Para identificar as concepções de concreto e de abstrato dos professores participantes de nosso estudo e analisar os resultados considerando as matrizes teóricas que adotamos, utilizamos uma Entrevista semiestruturada (Anexo III) composta de 14 (quatorze) questões, que tiveram como objetivo levantar o perfil dos docentes; seu entendimentos sobre a especificidade do conhecimento matemático; suas concepções de “concreto” e de “abstrato”; e as relações entre as concepções de concreto e de abstrato e conhecimento matemático assumidas em suas práticas de ensino.
As indagações sobre os aspectos profissionais do docente; sobre a formação inicial e continuada; o espaço educativo de atuação; o tempo de docência; e possíveis fatores que os levaram a enveredar pelos caminhos do ensino de Matemática, nos trouxeram elementos relativos ao olhar do professor para a prática de ensino de Matemática. Com base nas respostas relacionadas ao último ponto explicitado, emergiu um elemento importante para estudos da área da formação docente, mas que não é objeto central de nossa investigação: a decisão pela escolha dos docentes em tornarem-se professores de Matemática se deve à admiração, ao exemplo e ao incentivo de alguns dos seus ex-professores, o que fica evidente nas considerações por eles apresentadas.
(...) [C]om incentivo da família e de alguns professores resolvi fazer a licenciatura em Matemática. (VALMIRO).
(...) [A] admiração por bons professores que dominavam bem os conteúdos. (CÉSAR).
(..) Quando cheguei no ensino médio, no primeiro ano eu tive uma professora muito boa em matemática. E ai como eu sempre me dava bem, sempre gostei de matemática, ai liguei uma coisa com a outra, sempre quis ser professora, então resolvi pegar uma disciplina em que eu me saio bem. Então por isso pensei em fazer licenciatura em matemática. (CARMEM).
Observação de outros professores. A escolha por matemática foi com o histórico de alguns professores meus de matemática que eu ia admirando no percurso. (ARMANDO).
108
Acho que no ensino médio eu tive um professor que não só falava de matemática, mas, assim, eu gostava muito das aulas dele. Então acho que foi o primeiro elemento que me chamou mais atenção. (URÂNIO).
Esse aspecto reforça a importância que deve ser dada ao professor na formação educacional, e em especial nos cursos de formação docente. Certamente, sendo ele um potencial elemento motivador para a escolha de uma carreira profissional, também o será para a disseminação de concepções sobre os conhecimentos com os quais lida na docência, especialmente se o professor tomado como referência, estiver presente na formação inicial do graduando, futuro professor de Matemática.
Esse aspecto já fora ressaltado por Cury (1994), que o considera como uma consequência de vários fatores:
As idéias veiculadas pela cultura matemática, a partir das principais correntes filosóficas da Matemática, disseminam-se entre os matemáticos, entre os autores de livros-texto, entre os pesquisadores em Educação Matemática, entre os responsáveis pelos currículos dos cursos de Licenciatura, enfim, entre aqueles que têm alguma influência sobre o futuro professor de Matemática. Esse professor tem, então, suas crenças primitivas reforçadas pelo consenso da comunidade e pela autoridade dos mestres (CURY, 1994, p.33).
Objetivando levantar indicativos da ligação entre os conteúdos matemáticos de preferência de ensino do docente e o aspecto abstrato ou concreto vislumbrado por ele nesse contexto, perguntamos: Qual (is) conteúdo(s) (tema(s)) de Matemática você têm preferência para lecionar? Por quê? Nesse sentido, encontramos indícios de relação entre o conteúdo preferido e a concepção que é adotada pelo professor quando lhe foi solicitado que classificasse alguns objetos da Matemática em cinco níveis, que vão desde o “concreto manipulável” até o “abstrato sem representação”. (14ª questão da entrevista – Roteiro nos Anexos). No registro sobre os conteúdos que preferem, destacamos as falas transcritas em seguida.
Tenho preferência por aqueles ligados à álgebra, como funções, por exemplo. (VALMIRO).
Gosto de Medidas. Pelo fato do conteúdo de Medidas ter ampla aplicabilidade em várias situações do dia a dia. (CÉSAR)
109
Os temas básicos da geometria plana, especialmente, muito me interessam (SAMUEL).
