O ministério da Educação brasileiro elaborou, com o auxílio de profissionais de cada área do conhecimento, alguns documentos oficiais para nortearem a educação em nosso país. Tais documentos apresentam recomendações para o trabalho escolar no Ensino Fundamental e Médio. Em nosso trabalho, faremos uso desses documentos a fim de obtermos referências nacionais sobre o ensino de matemática, mais especificamente, sobre o ensino de álgebra, provas e demonstrações. Dentre os documentos oficiais, utilizaremos em nossa pesquisa os intitulados Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCNEF) de 1998, Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM) de 2002, Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares do Ensino Médio (PCN+) de 2002 e Orientações Curriculares para o Ensino Médio de 2006.
Tentando buscar algumas informações sobre as raízes do ensino de provas e demonstrações na educação básica8, fizemos uma leitura dos PCNEF (1998). Nesse documento encontramos uma referência ao ensino de provas e demonstrações como parte integrante de atividades empíricas de descoberta de conceitos:
Apesar da força de convencimento para os alunos que possam ter esses experimentos com material concreto ou com a medição de um desenho, eles não se constituem provas matemáticas. Ainda que essas experiências
________________
8 Segundo o Ministério da Educação, a Educação Básica brasileira é composta pela Educação infantil, Ensino
Fundamental e Ensino Médio (disponível em: http://portal.mec.gov.br/seb/index.php?option=com_content&task =view&id=715).
possam ser aceitas como “provas” no terceiro ciclo, é necessário, no quarto ciclo, que as observações do material concreto sejam elementos desencadeadores de conjecturas e processos que levem às justificativas mais formais (BRASIL, 1998, p. 86).
Com o foco voltado para o Ensino Médio, fizemos uma leitura dos PCNEM (2002), PCN+ (2002) e das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006).
Nos PCNEM (2002) encontramos indícios da valorização do raciocínio dedutivos ao se tratar de questões da matemática:
A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas (BRASIL, 2002, p. 40).
Também encontramos nos PCNEM (2002) elementos que mostram uma preocupação com o ensino de provas e demonstrações:
Contudo, a Matemática no Ensino Médio não possui apenas o caráter formativo ou instrumental, mas também deve ser vista como ciência, com suas características estruturais específicas. É importante que o aluno perceba que as definições, demonstrações e encadeamentos conceituais e lógicos têm a função de construir novos conceitos e estruturas a partir de outros e que servem para validar intuições e dar sentido às técnicas aplicadas (BRASIL, 2002, p. 40).
Nos PCN+ (2002) encontramos elementos que reforçam a importância do ensino e aprendizagem de provas e demonstrações:
Para alcançar um maior desenvolvimento do raciocínio lógico, é necessário que no Ensino Médio haja um aprofundamento dessas idéias no sentido de que o aluno possa conhecer um sistema dedutivo, analisando o significado de postulados e teoremas e o valor de uma demonstração para fatos que lhe são familiares. Não se trata da memorização de um conjunto de postulados e de demonstrações, mas da oportunidade de perceber como a ciência Matemática valida e apresenta seus conhecimentos, bem como propiciar o desenvolvimento do pensamento lógico dedutivo e dos aspectos mais estruturados da linguagem matemática (BRASIL, 2002, p. 124).
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) ratificam as idéias sobre o ensino de provas e demonstrações no Ensino Médio.
Apesar dos documentos analisados tratarem do ensino de provas e demonstrações no Ensino Fundamental e Médio, percebemos que há uma valorização desses temas quando os documentos tratam de conteúdos de
geometria. Pouco é mencionado sobre as relações desses temas com os conteúdos de álgebra.
O ensino de Geometria no ensino fundamental está estruturado para propiciar uma primeira reflexão dos alunos através da experimentação e de deduções informais sobre as propriedades relativas a lados, ângulos e diagonais de polígonos, bem como o estudo de congruência e semelhança de figuras planas. [...] Toda vez que um campo do conhecimento se organiza a partir de algumas verdades eleitas, preferivelmente poucas, simples e evidentes, então se diz que esse campo está apresentado de forma axiomática. Esse é o caso, por exemplo, da geometria clássica (BRASIL, 2002, p. 125).
Algumas das pesquisas que lemos e discutimos em tópicos anteriores abordaram a problemática das provas e demonstrações do ponto de vista da geometria. Esse foi, inclusive, um dos motivos que nos levou a utilizar a visão da álgebra. Para reforçar ainda mais essa necessidade, notamos nos documentos oficiais da educação brasileira que analisamos, uma valorização desta temática em geometria. Nós concordamos que a geometria seja um “terreno fértil” para o ensino de provas e demonstrações na matemática escolar, porém consideramos prejudicial a restrição desse ensino somente a conteúdos geométricos. Tal restrição poderia, por exemplo, fazer com que o aluno entenda que só existem teoremas geométricos ou que somente as propriedades geométricas devem ser justificadas com certo rigor matemático.
