Installasjon

Até o momento, o modelo de Ising unidimensional foi apresentado em ter- mos da medida de Gibbs a volume finito, que são medidas de probabili- dade em ΣN = {−1, +1}ΛN, onde ΛN = {1, 2, . . . , N}. Estudaremos agora

a medida de Gibbs a volume infinito, ou seja, no espaço de configuração Σ =_{{−1, +1}}N_{. Estas medidas são obtidas através de limites fracos de me-}

didas de Gibbs a volume finito. Primeiramente, estendemos cada medida de Gibbs a volume finito Pβ,h

ΛN para uma medida de probabilidade em (Σ, B(Σ)).

Seja

Bω

ΛN ={σ ∈ Σ : σj = ωj, para cada j∈ Λ

c N}

e πN a projeção de Σ em ΣN, ou seja, (πN(σ))i = σi, para i ∈ ΛN. A extensão

Pβ,h,ω_{ΛN da medida de Gibbs a volume finito é definida para cada A ∈ B(Σ)} por Pβ,h,ω_ΛN (A) = P_Λβ,h,ω_N πN(A∩ BΛωN)
= X σ∈πN(A∩B_ΛNω ) P_Λβ,h,ω_N (σ).

Como o suporte de Pβ,h,ω_ΛN é o conjunto Bω

ΛN, a extensão é compatível com

a condição externa.

Seja C (Σ) o espaço das funções reais limitadas e contínuas em Σ com a norma do supremo. Se f é uma função em C (Σ) tal que o valor de f(σ) depende apenas de uma quantidade finita de coordenadas de σ, digamos σi1, σi2, . . . , σir e ΛN é um intervalo contendo os sítios i1, i2, . . . , ir, então

a restrição de f para as coordenadas {σi, i ∈ ΛN} define uma função em

C_{(ΣN). Denotaremos a restrição de f pelo mesmo símbolo f . Se σ = πN(σ),} com σ ∈ ΣN e σ ∈ Σ, então f(σ) = f(σ) e Z Σ f (σ)dPβ,h,ω_ΛN = Z ΣN f (σ)dP_Λβ,h,ω_N .

De agora em diante, denotaremos a extensão Pβ,h,ω_ΛN pelo mesmo símbolo P_Λβ,h,ω_N usado para a medida original.

Definição 1.9. _{Seja {P}N, N = 1, 2, . . .} uma sequência de medidas de pro-

babilidade em M (Σ). Dizemos que uma medida de probabilidade P ∈ M (Σ) é o limite fraco de {PN, N = 1, 2, . . .}, denotado por P =w-limN →∞PN, se

para toda f ∈ C (Σ) lim N →∞ Z Σ f (σ)dPN = Z Σ f (σ)dP.

Se um limite fraco P existe, então é único. Se definirmos em Σ a métrica ||σ − ˜σ|| =X

j∈N

|σj − ˜σj|2−j,

(Σ,||.||) é um espaço métrico compacto e M (Σ) também é compacto com res- peito a convergência fraca, portanto qualquer sequência de medidas de Gibbs a volume finito {Pβ,h,ω

Λ , Λ↑ N} com condição externa arbitrária {ω(Λ)} pos-

sui subsequência convergente nP_Λβ,h,ω(Λ′ ′)

o

. É natural investigar a dependên- cia dos limites em relação à escolha de condições externas. Para diferentes valores de β e h, situações distintas ocorrem:

• existe um único limite fraco, independente da escolha da condição ex- terna e o limite é invariante por translação;

• O limite fraco depende da escolha da condição externa e pode ou não ser invariante por translação, termo que será definido adiante.

Considere o conjunto de limites G0 β,h=  P ∈ M (Σ) : P = w- lim Λ′_↑NP β,h,ω(Λ′₎ Λ′  ,

onde {Λ′_{} é uma sequência crescente de subconjuntos de N cuja união é N e}

ω(Λ′_{) é uma condição externa para Λ}′_{. Definimos G}

β,h como sendo o fecho

da envoltória convexa de G0

β,h, ou seja, é o fecho com respeito à convergência

fraca do conjunto de combinações convexas ( P _{∈ M (Σ) : P =} k X j=1 λjPj, λj > 0, k X j=1 λj = 1 e Pj ∈ Gβ,h0 ) .

Cada medida em Gβ,hé chamada uma medida de Gibbs a volume infinito.

Quando Gβ,h possui mais de uma medida, dizemos que ocorre uma transição

Definição 1.10. _{Seja T : Σ → Σ o shift, definido por T (σ)}j = σj+1, para

j ∈ N. Uma medida de probabilidade P em (Σ, B(Σ)) é dita ser invariante por translação, se o shift T preserva P , ou seja, P (B) = P (T−1_{(B)), para}

todo B ∈ B(Σ).

