Vegbygging

Com o intuito de dar mais fundamentação e prática com esses espaços, apresentaremos desde já alguns exemplos relevantes de espaços uniformes.

Proposição 6.15 (Gerada (Lembrar Exemplo3.6) por uma relação de equivalência (ver Proposição6.7)). Dada uma relação H ⊂ X × X então o filtro D = F (H) gerado por H é uma uniformidade diagonal em X se, e somente se, H é uma relação de equivalência em X.

Demonstração. Vejamos a necessidade. Se F (H) é uniformidade diagonal, então como H ∈ F (H), (D1) diz que ∆ ⊂ H, com isso já teremos H ⊂ H[2]_{. Prosseguindo (D2)}

garante que existe D ∈ F (H) de modo que D[2] _{⊂ H; logo H}[2] _{⊂ D}[2] _{⊂ H ⊂ H}[2]

e, portanto, H = H[2]_{. Agora (D3) garante que existe D ∈ F (H) com D}−1 _{⊂ H,}

disto H−1 _{⊂ D}−1 _{⊂ H. Por outro lado, como H ∈ F (H) e F (H) é uma uniformidade}

diagonal, podemos dizer que H−1 _{∈ F (H). Deste modo H ⊂ H}−1_{. Assim, H = H}−1_.

Então a Proposição6.7 garante que H é uma relação de equivalência.

Para a suficiência, mostremos que F (H) é uma uniformidade diagonal se H satisfaz as condições da caracterização da Proposição 6.7. Já sabemos que F (H) é um filtro em X × X. Temos que a propriedade (D1) se verifica devido à inclusão ∆ ⊂ H. Vejamos (D2) e (D3). Dado qualquer D ∈ F (H), então H ∈ F (H) satisfaz H[2] _{= H ⊂}

Como caso particular deste, seguem mais os seguintes exemplos: Exemplos 6.16.

• (Discreta e Trivial) X sempre pode ser munido de duas uniformidades. Uma dada pelo filtro gerado pela diagonal F (∆), chamada uniformidade diagonal discreta. A outra sendo o filtro gerado pelo espaço todo F (X × X) dita uniformidade trivial. • Se H = ∆∪∇ ⊂R×R onde ∇ = {(x, −x); x ∈ R} é a diagonal oposta, então F (H)

é uniformidade diagonal em R. De fato, temos H−1 _{= (∆ ∪ ∇)}−1 _{= ∆}−1 _{∪ ∇}−1_,

e como é fácil perceber ∇−1 _{= ∇, assim H}−1 _{= H. Agora resta apenas mostrar}

H = H[2]. Note primeiramente que ∇[2] = ∆, pois nesse caso ∆ = ∇ ◦ ∇−1 = ∇ ◦ ∇. Com isso e a Proposição 6.5 podemos escrever

H[2] _{= (∆ ∪ ∇)}[2] _{= ∆}[2]_{∪ (∆ ◦ ∇) ∪ (∇ ◦ ∆) ∪ ∇}[2] _{= ∆ ∪ ∇ = H,}

como precisávamos.

Exemplo 6.17. Para todo α ∈ R, considere os conjuntos da forma Qα = {(x, y); x ≥ α e y ≥ α} e Dα = ∆ ∪ Qα.

Nesse caso, afirmamos que a família B∨ _{= {D}

α; α ∈R} é base de uniformidade diagonal

(ver figura adiante). De fato, vejamos que ela é uma base de filtro. Tudo aqui é diferente do vazio, então basta ver a interseção. Observe que para quaisquer α e β em R, existe γ = max{α, β}, tal que Dγ ⊂ Dα∩ Dβ (vale igualdade inclusive). Agora vamos verificar

as propriedades da definição. Temos (D1) verificada por construção. Para comprovar (D2) tome qualquer α ∈ R e vejamos que Q[2]