Geometria. Acho que há mais facilidade de mexer com materiais manipuláveis. (CARMEM).
Trigonometria. (ARMANDO).
Eu gosto da Matemática como um todo, mas a minha preferência é a parte de geometria. (SEBASTIANA).
Apenas um dos docentes externou que não tinha preferência, dizendo-se confortável para lecionar qualquer conteúdo matemático da base curricular da Educação Básica. Os outros apresentaram preferências que, quando confrontadas com a classificação que fizeram dos objetos matemáticos da última indagação da entrevista, estão inseridas nas categorias que vão de “concreto manipulável” a “objeto abstrato de fácil representação”, não havendo identificação de objetos matemáticos que fossem classificados posteriormente por eles como sendo “abstrato sem representação”.
A professora Sebastiana, que disse preferir à Geometria, classificou todos os objetos relativos a conceitos geométricos como “abstratos de fácil representação”, enquanto a docente Carmem, que expressou a mesma preferência, considerou até alguns dos objetos geométricos como manipuláveis. O professor César, que prefere lecionar os temas relativos às medidas, classificou-os como objetos concretos e manipuláveis.
Entendemos que nessa associação está presente um indicativo da objeção da maioria dos professores em lecionar conteúdos matemáticos que classificam como “objetos sem representação”, talvez por considerarem que a manipulação ou a possibilidade de múltiplas representações facilita o processo de ensino. Esse entendimento nos leva a relacionar a fala dos docentes às considerações de Maia (2001), ao sugerir que há uma concepção associando a Matemática concreta (na perspectiva de representação por manipuláveis, por aplicação imediata ao cotidiano) à facilidade e a Matemática abstrata (na perspectiva de conceitos não representáveis), à complexidade.
Outra interpretação da fala dos professores é a de que eles têm esta preferência em virtude de considerarem os conceitos e/ou objetos matemáticos que possuem os elos mais fortes com o cotidiano como os de maior possibilidade de
110
compreensão por parte dos estudantes. Isso está associado à ênfase que tem sido dada ao uso de manipuláveis no ensino, conforme mostrou Giardinetto (1999).
A ideia que está por trás dessa concepção é que ao tornar esses conceitos mais relevantes, em termos de ligação com o cotidiano, torna-os mais fáceis de serem aprendidos, compreendidos pelos estudantes. No entanto, conforme mostrou o autor, esse recurso é salutar desde que não limitemos a construção do conhecimento aos limites do raio de ação dos sentidos.
Uma questão importante, especialmente quando analisamos as classificações feitas pelos docentes sobre os objetos da Matemática em termos de concreto e de abstrato, é buscar entender quais as concepções destes docentes sobre tais conceitos. Assim, apresentamos uma lista de objetos (matemáticos ou não), por meio de figuras e nomes, e pedimos para o docente classificar cada objeto como concreto ou abstrato, objetivando, com essa classificação, ter indícios da concepção do professor sobre algo ser concreto ou ser abstrato. Um resumo dos resultados pode ser observado no Quadro 3.
Quadro 3: Classificação dada pelos professores aos objetos
Objeto
Professores Car m em Césa r S eb as tia na S am ue l V alm iro A rm an do Ur ân ioUm pensamento, uma ideia A A A A A A A
A equação da área de um círculo A A A A A A A
Um círculo C A A C ou A C A A
Um cubo C C C C ou A C C A
O número 8 A A A A A A A
As forças que atuam num corpo A A A C C A C
Uma cadeira C C C C C C C
As letras do alfabeto A A A A C C A
Uma reta A A A A A A A
111
Nota-se que os únicos elementos da lista denominados, unanimemente, de concretos ou abstratos foram, no primeiro caso, a cadeira, e, no segundo caso, um pensamento, a equação da área de um círculo, o número 8 e uma reta. Nos demais casos as denominações diferem, sendo um mesmo elemento considerado abstrato por uns e concreto por outros.
Algumas das considerações dos professores estão diretamente ligadas ao entendimento do senso comum sobre esses conceitos.
Um objeto concreto é aquele que sabemos que existe e podemos tocá-lo. Um objeto abstrato é aquele que existe, mas não podemos tocá-lo (CÉSAR).