Denotamos por MS(Σ) o conjunto das medidas de probabilidade invari-

antes por translação em B(Σ).

Cada medida de Gibbs a volume infinito que é invariante por translação é chamada de uma fase.

Definição 1.11. _{Seja {P}N, N = 1, 2, . . .} uma sequência de medidas de pro-

babilidade em (Σ, B(Σ)). Um subconjunto L de C (Σ) é chamado de classe determinante de convergência se a existência do limite limN →∞

R

Σf dPN para

cada f ∈ L implica que {PN, N = 1, 2, . . .} converge fracamente para alguma

medida de probabilidade P .

Como Σ é compacto, o próprio C (Σ) é uma classe determinante de con- vergência. Outro exemplo conhecido é o subconjunto formado por todas as funções p(σ) = Q_i∈Bσi, se B ∈ N é finito e não vazio e p(σ) = 1, se B é

vazio. Será importante para a prova da existência da medida de Gibbs a volume infinito uma variação desta classe determinante de convergência. Lema 1.2.

Para B um subconjunto finito e não vazio de N, defina fB(σ) =

Y

i∈B

1

2(1 + σi) e fB(σ) = 1, se B = ∅.

O subconjunto de C (Σ) formado por todas as funções fB é uma classe deter-

minante de convergência. Escreveremos h·iβ,h,ω

ΛN para a esperança com respeito à medida de Gibbs

P_Λβ,h,ω_{N . O Lema 1.3 relaciona m(β, h), m(β, +) e m(β, −) com as quantidades} hσiiβ,h,+ e hσiiβ,h,−, definidas por hσiiβ,h,+ = lim N →∞hσii β,h,+ ΛN e hσii β,h,−_{= lim} N →∞hσii β,h,+ ΛN ,

e mostra também que os números reais hσiiβ,h,± são na verdade médias com

Lema 1.3.

Seja V uma interação ferromagnética e somável em N. (a) Para β > 0 e h 6= 0 hσiiβ,h,+ = m(β, h) =− ∂f ∂h(β, h) =hσii β,h,−_. (b) Para β > 0 e h = 0, hσiiβ,0,+ = m(β, +) =− ∂f ∂h+(β, 0) ≥ 0, hσiiβ,0,− = m(β,−) = − ∂f ∂h−(β, 0)≤ 0

e pelo item (a) do Teorema 1.5, hσiiβ,0,+ =−hσiiβ,0,−. A magnetização

espontânea ocorre em β se, e somente se hσiiβ,0,+ = m(β, +) > 0.

Para provar que os limites fracos Pβ,h,+ _{= w- lim} N →∞P β,h,+ ΛN e P β,h,− ₌ w- lim N →∞P β,h,−

ΛN existem, basta provar que para qualquer conjunto finito e não

vazio B ⊂ N, os limites limN →∞hfBiβ,h,+_ΛN e limN →∞hfBiβ,h,−_ΛN existem. O Te-

orema 1.7 garante a existência de Pβ,h,+ _{e P}β,h,− _{e relaciona a ocorrência}

de transição de fase de primeira ordem com a existência de magnetização espontânea.

Teorema 1.7.

Seja V uma interação ferromagnética somável em N. (a) Para cada β > 0, e h real, os limites fracos

Pβ,h,+ = w- lim N →∞P β,h,+ ΛN e P β,h,− _{= w- lim} N →∞P β,h,− ΛN

existem e são invariantes por translação. Portanto Gβ,h e Gβ,h∩ MS

são não vazios.

(b) Pβ,h,+ _{é igual a P}β,h,− _{se, e somente se} ∂f

∂h(β, h) existe. Para estes

valores de β e h, definimos Pβ,h_{≡ P}β,h,+ _{= P}β,h,−_.

(c) Se ∂f

∂h(β, h) existe, então P

β,h _{é a única medida em G}

β,h e portanto em

(d) Para β > βc, Pβ,0,+ 6= Pβ,0,−. De fato, Z Σ σidPβ,0,+ = m(β, +) > 0, Z Σ σidPβ,0,− = m(β,−) < 0.

Então para β > βc e h = 0 uma transição de fase de primeira ordem

ocorre.

(e) Para β > βc, a interseção Gβ,0∩ MS(Σ) contém todas as combinações

λPβ,0,++ (1− λ)Pβ,0,−_{, 0≤ λ ≤ 1.}

Demonstração.

(a) Basta provar que os limites hfBiβ,h,+ = lim N →∞hfBi β,h,+ ΛN e hfBi β,h,− ₌ lim N →∞hfBi β,h,− ΛN existem.

