Hydrologi

Nesta se¸c˜ao, introduziremos um novo tipo de unidade: as unidades f -unit´arias generalizadas. Este tipo de unidade ´e uma generaliza¸c˜ao das unidades f -unit´arias defini- das na se¸c˜ao anterior. Apresentaremos a demonstra¸c˜ao que nos mostra que as unidades

f -unit´arias generalizadas formam um subgrupo Ug,f(ZG) (`as vezes denotado apenas por

Ug,f) o qual ´e o normalizador de Uf em U . Mais ainda, quando o grupo ´e peri´odico, o

segundo normalizador do grupo das unidades f -unit´arias ´e igual ao normalizador.

2.2.1

O normalizador de

U

f

Sejam f : G → {−1, 1} o homomorfismo de grupos dado na se¸c˜ao anterior e C o centro de U(ZG). Quando u ∈ U satisfaz uuf _{∈ C (pertence ao centro do grupo}

das unidades), dizemos que u ´e uma unidade f -unit´aria generalizada. A partir de agora, denotaremos o conjunto de todas essas unidades por Ug,f.

Teorema 2.2.1. O conjunto Ug,f ´e um subgrupo de U o qual ´e o normalizador de Uf em

U.

Demonstra¸c˜ao: ´

E f´acil ver que Ug,f ´e um subgrupo de U . Agora, mostremos que Ug,f ´e o nor-

malizador de Uf em U . E claro que U´ f ≤ Ug,f. Sejam u ∈ Uf e v ∈ Ug,f. Mos-

tremos que w = v−1_{uv ∈ U}

f, i.e., que wwf = ±1. Ora, temos que wf = vfufv−f.

Assim sendo, wwf _{= v}−1_uvvf_uf_v−f_{. Como v ∈ U}

g,f, ent˜ao uvvf = vvfu. Disso,

segue que wwf _{= v}−1_vvf_uuf_v−f _{= ±1. Segue ent˜ao que U}

f ✂ Ug,f. Por defini¸c˜ao,

Ug,f ⊆ NU(Uf) (o normalizador de Uf em U ). Agora, tome v ∈ NU(Uf). Para qualquer

u ∈ Uf, (v−1uv)(vfufv−f) = ±1, pois v−1uv ∈ Uf. Assim, v−1uvvfufv−f = ±1 Logo,

uvvf_uf _{= ±vv}f_{. Tome u = g ∈ G. Disso, segue que gvv}f_gf _{= ±vv}f_{. Como g}f _{= ±g}−1_,

temos que gvvf _{= ±vv}f_{g. Suponha que gvv}f _{= −vv}f_{g. Ent˜ao, por argumento de au-}

mento (i.e., por aplicar a fun¸c˜ao de aumento em ambos os membros) temos ε(gvvf_{) = −ε(v)ε(v)}f_{ε(g) ⇒ 1 = −1 ou − 1 = 1.}

Um absurdo.

Ent˜ao, segue que gvvf _{= vv}f_{g para todo g ∈ G. Logo, v ∈ U}

g,f. Disso, segue que

Corol´ario 2.2.2(Sehgal e Bovdi). O subgrupo das unidades f -unit´arias Uf ´e um subgrupo

normal de U se, e somente se, Ug,f = U .

Demonstra¸c˜ao:

(⇐) J´a temos Ug,f ⊆ U. Suponha que Uf ✂U. De G ⊆ Uf, segue que dado u ∈ U tem-se

u−1_{gu ∈ U}

f para todo g ∈ G. Logo, (u−1gu)(u−1gu)f = ±1. Como u−1guufgfu−f = ±1,

segue que guuf _{= ±uu}f_{g. Por argumento de aumento, guu}f _{= uu}f_{g para todo g ∈ G.}

Disso, segue que uuf _{∈ C e, por conseguinte, u ∈ U}

g,f. Portanto, U ⊆ Ug,f e assim temos

Ug,f = U .

(⇐) Imediato. 

Teorema 2.2.3. Para todo v ∈ NU(G), vvf ∈ C,i.e., NU(G) ⊆ Ug,f.