Concreto a gente imagina como, por exemplo, os objetos que existem disponíveis no laboratório de matemática, a exemplo os sólidos geométricos, são concretos. Abstratos, temos muito em Matemática, a gente tem que imaginar e deduzir. (SEBASTIANA) Considero que "Objetos Concretos" são elementos que são táteis/palpáveis ou que podemos sentir fisicamente sua interação com outros objetos. (SAMUEL)
Um objeto concreto é aquilo que posso ver, ou seja, palpável. Um abstrato é aquilo que posso abstrair as ideias a partir do concreto. (CARMEM)
Ou seja, para estes docentes, em geral, algo é concreto se pode ser visto, tocado, enquanto o abstrato está ligado à imaginação, às ideias. Tais posicionamentos tem um caráter intuitivo, superficial, muitas vezes não reflexivo sobre o sentido amplo de um conceito.
Nossas primeiras associações com o concreto muitas vezes sugerem algo tangível, sólido. Você pode tocá-lo, cheirá-lo, chutá-lo, é real. Um olhar mais atento revela uma certa confusão nesta noção intuitiva. Entre esses objetos que nos referimos como concreto existem palavras, ideias, sentimentos, histórias, descrições. Nenhuma dessas coisas pode ser realmente "chutada". Então, quais são esses objetos tangíveis aos quais estamos nos referindo?
(tradução nossa) (WILENSKY, 1991, p.3).
O modo como Wilensky defende a concepção de concreto contempla múltiplos fatores. Para ele, é quase sempre errado buscar o "significado real" de qualquer coisa, pois, se ela tem apenas um significado dificilmente tem um significado real. Foi uma perspectiva nessa direção que alguns docentes
112
consideraram para o entendimento de concreto. Para eles, essas reflexões devem ser vistas de forma mais aprofundada, fazendo-se uma relação com o aspecto psicológico, cognitivo.
A diferença está na materialidade das coisas; por exemplo, meu pensamento e as equações são ideias, elas não se materializam por si só, a cadeira construída é concreta, a cadeira na minha cabeça é abstrata. (VALMIRO)
Se eu pensar sobre um óculos, eu estou pensando sobre algo concreto. O conteúdo do pensamento é que vai me levar ao entendimento de óculos. (...) A Matemática ela funciona na cabeça da gente. A Matemática é um conjunto de ideias. Tudo que a gente pensa de Matemática, que a gente vá pensar em concreto, na verdade são aplicações dessas ideias em algumas situações específicas. Por exemplo, a geometria, euclidiana especificamente, ela é extremamente abstrata e só funciona na cabeça da gente, ela só existe nas ideias. (ARMANDO)
O concreto é algo que eu possa tocar, como essa mesa. Já um número, um símbolo, como o 3, é uma representação, então se é uma representação, para mim, ele passa a ter uma compreensão de significado. Mas, para uma pessoa que não teve contato da nossa cultura, aquilo ali nada mais é do que um desenho, uma representação de algo que ele não tem a compreensão. (URÂNIO)
Observamos que os docentes entrevistados defendem o uso de objetos concretos para dar significado aos conceitos matemáticos no ensino de Matemática nos anos iniciais de escolaridade. Esse ponto emergiu quando pedimos a opinião dos professores sobre uma possível relação entre o aspecto abstrato da Matemática e as dificuldades de aprendizagem.
O professor Urânio entende que o mais importante no processo de aprendizagem matemática está no início da vida estudantil e nesta fase é fundamental o uso de material concreto manipulável.
Uma dificuldade está na questão da condução do processo, quando se começa a trabalhar com Matemática, ainda na fase de criança, no ensino fundamental 1. O nível de compreensão deve ser dado muito na base do concreto, no sentindo de fazer uma operação matemática de adição do tipo, você tem duas tampinhas e, o professor pega, num outro recipiente, três tampinhas de garrafa, quantas tampinhas temos? O aluno vai fazer uma associação ali, com objeto palpável, visível pelo menos, que pode ser até mesmo um desenho que ele faz no caderno para poder compreender aquela situação matemática e compreende. (URÂNIO)
113
O concreto, nessa concepção, está sendo considerado para simbolizar quantidades, como auxilio no ato de representar. Os professores concordam em relação à natureza abstrata da Matemática, mas ocorreram divergências quanto a creditarem esse fato às dificuldades de aprendizagem na disciplina. Para alguns, as considerações sobre a Matemática já estão formadas no meio social e estas fazem com que o aluno ingresse na escola com ideias equivocadas.