α = Qα. De fato, (x, y) ∈ Q[2]α equivale

a existir z ∈ R de forma que {(x, z), (z, y)} ⊂ Qα. Isso significa que existe z ∈ R com

x ≥ α, z ≥ α e y ≥ α, ou seja x ≥ α e y ≥ α. Isso é equivalente a dizer (x, y) ∈ Qα,

assim ficou mostrado Q[2]

α ⊂ Qα ⊂ Q[2]α , como queríamos. Com isto em mente, veja que

pela Proposição 6.5,

D[2]_α = (∆ ∪ Qα)[2] = ∆[2]∪ (∆ ◦ Qα) ∪ (Qα◦ ∆) ∪ Q[2]α = ∆ ∪ Qα = Dα.

Isto é suficiente para mostrar (D2). Por fim veremos (D3). Para qualquer α ∈ R, é muito simples ver que Q−1

α = Qα. Deste modo, Dα−1 = (∆ ∪ Qα)−1 = ∆−1∪ Q−1α = ∆ ∪ Qα = Dα,

Exemplo 6.18. Procedendo de forma inteiramente análoga ao realizado anteriormente, considerando agora para todo β ∈ R os conjuntos do tipo

Pβ = {(x, y); x ≤ β e y ≤ β} e Eβ = Pβ∪ ∆

podemos dizer que B∧ _{= {E}

β; β ∈R} também é uma base de uniformidade diagonal em

R (ver figura adiante).

Os elementos dessas uniformidades podem ser visualizados no seguinte esboço:

Poderíamos cogitar a possibilidade de interseções e uniões de uniformidades resultarem em novas uniformidades. Mas isso não ocorre em geral, como vemos abaixo, nos contraexemplos sobre a reta.

Exemplo 6.19 (Contraexemplo para a interseção). É simples ver que para todo x ∈ I = [0, 1] a relação binária em I dada por Hx = ∆ ∪ {(0, x), (x, 0)} é uma relação de

equivalência. Portanto, temos uma uniformidade diagonal Dx dada pelo filtro F (Hx),

conforme já sabemos pela Proposição6.15. Mas observe que para x 6= y em I\{0} a família D _{= Dx∩ Dy} não é uma uniformidade diagonal. De fato, caso contrário teríamos, devido à Proposição 3.7, D = F (Hx ∪ Hy). Mas deste modo, deveríamos ter necessariamente

que H = Hx∪ Hy fosse uma relação de equivalência em I. Mas isso é impossível, já que

H não é idempotente. Com efeito, temos {(x, 0), (0, y)} ⊂ H, logo (x, y) ∈ H[2]_{, mas é}

Exemplo 6.20 (Contraexemplo para a união). Para ver que a união também não se comporta bem, tome as uniformidades diagonais D∨ _{e D}∧ _{dos Exemplos 6.17 e 6.18.}

Vejamos que D∨ _{∪ D}∧ _{nem ao menos pode ser base de filtro. Para isso, consideramos}

α > β. Assim temos Dα ∈ D∨∪D∧ e Eβ ∈ D∨∪D∧, mas Dα∩Eβ = (Qα∪∆)∩(Pβ∪∆) =

(Qα∩ Pβ) ∪ (Qα∩ ∆) ∪ (∆ ∩ Pβ) ∪ (∆ ∩ ∆) = ∆, pois Qα∩ Pβ = ∅ (com efeito, se α > β,

então Qα ⊂ ∁Pβ) e (Qα ∩ ∆) ⊂ ∆ assim como (∆ ∩ Pβ) ⊂ ∆. No entanto, não existe

nenhum elemento de D∨_{, assim como nenhum de D}∧_{, que esteja contido em ∆.}

A interseção de duas uniformidades é sempre uma família de conjuntos menos fina que ambas as uniformidades. A união de duas uniformidades é uma família de con- juntos mais fina simultaneamente que as uniformidades consideradas. Mas, como vimos, a princípio não podemos afirmar nada além disto. Para obter, agora sim, uniformidades diagonais com uma propriedade inclusive mais forte do que esses refinamentos, precisa- mos tratar de supremo e ínfimo de uniformidades diagonais, conceitos que serão vistos em subseções posteriores.