Para B um subconjunto não vazio e finito de N, escolha um inteiro N(B), tal que B ⊂ ΛN, ∀N > N(B). Então fB é não-decrescente em ΣN,

sempre que N ≤ N(B). A desigualdade FKG garante que hfBiβ,h,+ΛN é

uma sequência não-decrescente e hfBiβ,h,−ΛN é uma sequência não-crescente,

quando N → ∞, que garante a existência dos limites. De fato, para hi,

definido em (1.5) o campo externo h pode ser escolhido como sendo de- pendente do sítio i, e será denotado por ˜hi. Se ˜hi tende a ∞, então hi

tende a ∞. Escolha N′ _{> N ≥ N(B), então Λ}

N ⊂ ΛN′. Fazendo h_i

tender a ∞, para cada i ∈ ΛN′ \ Λ_N, a desigualdade FKG implica que

hfBiβ,h,+_Λ′

N ≤ hfBi

β,h,+

ΛN . Analogamente, prova-se que hfBi

β,h,− Λ′

N ≥ hfBi

β,h,− ΛN .

Além disso, hfB+kiβ,h,+ = limN →∞hfB+kiβ,h,+ΛN também existe, para qual-

quer k ∈ N. Como a interação V (j −i) é invariante por translação, então hfB+kiβ,h,+ΛN+k =hfBi

β,h,+

ΛN . Passando ao limite quando N → ∞,

lim N →∞hfB+ki β,h,+ ΛN = lim_{N →∞}hfB+ki β,h,+ ΛN+k = lim_{N →∞}hfBi β,h,+ ΛN =hfBi β,h,+_.

Portanto os limites fracos Pβ,h,+ _{e P}β,h,− _{existem e são invariantes por}

(b) Se ∂f

∂h(β, h) existe, então β > 0 e h 6= 0 ou 0 < β < βc e h = 0. Em

ambos os casos, o Lema 1.3 garante que hσiiβ,h,+ = lim N →∞hσii β,h,+ ΛN = m(β, h) =− ∂f ∂h(β, h) = lim N →∞hσii β,h,− ΛN =hσii β,h,−_.

Uma propriedade da classe determinante de convergência é que para qualquer B ⊂ N finito e não vazio,

0 ≤ hfBiβ,h,+− hfBiβ,h,− ≤ |B| · hσiiβ,h,+− hσiiβ,h,−
,

ou seja, hfBiβ,h,+ = hfBiβ,h,− para qualquer B (veja [10], página 120).

Portanto Pβ,h,+_{= P}β,h,−_.

Suponha que Pβ,h,+ _{= P}β,h,− _{para quaisquer h real e β > 0. Se h 6= 0,}

então ∂f

∂h(β, h) existe pelo item (a) do Lema 1.1. Se h = 0, então

hσiiβ,0,+ = lim N →∞ Z Σ σidPΛβ,0,+N = Z Σ σidPβ,0,+ = Z Σ σidPβ,0,− = lim N →∞ Z Σ σidPΛβ,0,−N =hσii β,0,−_.

Pelo item (b) do Lema 1.3, segue que ∂f

∂h(β, 0) existe.

(c) Para qualquer intervalo ΛN contendo B, e qualquer condição externa ω,

hfBiβ,h,−_ΛN ≤ hfBiβ,h,ω_ΛN ≤ hfBiβ,h,+_ΛN .

Potanto, se Pβ,h,+ _{= P}β,h,− _{= P}β,h_{, então os conjuntos G}

β,h e Gβ,h∩ MS

possuem uma única medida Pβ,h_.

(d) Para β > βc, ∂f_∂h(β, 0) não existe. Entãohσiiβ,0,+ 6= hσiiβ,0,−, que implica

em Pβ,0,+_{6= P}β,0,−_{. Portanto do item (b) do Lema 1.3,}

hσiiβ,0,+= lim N →∞ Z Σ σidPΛβ,0,+N = Z Σ σidPβ,0,+ = m(β, +) > 0.

O mesmo argumento é válido para hσiiβ,0,−.

(e) Como Gβ,0∩ MS(Σ) é convexo, então contém todas as medidas λPβ,0,++

O resultado a seguir será importante no desenvolvimento de um dos re- sultados do Capítulo 2. Sua demonstração se encontra em [21].

Lema 1.4. Sejam β > βc, h = 0 e interação V positiva, invariante por

translação e somável. A medida de Gibbs a volume infinito Pβ,0 _{é tal que}

Pβ,0 = 1 2P β,0,+_{+ P}β,0,−_{ .} Em particular, hσBiβ,0= 1 2hσBi β,0,+₊ hσBiβ,0,− , (1.31)

para qualquer B ⊂ N, não-vazio e finito.

In document BIB-it: en verktøykasse for BIBTEX (sider 82-85)