Demonstra¸c˜ao:

Dados g ∈ G e v ∈ NU(G) temos que v−1gv ∈ G. Como G ⊆ Uf, ent˜ao

(v−1_gv)(v−1_gv)f _{= ±1. Disso, segue que v}−1_gvvf_gf_v−f _{= ±1 o que implica gvv}f ₌

±vvf_{g. Por argumento de aumento, gvv}f _{= vv}f_{g. Segue que vv}f _{∈ C e, portanto,}

v ∈ Ug,f. 

Defini¸c˜ao 2.2.4. Um grupo G ´e dito peri´odico (ou grupo de tor¸c˜ao) se todo elemento de

G tem ordem finita.

Agora iremos estudar o segundo normalizador de Uf, i.e., NU(Ug,f).

Teorema 2.2.5 (Yuanlin Li). Se G ´e um grupo peri´odico, ent˜ao N (Ug,f) = Ug,f.

Para provar este teorema, precisamos de alguns resultados apresentados a seguir. Lema 2.2.6. Seja {xi; ∧ i = 1, 2, · · · , n} um conjunto finito de elementos de ZG. Se

Pn

i=1σixixfi = ±g, onde g ∈ G e cada σi = ±1, ent˜ao g = 1.

Demonstra¸c˜ao:

Para cada xi ∈ ZG, seja xi = Paijgij. Assim, x

f i = P aijf (gij)g −1 ij . Como gifj = f (gij)g −1 ij , ent˜ao x f i = P aijg f ij. Logo, xix f i = ( P ±a2 ij)1G+ P j16=j2aij1aij2gij1g f i_j2 = ( P ±a2 ij)1G+ P j1<j2(aij1aij2gij1g f i_j2 + aij2aij1gij2g f ij1), Ent˜ao, ±g =X(σixixfi) = ( X (σi X ±a2 ij))1G+ X (σi X j1<j2 aij1aij2(gij1g f ij2 + gij2g f ij1)) (1).

Por argumento de aumento obtemos: z0+ z1 = ±1, com z0 =P(σi P ±a2 ij) e z1 = P (σi P j1<j2aij1aij2(f (gij1) + f (gij2))). Note que f (gij1) + f (gij2) = ±2 ou esta soma ´e igual a 0. Isto mostra que z1 ´e um n´umero par. Logo, z0 6= 0. Observe tamb´em que z0 ´e a soma de todos os coeficientes do 1G. Logo, nenhum

dos coeficientes deP(σiP_j1<j2aij1aij2(gij1g

f

ij2+ gij2g

f

ij1)) est´a multiplicado por 1. Assim, pelo fato do elemento 1G est´a em um membro da equa¸c˜ao (1) e tamb´em por estarmos em

um anel de grupo, deve-se ter 1G tamb´em no outro membro. Portanto, g = 1. 

Corol´ario 2.2.7. Para todo u ∈ ZG, se uuf _{= ±g, ent˜ao g = 1. Consequentemente, u ´e}

uma unidade unit´aria.

Demonstra¸c˜ao:

A demonstra¸c˜ao segue diretamente do Lema 2.2.6. 

O pr´oximo teorema nos fornece mais uma rela¸c˜ao entre Uf e Ug,f quando G ´e

um grupo qualquer. Vale observar que estes resultados listados ´e para provar que o segundo normalizador do grupo das unidades f -unit´arias estaciona quando G ´e peri´odico. Entretanto, estes mesmos resultados valem para um grupo qualquer.

Teorema 2.2.8. Para qualquer grupo G, T(Ug,f) = T(Uf), onde T denota o subconjunto

dos elementos de tor¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao:

Precisamos provar apenas que T(Ug,f) ⊆ T(Uf), pois j´a temos a inclus˜ao contr´aria

pois, Uf ⊆ Ug,f. Se u ∈ T(Ug,f), ent˜ao u ∈ Ug,f e, por conseguinte, uuf = c ∈ C. Disso,

segue que uuf _{= u}f_{u e conclu´ımos que o(c) < ∞. Pelo Teorema 1.2.3, obtemos c = ±g.}

Pelo Corol´ario 2.2.7, uuf _{= ±g o que implica g = 1. Disso, segue que u ∈ T(U} f).

