. É um método que possui algumas limitações, porém pode ser empregado em estimativas iniciais, o que pode antecipar informações a respeito dos parâmetros para um procedimento realizado posteriormente, tal como o ajuste de curva.
As etapas do método são as seguintes:
Identificação dos picos de ressonância no gráfico da FRF. A freqüência que apresenta amplitude máxima é a freqüência natural de cada modo (r);
Identificação do valor da amplitude máxima (H( ), assim como da faixa de r) freqüência () equivalente a valores de amplitude iguais a H(r) 2 (vide Figura
60 C a p ítulo 3 – Aná lise Dinâ mic a
19). Os dois pontos que limitam essa faixa de freqüência são os pontos de meia- potência: a e b, cujas amplitudes são dadas por:
2 ) ( H ) ( H ) ( H r b a (Eq. 11)
O amortecimento do modo pode ser estimado pela expressão:
r b a 2 (Eq. 12) |H()| 1 2 3 |H()| a r b a
Figura 19 – Ilustração de uma FRF e do método do pico de amplitude (peak-amplitude).
Sabendo que a maioria dos erros num experimento dinâmico acontece na região de ressonância, torna-se imprescindível o cuidado na leitura dos dados, pois as estimativas da freqüência e do amortecimento dependem da precisão da medida de amplitude no gráfico da FRF. Outra limitação do método é a suposição de um único modo, ou seja, da influência de um único grau de liberdade na região do pico de ressonância. Apesar dos modos estarem bem afastados uns dos outros, pode existir alguma contribuição de modos vizinhos na resposta do sistema para aquele modo que está sendo estudado.
3.2.2. Método do decremento logarítmico
Uma das formas para estimar o amortecimento do sistema também de forma simplificada é por meio do decremento logarítmico. De acordo com esse método, são registradas as respostas (deslocamentos), no domínio do tempo, de um sistema de um grau de liberdade submetido a um impulso resultando em vibração livre. O termo decremento logarítmico refere-se à taxa de redução logarítmica relacionada com a redução do movimento após o impulso.
Deslocamento (mm)
tempo
t1 t2
Figura 20 – Resposta do sistema a vibração livre – Cálculo do decremento logarítmico.
O decremento logarítmico é definido por: n 0 2 x x ln n 1 1 2
, sendo que: (Eq. 13)
n é o número de ciclos usado;
x0 é a amplitude de vibração em t = t0; xn é a amplitude de vibração em t = tn; é o fator de amortecimento.
Da relação anterior, é possível extrair o valor do fator de amortecimento em função do decremento logarítmico, que é obtido com a razão entre duas amplitudes sucessivas do sinal:
2 2 4 (Eq. 14)
62 C a p ítulo 3 – Aná lise Dinâ mic a