É fácil perceber porque a geometria é uma área da matemática boa para se trabalhar com as provas e demonstrações. É uma questão histórica. Um dos primeiros documentos a apresentar uma estrutura dedutiva, com postulados, axiomas, definições e demonstrações logicamente organizadas foram Os Elementos de Euclides no século III a.C. aproximadamente. Essa obra é uma sistematização dos conhecimentos matemáticos da época e contém o modelo de geometria admitido até hoje no ensino não só brasileiro, mas mundial. Contudo, a matemática se desenvolveu e a álgebra também. Hoje somos privilegiados por dispor de uma linguagem unificadora e universal para a apresentação de propriedades matemáticas. Sem contar, que até mesmo as demonstrações da geometria utilizam elementos da álgebra. É muito difícil dissociar a linguagem algébrica das demonstrações. Então, por que não ensinar nossos alunos provas e demonstrações também em conteúdos de álgebra? O que isso implicaria? Quais conhecimentos seriam necessários para os alunos e professores terem? Questões como essas
merecem ser discutidas, visto que o ato de demonstrar é essencialmente importante para a matemática. Infelizmente nossa pesquisa não trará respostas para todas elas, mas vale como momento de reflexão.
Após a discussão sobre o tratamento dado às provas e demonstrações nos documentos oficiais da educação brasileira, verificaremos de que maneira o ensino de álgebra é abordado nesses mesmos documentos.
Para desenvolvermos uma noção de como esses documentos enxergam o ensino de álgebra, nós resolvemos iniciar nossa pesquisa pelos PCNEF (1998).
Percebemos que para os PCNEF (1998) o ensino de álgebra no Ensino Fundamental está ligado ao ensino das várias facetas que as letras podem assumir. Segundo os PCNEF (1998), a partir de atividades que envolvam generalização de padrões, resolução de equações, relações entre grandezas e a manipulação de símbolos abstratos, os alunos podem construir um significado mais amplo e conciso sobre o que é a álgebra. Vejamos o quadro proposto pelo documento:
Figura 05: Quadro sobre a álgebra no Ensino Fundamental (Brasil, 1998, p. 116).
Nos PCNEF (1998), percebemos que a álgebra é encarada como um objeto da matemática que faz com que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização, além de se constituir como uma ferramenta para resolver problemas. O documento enfatiza que o ensino de álgebra deve ser iniciado nas séries iniciais do 3º ciclo9, com o que, intitulam de “pré-álgebra”. Nessa fase da
escolarização, os PCNEF (1998) indicam um trabalho algébrico ligado à aritmética generalizada. Esse trabalho deve prosseguir gradativamente até as séries finais do Ensino Fundamental, momento em que trabalharemos a álgebra sobre o enfoque funcional.
Como o foco de nossa pesquisa está voltado ao Ensino Médio, fizemos uma análise dos PCNEM (2002), dos PCN+ (2002) e das Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) com o intuito de verificar como o ensino de álgebra é tratado nesses documentos.
Os PCNEM (2002) tratam do ensino de matemática de uma maneira geral, atendo-se mais aos objetivos da matemática como área de conhecimento para os alunos do Ensino Médio. Nesse documento aparece uma sugestão de divisão do ensino de matemática em áreas, visando o aprofundamento das questões tratadas no Ensino Fundamental e a formação do aluno como cidadão:
Nesse sentido, é preciso que o aluno perceba a Matemática como um sistema de códigos e regras que a tornam uma linguagem de comunicação de idéias e permite modelar a realidade e interpretá-la. Assim, os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da Matemática especialmente ligadas às aplicações (BRASIL, 2002, p. 40).
Nos PCN+ (2002) encontramos maiores explicações a respeito da divisão do ensino de matemática em áreas temáticas, bem como uma sugestão da maneira como os conteúdos podem ser trabalhados.
Uma das áreas temáticas sugeridas pelos PCN+ (2002) intitula-se “Álgebra: números e funções”. Nessa área temática sugere-se o seguinte tratamento da álgebra:
No ensino médio, esse tema trata de números e variáveis em conjuntos infinitos e quase sempre contínuos, no sentido de serem completos. Os objetos de estudo são os campos numéricos dos números reais e, eventualmente, os números complexos e as funções e equações de variáveis ou incógnitas reais (BRASIL, 2002, p. 120).
Os PCN+ (2002) valorizam demasiadamente o ensino de funções e consideram o ensino de trigonometria como parte integrante da área temática “Álgebra: números e funções”. Além disso, esse documento valoriza o ensino das seqüências vinculado ao ensino das funções e sugerem a extensão dos
conhecimentos matemáticos do aluno por meio do incentivo ao ensino das equações polinomiais e sistemas lineares.
As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006), último documento oficial publicado pelo governo, já oferece uma divisão diferente do ensino da matemática em relação aos PCN+ (2002). Essa nova divisão não tem como finalidade a decomposição da matemática em blocos desconectados e sim uma melhor organização dos conteúdos para o ensino:
Neste documento, os conteúdos básicos estão organizados em quatro blocos: Números e operações; Funções; Geometria; Análise de dados e
probabilidade. Isso não significa que os conteúdos desses blocos devam ser
trabalhados de forma estanque, mas, ao contrário, deve-se buscar constantemente a articulação entre eles (BRASIL, 2006, p. 70).
Apesar dessa nova divisão proposta nas Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006), no que diz respeito à álgebra, o ensino das funções continua tendo maior destaque.
Com essa breve análise dos documentos oficiais, percebemos que no Ensino Médio a álgebra também é considerada uma área da matemática que possibilita o estudo das letras em suas várias facetas. Apesar disso, esses documentos sugerem para o Ensino Médio um excessivo trabalho com funções, o que faz a concepção funcional ter mais destaque do que as outras propostas por Usiskin (1995). A sugestão do trabalho com as outras facetas da álgebra – letra como generalizadora, letra como incógnita e letra como sinal no papel – ao longo do Ensino Médio aparece de maneira tímida em temas como Conjuntos Numéricos, Matrizes e Determinantes, Sistemas Lineares e Equações Polinomiais.