Proposição 6.21 (Uniformidade Diagonal (Pseudo)Métrica). Dado um conjunto X e qualquer pseudométrica ρ neste conjunto, então denotando por Dǫ

ρ = {(x, y); ρ(x, y) < ǫ}

teremos que a família Bρ = {Dǫρ; ǫ > 0} é uma base de uniformidade diagonal.

Demonstração. Quanto a base de filtro, temos Bρ 6= ∅ e dados ǫ1, ǫ2 > 0 então ǫ =

min{ǫ1, ǫ2} satisfaz Dǫρ ⊂ Dǫ

1

ρ ∩ Dǫ

2

ρ . A propriedade (D1) é verificada pois já que para

todo x ∈ X vale ρ(x, x) = 0, então ∆ ⊂ Dǫ

ρ. Quanto a (D2), dado Dǫρ, ao considerar D

ǫ 2 ρ teremos D2ǫ ρ ◦ D ǫ 2

ρ ⊂ Dǫρ, pela desigualdade triangular de ρ. Enfim, vale Dǫρ= (Dǫρ)−1, pela

simetria de ρ, logo verificamos (D3).

∴ Bρ é uma base de uniformidade diagonal em X.

 Esse exemplo é o momento em que devem ficar claras as semelhanças que possuem os espaços uniformes perante aos pseudométricos. Na demonstração anterior fica bastante explícita as relações entre as propriedades que definem ambos os tipos de espaços. Através deste específico caso, podemos afirmar que ao tratar desta teoria pensando nos

conjuntos do tipo D[x] (conforme Definição6.1) como sendo ǫ-vizinhanças (ou bolas) em um espaço métrico pode, em alguns momentos, familiarizar a demonstração de vários resultados desta teoria com os realizados em espaços pseudométricos. Isto vai ser dito posteriormente quando tratarmos de uniformidade pela linguagem através de coberturas. Prosseguindo, podemos considerar R como um espaço uniforme através da métrica usual ρ(x, y) = |x − y|.

Observação 6.22. Uma (pseudo) métrica ρ em um conjunto X também fornece outros tipos de uniformidades. Por exemplo, é simples verificar que a família de conjuntos da forma Eǫ

ρ= {(x, y); ρ(x, y) ≤ ǫ} também é uma base de uniformidade diagonal. Observe

que para todo x ∈ X, no caso anterior temos Dǫ

ρ[x] = Bρ(x, ǫ) sendo uma bola aberta. Por

outro lado, aqui temos Eǫ

ρ[x] = Bρ[x, ǫ] sendo uma bola fechada. No contexto topológico,

isto ressalta uma diferença considerável entre esses tipos de conjuntos, uma vez que o primeiro será aberto e o segundo um fechado na topologia métrica envolvida.

É claro que um grupo topológico também possui uniformidade associada, pois não poderia ser diferente numa discussão motivada por essa classe. No entanto, não vamos apresentar nesse momento (apesar de soar oportuno) como é essa uniformidade, em vez disso deixaremos para tratar desta questão numa seção exclusiva (Seção11) onde além de uniformidade teremos a oportunidade de discutir o conceito de admissibilidade nesse tipo de espaço.

Partimos agora para fornecer definições básicas envolvendo essas estruturas como, por exemplo, topologia uniforme e função uniformemente contínua. O ponto a ser observado aqui é que devemos optar por definir os conceitos fundamentais todos em alguma linguagem fixa de uniformidade e nas outras mostrar caracterizações. Optamos aqui pela linguagem de uniformidade diagonal como ponto de partida para as definições por dois motivos: primeiro, historicamente foi assim que ocorreu, uma vez que Weil foi quem definiu esses entes dessa forma. Segundo, na maneira como serão mostradas as equivalências entre os tipos de uniformidades envolvidas neste trabalho, deixa bastante clara as caracterizações nas demais linguagens.

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