Segundo BOYER (1996, p. 176), Jordanus Nemorarius (séc. XIII) escreveu livros de aritmética, geometria e astronomia, e um destes denominado Arithmetica é significativo, especialmente por usar letras em vez de numerais para denotar
números, o que torna possível enunciar teoremas algébricos gerais. BOYER (1996, p.176), comenta que:
Nos teoremas aritméticos de Os elementos VII-IX de Euclides os números eram representados por segmentos de retas a que eram associadas letras, e as provas geométricas na Álgebra de al khowarizmi usavam diagramas com letras; mas todos os coeficientes nas equações usadas na Álgebra são números específicos, sejam representados em numerais, sejam escritos em palavras. A idéia de generalidade está contida na exposição de al-khowarizmi, mas ele não tinha um método para exprimir algebricamente as proposições gerais que aparecem tão claramente em geometria. Na Arithmetica o uso de letras sugere o conceito de “parâmetro”, mas os sucessores de Jordanus em geral abandonaram o uso de letras.
A história da matemática, em especial da álgebra, mostra a importância da escrita, seja por meio de segmentos, numeral ou letras para justificar o seu desenvolvimento. Em nosso trabalho, o entendimento histórico desta álgebra nos permite compreender e justificar, em parte, o uso de parâmetros em uma álgebra simbólica.
Segundo EVES (2004, p.308), somente no século XVI, François Viète (1540-1603) ou, em latim, Franciscus Vieta, considerado o maior matemático francês da época, apresentou em um dos seus trabalhos, denominado In artem, o desenvolvimento do simbolismo algébrico:
Neste texto Viète introduziu a prática de se usar vogais para representar incógnitas e consoantes para representar constantes. A convenção atual de se usar as últimas letras do alfabeto para indicar as incógnitas e as primeiras para as constantes foi introduzida por Descartes em 1637.
No decorrer da seqüência didática, apresentamos aos alunos este momento histórico, que vai de Viète a Descartes, no que se refere ao uso de incógnitas e parâmetros em equações.
BOYER (1996, p.208), sobre François Viète, comenta que:
Sem dúvida foi à álgebra que Viète deu suas mais importantes contribuições, pois foi aqui que chegou mais perto das idéias modernas. […] Não poderia haver grande progresso na teoria da álgebra enquanto a preocupação principal fosse a de encontrar a “coisa” numa equação
com coeficientes numéricos específicos. Tinham sido desenvolvidos símbolos e abreviações para uma incógnita e suas potências, bem como para operações e a relação de igualdade. Stifel tinha ido ao ponto de escrever AAAA para indicar a quarta potência de uma quantidade incógnita; no entanto não tinha um esquema para escrever uma equação que pudesse representar qualquer dentre uma classe toda de equações. [...] Um geômetra num diagrama, poderia fazer ABC representar todos os triângulos, mas um algebrista não tinha um esquema correspondente para escrever todas as equações de segundo grau.
Sobre esta álgebra, nos questionamos se não é isso que se reproduz com os alunos. Quando se resolve uma equação cartesiana com coeficientes numéricos específicos, a preocupação principal é a de encontrar o valor da incógnita, como apresentado historicamente? Não temos aqui a pretensão de responder, mas evidenciar que, no ensino de equações algébricas, trabalha-se bastante com a noção de incógnita e muito pouco ou raramente com a noção de parâmetro.
Ainda segundo BOYER (1996, p. 208):
Desde os dias de Euclides que letras tinham sido usadas para representar grandezas, conhecidas ou desconhecidas, e Jordanus fizera isso constantemente; mas não havia meios de distinguir grandezas supostas conhecidas das quantidades desconhecidas que devem ser achadas. Aqui Viète introduziu uma convenção tão simples quanto fecunda. Usou uma vogal para representar, em álgebra, uma quantidade supostamente desconhecida, ou indeterminada, e uma consoante para representar uma grandeza ou números supostos conhecidos ou dados. Aqui encontramos, pela primeira vez na álgebra, uma distinção clara entre o importante conceito de parâmetro e a idéia de uma quantidade desconhecida.
Vemos que, somente no século XVI, Viète estabeleceu uma diferenciação na álgebra simbólica entre grandezas conhecidas e desconhecidas e, pela primeira vez, a denominação que uma constante (quantidade conhecida) numa equação representada por uma letra denomina-se parâmetro.
René Descartes (1596-1650), na sua obra La géométrie, em 1637, introduz o simbolismo para as equações, com o uso de letras do começo do alfabeto para parâmetros e do fim para as incógnitas; a adaptação da notação exponencial a essas letras e o uso dos símbolos germânicos + e -, simbolismo
muito próximo do usado nos dias atuais. No entanto, enquanto consideramos as incógnitas e os parâmetros como números, Descartes pensava neles como segmentos, como relata BOYER (1996, p. 232):
Se, pois, queremos resolver qualquer problema, primeiro supomos a solução efetuada, e damos nomes a todos os segmentos que parecem necessários à construção – aos que são desconhecidos e aos que são conhecidos. Então, sem fazer distinção entre segmentos conhecidos e desconhecidos, devemos esclarecer a dificuldade de modo que mostre mais naturalmente as relações entre esses segmentos, até conseguirmos exprimir uma mesma quantidade de dois modos. Isso constituirá uma equação (numa única incógnita) pois os termos de uma dessas expressões são juntas iguais aos termos da outra.
Neste momento histórico, Descartes, na primeira metade do século XVII,
apresenta finalmente o que usamos hoje: as primeiras letras do alfabeto (a, b, c, d,...) representando os parâmetros e as últimas (x,y,z,t,...) representando
as incógnitas numa equação cartesiana. Percebemos também uma primeira mudança de quadros, do geométrico para o algébrico, ou conversão de registros: de uma representação gráfica para uma representação simbólico-algébrica.
Sobre quantidades desconhecidas, é importante distinguir o pensamento entre Viète e Descartes. Este último usava quantidades desconhecidas como
variável e Viète como incógnita. (SILVA, 1994)7