O título “A mais bela prova” aparece na “Revista do professor de Matemática”, número dois, sendo dado a uma demonstração que Euclides Rosa apresenta no artigo “Mania de Pitágoras”, no qual Rosa levanta a possibilidade desta demonstração ter sido
desenvolvida por Pitágoras, como consta do trecho abaixo:
Qual foi a demonstração dada por Pitágoras? Não se sabe ao certo, pois ele não deixou trabalhos escritos. A maioria dos historiadores acredita que foi uma demonstração do tipo “geométrico”, isto é, baseada na comparação de áreas3. Não foi a que se encontra nos “Elementos” de Euclides, e que
é ainda hoje muito encontrada nos livros de Geometria4, pois tal demons-
tração parece ter sido concebida pelo próprio Euclides. A demonstração de Pitágoras pode muito bem ter sido a que decorre das figuras abaixo5:
(ROSA,1983, p. 15)
Figura 28 – Observe! (a) Figura inicial
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 (b) Figura final 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐽 𝐻 𝐼 𝐾 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐 𝑏 𝑎
Fonte: Produzido pelo autor
Note que a Figura 28acorresponde aFigura 21, tendo os triângulos retângu- los destacados. Veremos, na AtividadeA.3, que a Figura 28ainicial ( ouFigura 21) pode ser transformada na Figura 28bfinal por meio do movimento rígido de translação dos triângulos. Por hora, contentamo-nos em constatar que da Figura 28a( ou21) podemos obter a Figura
28b, o que já é suficiente, pois estamos discutindo a importância daFigura 21, dado que essa se transforma em outras, utilizadas em várias outras demonstrações.
4.7 Aceitação por parte dos alunos
O objetivo da atividade era apenas levar o aluno a familiarizar-se com a
Figura 21, a qual será usada em atividades futuras. A apropriação daFigura 21 foi proposta por meio da construção da mesma. Essa construção, apesar de simples, e realizada com auxílio do papel quadriculado, o que possibilita o aluno ser mais caprichoso, bem como contando com o auxílio das orientações dada na folha da AtividadeA.2, teve seu momento
3 Itálico meu.
4 Essa demonstração foi abolida dos textos do Ensino Médio e do Ensino Fundamental. 5 Itálico meu.
4.7. Aceitação por parte dos alunos 39
de ser avaliada quanto a sua aceitação, pelos alunos. A tabela abaixo transcreve os dados tabulados:
Tabela 3 – Tabela com avaliação das duplas sobre a AtividadeA.2. O grupo gostou dessa atividade ?
Não gostaram Gostaram um pouco Gostaram
Número de duplas 2 4 27
Como o grupo classifica essa atividade ?
Média Fácil Difícil
Número de duplas 4 29 0
Total de alunos = 66
Fonte: Produzido pelo autor.
DaTabela 3, concluímos que a atividade foi muito bem aceita pelos alunos, atingindo o objetivo de ser agradável aos mesmos, bem como funcionalmente didática.
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5 A terceira aula
5.1 Introdução
O objetivo desta atividade é levar o aluno a justificar o Teorema de Pitágoras. Para isso iremos dar um tratamento por meio de translação à demonstração apresentada no artigo escrito por Euclides Rosa, publicado na Revista do Professor de Matemática, número dois - RPM 02 -, cujo título dado é “Mania de Pitágoras”; o artigo localiza-se na seção “As Coisas que Ensinamos” da citada revista, a qual já tivemos oportunidade de citar no capítulo 3, na subseção 4.6.3. A demonstração apresentada no artigo recebe por título “A mais bela prova” e é creditada a Pitágoras1 segundo o professor Euclides Rosa. Essa demonstração
baseia-se na observação da Figura 29:
Figura 29 – Observe! (a) Figura inicial
𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 (b) Figura final 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐽 𝐻 𝐼 𝐾 𝑏 𝑎 𝑎 𝑏 𝑏 𝑎 𝑐 𝑐 𝑏 𝑎
Fonte: Produzido pelo autor.
O professor EduardoWagner (2009), em seu livro Teorema de Pitágoras e áreas, disponível no site da OBMEP2,no capítulo 1, na seção “A demonstração clássica”,
também menciona a demonstração acima evidenciada pela Figura 29. Conforme nos revela o trecho abaixo, o crédito desta demonstração muito provavelmente deve ser dado aos pitagóricos3.
Esta simples e engenhosa demonstração pode4ter sido a que os pitagóricos
imaginaram. (WAGNER,2009, p. 6).
1 Era costume creditar-se a autoria dos trabalhos ao representante central do grupo, no caso em questão, a autoria é dada a Pitágoras, mas certamente algum elemento de sua escola deve ter realizado tal demonstração, pois aparentemente Pitágoras nada escreveu.
2 http://www.obmep.org.br/prog_ic_2010/apostila2010.html
3 Já mencionamos noCapítulo 2que a ausência de documentos escrito resulta em uma dificuldade para dar corpo a história de Pitágoras e dos pitagóricos.
Ambos, Wagner e Rosa, explicam a Figura 29do mesmo modo. Dado um triângulo retângulo de catetos 𝑎 e 𝑏, bem como hipotenusa 𝑐, temos que:
Do quadrado que tem a + b como lado5, retiremos 4 triângulos iguais ao
[triângulo]6dado. Se fizermos isto como na figura à esquerda, obteremos
um quadrado de lado c. Mas se a mesma operação for feita como na figura à direita restarão dois quadrados, de lados a e b respectivamente. Logo, a área do quadrado de lado c é a soma das áreas dos quadrados cujos lados medem a e b. (WAGNER,2009, p. 6)
A ideia que iremos utilizar nesta atividade é a de “retirar” os quatro triângulos retângulos, tal qual os dois autores acima citados operaram. Contudo, entre a Figura29ae a Figura29bhá um “lacuna” que tentaremos preencher de maneira que, para o aluno, fique mais transparente a transição de uma para a outra. Para completar os pontilhados desta “lacuna” iremos fazer uso das translações no plano. Ao final, recorreremos a ideia de “retirar”
acima discutida e apresentada pelos professores Wagner e Rosa.
Uma questão que surge é: “uma translação preserva o triângulo retângulo?” Na prática é possível constatar que sim, pois ao recortarmos um triângulo retângulo em cartolina, por exemplo, e dispormos esse triângulo sobre uma mesa, ou qualquer superfície lisa que “represente” um plano, podemos move-lo sem deformação em qualquer direção, que o mesmo continuará sendo um triângulo retângulo. Também é possível percebermos que ao rotacionar o mesmo triângulo retângulo, este continuará sendo um triângulo retângulo. Em ambos, translação e rotação, não ocorre deformação das partes do triângulo retângulo, ou seja, tomando-se dois pontos quaisquer, 𝐴 e 𝐵, do interior do triângulo retângulo recortado na cartolina, determinando-se a posição destes pontos em relação aos catetos do triângulo retângulo, posteriormente executando uma translação, ou rotação, ou ambos, os pontos 𝐴 e
𝐵preservam, simultaneamente, sua posição em relação aos catetos, ou seja, preserva-se a
distância de 𝐴 e 𝐵, em relação aos catetos do triângulo retângulo. Mas para colocar essas ideias de modo um pouco mais formal, iremos falar um pouco sobre isometria.
5.2 Distância num plano
Π
Inicialmente iremos definir distância. Do livro “Espaços Métricos”, deLima
(1977, p. 1), pinçamos: