Hydrologisk modellering og vurdering av vannføringsforhold og flomstørrelser

O fenômeno de deterioração do meio que se busca reproduzir pela Mecânica do Dano Contínuo é, por hipótese, difuso. Esta abordagem contrapõe-se à Mecânica da Fratura em que se considera uma falha local ou trinca macroscópica. Existe, portanto, um limite para o campo de aplicação dos modelos de dano, devendo-se observar o instante em que o fenômeno de ruptura deixa de ser associado apenas à danificação evolutiva, transformando-se em propagação de uma fratura. A teoria da localização de deformações, discutida em OLIVER (1995) e MANZOLI; OLIVER; CERVERA (1998) por exemplo, permite estabelecer uma ligação entre estas duas abordagens. Alguma discussão a esse respeito é realizada no capítulo 7, no qual se vislumbra, por meio de uma análise numérica, um interessante caminho a ser trilhado. A atenção

no momento, contudo, restringe-se unicamente à aplicação dos modelos de dano e é dentro dessa perspectiva que a análise do tipo não-local necessita ser introduzida.

Em COMI (2000), salienta-se que a presença do fenômeno de amolecimento (sof- tening), induzido pelos modelos de dano, faz com que o problema de valor de contorno torne-se mal-posto, introduzindo perda de objetividade nos resultados numéricos. Uma das conseqüências é a dependência da resposta numérica à malha de elementos, DA- VENNE; SAOURIDIS; PIAU (1989), o que, nos métodos sem malha, corresponderia a uma dependência ao suporte das funções aproximadoras. Como resultado, quanto me- nor o suporte dessas funções, menor a região em que o dano tende a ficar confinado, antecipando a localização de deformações.

A abordagem não-local é uma técnica de regularização que limita a zona de lo- calização de deformações, fixando uma largura mínima para a concentração do dano. Consegue-se, assim, dependendo da largura adotada, uma melhor distribuição para o dano, necessária para que os modelos de dano possam ser aplicados sem perda de ob- jetividade. Com os exemplos das Figuras 4.3(a) e 4.3(b) procura-se ilustrar a diferença entre análises realizadas através das abordagens local e não-local respectivamente. Na Figura 4.3(a) ocorre, para um determinado nível de força, a concentração do dano, por- que o modelo tende a reproduzir a descontinuidade, representada na curva de resposta estrutural, decorrente da formação de uma fissura e a conseqüente perda momentânea da capacidade de carga. Realizando-se a mesma análise, em uma abordagem não-local, obtém-se uma resposta global equivalente, mas através de um distribuição difusa para o dano.

(a)Análise local (b)Análise não-local

Figura 4.3:Representação das diferenças entre análise local e não-local. Curvas de força F e

Um aspecto significante em uma análise não-local é a definição da largura mínima para a concentração do dano. Este parâmetro está relacionado a um caráter não-local da deformação devido à heterogeneidade do meio e responsável pela maneira com que as micro-fissuras se distribuem. Em BAZ ˇANT; PIJAUDIER-CABOT (1989), o parâmetro lc, denominado comprimento característico do material, é introduzido como grandeza representativa dessa heterogeneidade. Em outras palavras, lcdefine o volume representativo do material e, segundo MAZARS; PIJAUDIER-CABOT (1994), é da ordem de 3da, sendo dao “tamanho” do maior agregado no concreto.

Uma maneira de se introduzir o caráter não-local, consiste em se empregar, local- mente, uma média ponderada das variáveis de dano ou do campo de deformações nas vizinhanças de um ponto. Adota-se neste trabalho, a média das deformações, conforme estratégia apresentada em DAVENNE; SAOURIDIS; PIAU (1989) para o modelo de Mazars.

Assim sendo, como a evolução do dano depende da variável εeq, essa passa a ser calculada não mais localmente mas como uma média ponderada, ¯εeq, dos valores que assume em uma vizinhança, V (rnl) de raio rnl ≈ 0,5 lc, correspondente ao elemento de volume representativo do material. Fisicamente, tal abordagem mostra-se mais co- erente, uma vez que a danificação local é governada pelos mecanismos presentes em uma determinada região representativa do meio.