Como falei pra você, as pessoas já vem pra escola com a concepção meio formada no meio da família, dos amigos, de que Matemática muito complexa, nem todo mundo entende, Matemática não é pra todo mundo. É essa a concepção que eles chegam a escola e acabam tendo dificuldades na aprendizagem. (SEBASTIANA)
O conhecimento matemático é abstrato sim, mas que pode ser aplicado em situações concretas ou com objetos concretos. Acredito que uma das formas de melhorar a aprendizagem desse conhecimento é por meio de experiências didáticas e concretas. (SAMUEL)
Não vejo as dificuldades de aprendizagem como uma particularidade exclusiva da Matemática. Os nossos alunos não vão bem em muitas matérias da Educação Básica. (VALMIRO)
Pelos recortes apresentados, os docentes não consideram o fator ‘abstração’ como elemento limitador do processo de aprendizagem em Matemática, mas apontam os processos metodológicos como os fatores mais significativos para a aprendizagem matemática. Nessa direção, houve quem destacasse a importância das formações continuadas, que possibilitam as mudanças de concepções sobre os processos metodológicos de ensino e sobre a própria Matemática e seus objetos, como afirmou o professor Valmiro:
Com as formações continuadas, especialização e outras oportunidades de reflexão, fui percebendo que a forma como via a matemática tinha relação direta com as escolhas metodológicas, particularmente quando conheci o movimento da Educação Matemática, comecei a questionar a forma como dava aulas. (VALMIRO)
Concordamos com Fossa (1998) e Silva (1999), no entendimento de que as concepções sobre o conhecimento matemático têm interferências diretas na escolha do viés metodológico a ser seguido no processo de ensino. Por isso, questionamos
114
sobre o modelo metodológico seguido pelo professor, considerando a relação entre concreto e abstrato. Estávamos interessados em saber se o professor guia sua prática por um modelo de ensino que parte do concreto com o desejo de alcançar o abstrato; se no modelo que tem início no abstrato alegando que isso é necessário para compreender o concreto; se atua fazendo o diálogo entre o concreto e o abstrato; ou, ainda, se aplica uma concepção metodológica distinta desses vieses.
As respostas possibilitaram-nos definir dois modelos lineares distintos de ensino: Modelo A: Atua-se a partir de uma concepção completamente ligada ao concreto (manipulável), e se vai, aos poucos, distanciando-se da realidade, chegando-se ao abstrato geral, totalmente desconectado do concreto; e Modelo B: começa-se pelos aspectos formais abstratos, entendendo-se que, assim, será possível compreender o concreto. Não observamos considerações que pudessem estar associadas ao o uso de uma relação dialética entre o concreto e o abstrato.
Na justificativa de adoção do Modelo A, destacamos as falas dos professores Valmiro, Samuel, Carmem e Urânio.
(...) Isso me levou a pesquisar e desenvolver sequências de aulas que partiam quase sempre de experiências concretas para os alunos, especialmente no Ensino Fundamental, ou seja, um jogo, uma atividade com dobraduras, uma observação, construção de algum experimento, depois ia formalizando o conteúdo. (VALMIRO)
Partir do concreto para o abstrato é um dos caminhos que acho mais coerente para a compreensão do abstrato. A expectativa de aprendizagem considera que o mais simples venha primeiro, e muitos dos meus (nossos!) alunos consideram que o concreto é mais fácil de compreender que o abstrato. Não posso discordar absolutamente deles. (SAMUEL)
Do concreto para o abstrato. Mas, na escola particular é difícil, porque não há brechas para isso, tem que passar todo aquele conteúdo então não podia digamos ‘perder tempo com isso’. Pra gente professor a gente sabe que não é perder tempo, mas, para a escola não tinha condição de fazer do concreto para o abstrato. (CARMEM)
Acho que depende muito do conteúdo; depende muito do aluno que você tem; do tempo. Vamos pegar aqui um exemplo, se eu estou dando aula numa turma de Proeja, então tenho que trazer situações, quer sejam concretas ou abstratas, mas eu tenho que trazer situações que façam parte da realidade dele. E aí a gente tem que sair um pouco da questão do currículo, do conteúdo específico e tentar trazer uma matemática mais próxima da realidade do aluno. (URÂNIO)
115
Essa característica também foi observada por Giardinetto (1999) e Machado (2011). Para Giardinetto, tal concepção pode levar à supervalorização do cotidiano do estudante e, assim, limita-se o processo de aprendizagem de conceitos científicos construídos social e culturalmente. Machado entende que esse modelo é insuficiente, pois, a partir de um determinado ponto, em face do esquema linear de compreender a construção do conhecimento, abandona-se a relação do conhecimento com o concreto e situa-se o processo exclusivamente no campo da abstração, desconectado-o da realidade.
