Tal como o próprio nome sugere, os acelerómetros têm como objetivo medir acelerações, e a sua saída é tipicamente expressa em relação à constante de aceleração gravítica terrestre (g).
Estes sensores podem ser construídos de várias formas, mas todos partilham uma estrutura básica que consiste numa massa inercial suspensa por um braço de natureza idêntica ao de uma mola (i.e, obedecendo à Lei de Hooke) e por um amortecedor em série.
Figura 8-Estrutura básica de um acelerómetro (adaptado de [25]).
Quando ocorre uma aceleração, efetuando a leitura do deslocamento da massa inercial, é possível calcular a aceleração ocorrida pela segunda lei de Newton:
15
𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 (4)
Este conjunto representa um sistema mecânico de 2ª ordem. Considerando todas as forças a atuar na massa que produzem uma aceleração 𝑥̈:
𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎− 𝐹𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑒𝑐𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜− 𝐹𝑚𝑜𝑙𝑎 = 𝑚𝑥̈ (5)
𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎= 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 (6)
Onde k é a constante da mola, c o coeficiente de amortecimento e x o deslocamento da massa. 𝑥̇ 𝑒 𝑥̈ representam a primeira e segunda derivada do deslocamento (x) respetivamente. Se considerarmos a aceleração aplicada como entrada e o deslocamento da massa inercial como saída, podemos reorganizar a equação 6 de forma a obter a função transferência [25]. 𝐹𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑥̈ + 𝑐𝑥̇ + 𝑘𝑥 (7) 𝑎 = 𝑥̈ + 𝑐 𝑚𝑥̇ + 𝑘 𝑚𝑥 (8)
Aplicando a transformada de Laplace na equação 8 e assumindo as condições iniciais 𝑥0 = 0 𝑒 𝑥̇0 = 0, obtém-se a função transferência:
𝐺𝑚(𝑠) = 𝑥(𝑠) 𝑥̈(𝑠)= 𝑆𝑚 𝜔𝑛2 𝑠2+ 2𝜉𝜔 𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2 (9) Onde:
𝜔𝑛 = √𝑚𝑘 é a frequência natural da estrutura;
𝜉 =12𝑐√𝑚𝑘 é a relação de amortecimento;
𝑆𝑚 =𝑚𝑘 representa a sensibilidade mecânica.
A resposta do sistema é determinada pela relação de amortecimento (ξ). Se esta for baixa, existirá overshoot e uma oscilação, mas o seu tempo de subida será menor. Com uma maior relação de amortecimento não existirá overshoot, porém o seu tempo de subida será mais lento [27].
Existem três principais tipos de acelerómetros MEMS: os piezoelétricos, os piezoresistivos e os capacitivos. A principal diferença entre estes está essencialmente na forma como detetam a posição relativa da massa inercial do sensor.
16
Os piezoelétricos caracterizam-se por o material da mola ser piezoelétrico ou por a mola estar revestida por um fino filme piezoelétrico, fornecendo assim uma tensão que está em proporção direta com o deslocamento [28]. Por sua vez, os acelerómetros piezoresistivos medem o deslocamento através de piezoresistências colocadas nas molas do sensor. A variação do valor destas resistências permite estabelecer uma relação capaz de permitir o cálculo da variação do posicionamento da massa inercial.
Figura 9- Estrutura de um acelerómetro MEMS capacitivo.
Por fim, um dos métodos mais comuns para construção de acelerómetros MEMS é o capacitivo, onde existe um conjunto de condensadores colocados entre a massa e a estrutura do sensor. Assim, quando ocorre um movimento, este provoca um deslocamento nestas placas de condensadores, traduzindo-se numa variação da sua capacidade. O deslocamento da massa pode ser deduzido através desta variação.