Dessa forma, tem-se:

¯ εeq(xi) = Z V (rnl) g(x − xi)εeq(x)dV Z V (rnl) g(x − xi)dV (4.21)

sendo g(x) uma função de ponderação que deve assumir o valor unitário em x = xi. Nas análises numéricas adotou-se a seguinte função exponencial:

g(x − xi) =    e− _2(x−xi) rnl 2 para x − xi ≤ rnl 0 _{para x − x}i > rnl (4.22)

A implementação numérica da análise não-local é relativamente simples, substituindo- se a forma integral da expressão (4.21) pela razão entre somatórios, tem-se a deforma- ção equivalente em um determinado ponto de integração xi dada por:

¯ εeq(xi) = X xj∈V (rnl) g(xj − xi)w(xj)εeq(x) X xj∈V (rnl) g(xj − xi)w(xj) (4.23)

Observe que xj corresponde aos pontos da integração numérica pertencentes à região definida pelo raio rnl e com centro em xi. A definição desses pontos pode ser feita em um pré-processamento, para evitar que, a todo momento de cálculo do dano, as vizinhanças de cada ponto sejam novamente construídas. Já w(xj) refere-se à parcela de área (ou volume) do domínio vinculada ao ponto xj. Tal parcela corresponde ao peso do ponto xj na quadratura de Gauss multiplicado pelo respectivo jacobiano.

Ainda em DAVENNE; SAOURIDIS; PIAU (1989), observa-se que algum cui- dado deve ser tomado em análises em que a simetria da geometria e do carregamento é explorada. Como se mostra na Figura 4.4, pontos fictícios devem ser considerados, para que a resposta numérica seja equivalente àquela que seria obtida para uma análise em que toda a estrutura esteja representada.

Capítulo 5

Experimentos Numéricos em Análise

Não-Linear

Este capítulo reúne aplicações dos métodos sem malha, no caso o Método das Nuvens hp, e do MEFG no estudo do comportamento não-linear de estruturas, decor- rente do fenômeno de danificação do meio. Assim como no capítulo 3, procura-se evidenciar aspectos de implementação, especialmente aqueles introduzidos para a ade- quação dos métodos aos modelos constitutivos admitidos. Para isso, são apresentadas as análises de dois problemas. O primeiro deles corresponde a uma viga em concreto armado e é resolvido pelo Método das Nuvens hp e pelo MEFG. O segundo problema corresponde a uma chapa de concreto submetida a deslocamentos impostos, através da qual procura-se avaliar a capacidade do enriquecimento polinomial do MEFG para aproximar a presença da localização do dano.

A escolha do Método das Nuvens hp explica-se por abranger, em sua formulação, o MGLE. Para a simulação da resposta não-linear da estrutura são empregados os dois modelos constitutivos, Mazars e La Borderie, descritos anteriormente. Seguindo-se a mesma abordagem da seção 3.1, a representação adotada é uni-axial. Os resultados de análises estática e dinâmica são apresentados salientando-se não apenas detalhes da formulação numérica como também algumas interessantes discussões sobre o compor- tamento do material.

As análises estáticas feitas através do MEFG são bi-dimensionais, a exemplo dos problemas da seção 3.2. Devido à simplicidade de implementação e pelo fato de não haver inversão de carregamento, emprega-se o Modelo de Mazars para a simulação do comportamento do material. Aspectos de implementação do método para a análise não-linear são discutidos juntamente com os resultados encontrados.

5.1

Viga em Concreto Armado

O problema selecionado encontra-se representado na Figura 5.1, e corresponde a uma viga de concreto armado bi-apoiada, com seção transversal retangular e submetida a duas forças verticais F posicionadas simetricamente com relação ao meio do vão. O momento constante, que solicita a região entre as duas forças, induz uma distribuição difusa de micro-fissuras ao longo deste trecho. O mecanismo de deterioração do meio é, portanto, bastante semelhante àquele esperado para a simulação pelos modelos de dano contínuo, capítulo 4.

Figura 5.1:Viga em concreto armado - geometria e armação - medidas em cm

Na tabela 5.1, são apresentados os dados relativos às propriedades do aço e do concreto e entre eles, os parâmetros dos modelos de Mazars e de La Borderie que caracterizam o meio:

AT = 0,995 BT = 8000 AC= 0,85 BC= 1050

εd0= 0,00007 Ec= 29200 MPa Es= 196000 MPa νc = 0,2

νs= 0,3 Yo1= 3,05 · 10−4MPa A1= 3,50 · 103MPa−1 B1= 0,95

β1= 1,0 MPa Yo2= 5,0 · 10−3MPa A2= 6,80 MPa−1 B2= 0,7705

β2= −10,0 MPa σf = 2,60 MPa ρc= 2500 kg/m3 ρs= 7850 kg/m3

Tabela 5.1:Parâmetros do material (c → concreto e s → aço)

onde ρc e ρs correspondem à densidade do concreto e do aço respectivamente. Os parâmetros para o Modelo de Mazars foram obtidos por identificação paramétrica em ensaios apresentados em ÁLVARES (1993), onde também se encontram os resultados experimentais utilizados para confronto. Já os parâmetros utilizados no Modelo de La Borderie foram determinados ajustando-os às curvas de tensão e compressão axial do Modelo de Mazars, PITUBA; PROENÇA; ÁLVARES (1999). Com relação ao aço, considerou-se o comportamento perfeitamente elástico.