Na justificativa de adoção do Modelo B, destacamos as falas dos professores César, Armando e Sebastiana.
Sempre partir da teoria à prática, do abstrato aplicado ao concreto. Isto, claro, quando possível. Não havendo tal possibilidade, podem- se criar situações reais, fictícias ou imaginárias (fictícia/ imaginária = fora da realidade do aluno) para que o conhecimento ensinado tenha alguma aplicação. (CÉSAR)
Dependo do conteúdo que eu vou tratar, dependendo da maturidade dos meus alunos, eu posso partir de uma aplicação que eles tenham o conhecimento, saibam e percebam essa aplicação muito claramente, mas, não percebam o conteúdo, o conceito matemático que sendo aplicado ali e ai eu trago essa ideia. Outro, dependendo da maturidade do aluno eu posso tratar diretamente de um conceito mais abstrato e partir pra manipulação dele e aplicação. (ARMANDO) Isso é bastante relativo. Em alguns momentos até que é possível você sair do concreto pra chegar ao abstrato, muito embora isso é um pouco complexo, porque a matemática é abstrata, agente precisa imaginar as coisas pra poder chegar a algumas conclusões. Quando você pensa, por exemplo, no estudo de cálculo, no ensino superior, tem coisas que não dá pra fazer relações diretas com o concreto. A matemática é rigorosa a gente não pode esquecer disso. (SEBASTIANA)
Esses dois modelos de atuação no ensino de Matemática, no nosso entendimento, são limitadores da aprendizagem, em virtude de considerar o concreto e o abstrato como elementos que não dialogam. Assim, pauta-se a prática apenas em um dos focos, sem associação entre eles.
Adotando a perspectiva de Grando (1999), poderíamos distinguir dois grupos dentre os professores entrevistados: uns como professores positivistas e outros
116
como professores pragmáticos. Os positivistas atuam de modo autoritário, como que preenchendo o “recipiente” cognitivo do aluno; os pragmáticos, em contraposição, atuam de forma simplista, buscando e valorizando apenas o que tem utilidade imediata para a solução dos problemas cotidianos, resultando na problemática estudada por Giardinetto (1999).
Defendemos que a relação entre o concreto e o abstrato deve ser concebida e explorada de modo mais aprofundado nas práticas de ensino de Matemática, de modo que, atuar na perspectiva de um único modelo (A ou B), nos parece um equívoco do sistema de ensino. Ressalve-se, entretanto, que, involuntariamente ou inconscientemente, em algum momento serão utilizadas estratégias de ensino que dialoguem com os dois modelos. Entendemos que o problema, quando isso ocorre, reside no não aprofundamento desse diálogo.
Nosso entendimento é que as dificuldades de aprendizagem matemática não se acabam com a simples opção entre um modelo ou outro, como sendo eles mutuamente excludentes, mas podem ser minimizadas pela relação dialética e permanente entre o concreto e o abstrato. Tal perspectiva se assemelha ao comentário feito por Brolezzi (1996) sobre a relação entre o discreto e o contínuo:
Trata-se de caminhar com ambas as pernas, a da ideia do discreto e a da continuidade, na construção dos conceitos matemáticos, explorando, no ensino, essa interação. Entendemos que a riqueza de uma abordagem que leve em conta ambos os aspectos, ajuda a desenvolver melhor os conceitos matemáticos, pois muitos deles têm