Estes dispositivos partilham a mesma tecnologia que os giroscópios, a tecnologia MEMS, por isso partilham também as vantagens anteriormente referidas em relação aos giroscópios. Contudo, para além das vantagens, estes têm também em comum a sua maior desvantagem que é ainda não serem tão precisos quanto os acelerómetros que usam técnicas mais tradicionais [24].
Também em relação aos erros verificados nos sensores, os giroscópios e acelerómetros MEMS sofrem essencialmente dos mesmos, porém é importante realçar algumas diferenças:
Erros sistemático – quando o sensor está em condições onde é possível prever o
seu sinal de saída, por exemplo em repouso, é possível medir o erro sistemático 𝜖, e posteriormente subtraí-lo ao valor de saída do acelerómetro. Se tal não acontecer, obtém-se um erro na posição que é fruto da dupla integração, e que cresce com o quadrado do tempo (equação 10);
17 𝑠(𝑡) = 𝜖 ∗𝑡
2
2 (10)
Ruído branco – A saída de um acelerómetro, tal como o giroscópio, é perturbada
por um ruido termomecânico ou ruído branco que se caracteriza por uma sequência com média e covariância nula e variância finita. Maior detalhe em [28];
Erros de calibração – São visíveis quando o sensor está sujeito a uma aceleração.
Podem ser visíveis quando o dispositivo está estático devido à aceleração da gravidade.
3.1.2.1 Análise do funcionamento de um acelerómetro
Na realidade, os acelerómetros não medem acelerações, nem as forças que lhe são aplicadas, mas sim a reação a essa força [23].
Quando o sensor está, por exemplo, em repouso sobre uma mesa, a saída do eixo que está perpendicular a essa mesa deverá medir 1 g, e os outros dois eixos que estão no plano paralelo ao da mesa deverão medir 0 g, ou seja, apenas a força gravítica está a atuar no sensor nesse momento.
Figura 10-Resumo das forças a atuar num acelerómetro em repouso numa mesa.
∑ 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 (11)
<=> 𝐹𝑛 − 𝐹𝑔 = 0 (12) <=> 𝐹𝑛 = 𝐹𝑔 = 𝑚 ∗ 𝑔 (13) Para calcular a aceleração provocada pela força recorre-se à segunda lei de Newton:
∑ 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 (11)
18
<=> 𝑎 = 𝑔 (15) Ou seja, é possível verificar que a medida do acelerómetro será a prevista (igual à aceleração gravítica).
Por outro lado, quando o acelerómetro está em queda livre ideal, ou seja, desprezando a resistência do ar, a aceleração medida será de 0.
∑ 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 (11)
<=> 𝐹𝑔− 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎 (16)
<=> 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑔 − 𝑚 ∗ 𝑎 (17)
Figura 11-Resumo das forças a atuar num acelerómetro em queda livre ideal.
Como o sensor está em queda livre, a sua aceleração é igual à constante de aceleração gravítica g, ou seja:
𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑔 − 𝑚 ∗ 𝑔 = 0 𝑁 (18) Novamente recorrendo à segunda lei do movimento de Newton é então possível deduzir a aceleração provocada por uma força:
∑ 𝐹 = 𝑚 ∗ 𝑎 (11)
<=> 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎 (19)
<=> 𝑎 = 𝐹𝑟
𝑚= 0 𝑚/𝑠2 (20) Até agora foram analisados dois exemplos onde a aceleração se dava apenas em um dos eixos do sensor, mas o principal valor dos acelerómetros triaxiais é a deteção de forças nos seus 3 eixos, tornando possível a determinação da sua orientação no espaço.
19
Pegando no primeiro exemplo, de um acelerómetro em repouso em cima de uma mesa, mas agora rodando este sensor 45º em relação ao plano desta mesa, a constante de gravidade atuará desta forma em dois dos eixos do sensor. Esta relação de valores permite calcular o ângulo que este plano faz com a força gravítica e assim determinar a orientação do sensor no espaço.
Figura 12 - Acelerómetro rodado 45º sobre uma mesa.