Portanto, T(Ug,f) = T(Uf). 

Proposi¸c˜ao 2.2.9. Dado u ∈ U(ZG), uu∗ _{= 1 se, e somente se, u = ±g para algum}

g ∈ G em que ∗ ´e o homomorfismo trivial. Demonstra¸c˜ao:

(⇒) Suponha que uu∗ _{= 1 com u =}P

gi∈Gαgg e u ∗ ₌P g∈Gαgg−1. Ent˜ao, 1 = uu∗ ₌X g∈G (αg)2.1G+ X G∋g6=1 αgg.

Disso, segue queP_g∈G(αg)2 = 1. Logo, existe um ´unico g0 tal que αg = ±1 e αg = 0 para

todo g 6= g0. Segue disso que u = ±g0.

(⇐) Claramente, se u = ±g, ent˜ao uu∗ _{= 1.}

 Pela proposi¸c˜ao anterior, se f ´e trivial, ent˜ao Uf = ±G. Portanto, pelo Teorema

2.2.1, NU(±G) = Ug,f. Como consequˆencia imediata temos que T(NU(G)) = ±T(G).

Agora estamos em condi¸c˜oes de provar o Teorema 2.2.5. Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.5

Devemos mostrar que NU(Ug,f) = Ug,f.

(⊆) Seja v ∈ NU(Ug,f) e g ∈ G. Note que G ⊆ T(Ug,f), pois G ´e peri´odico. Assim,

v−1_{gv ∈ U}

g,f. Seja g ∈ G com o(g) = n. Como (v−1gv)n = vngnv−n = 1, ent˜ao

v−1_{gv ∈ T(U}

g,f) = T(Uf). Logo,

±1 = v−1gv(v−1gv)f _{= v}−1_gvvf_gf_v−f _{⇒ gvv}f _{= ±vv}f_g.

Por argumento de aumento, gvvf _{= vv}f_{g. Portanto, vv}f _{∈ C. Segue que v ∈ U} g,f.

(⊇) Imediato. _

Corol´ario 2.2.10. Para qualquer grupo peri´odico G, Ug,f ´e um subgrupo normal de U se,

e somente se, Ug,f = U .

Demonstra¸c˜ao:

(⇒) Suponha que G seja um grupo peri´odico. Ent˜ao, existe n ∈ N tal que gn _{= 1 para}

todo g ∈ G. Suponha que Ug,f = U . Mostremos que U ⊆ Ug,f, pois j´a temos a inclus˜ao

contr´aria. Seja u ∈ U . Queremos verificar que uuf _{∈ C(U(ZG)). De G ⊆ U}

g,f, temos

que u−1_{gu ∈ U}

g,f para todo g ∈ G. Disso, segue que (u−1gu)n = 1 e, por conseguinte,

u−1_{gu ∈ T(U}

g,f) = T(Uf). Assim,

±1 = u−1gu(u−1gu)f _{= u}−1_guuf_gf_u−f _{⇒ guu}f _{= uu}f_g.

Por argumento de aumento, guuf _{= uu}f_{g para todo g ∈ G. Logo, uu}f _{∈ C. Segue que}

u ∈ Ug,f. Portanto, U ⊆ Ug,f, o que implica U = Ug,f.

(⇐) Imediato. 

Agora apresentaremos alguns resultados t´ecnicos acerca do N (Ug,f) para um

grupo G arbitr´ario. Estes resultados nos ser˜ao ´uteis mais tarde.

Teorema 2.2.11. Para qualquer grupo G, v ∈ N (Ug,f) se, e somente se, ∀u ∈ Ug,f ∃c ∈ C

tal que u(vvf_{) = c(vv}f_{)u e c = c}f_.

(⇒) Para provar a primeira parte, i.e., ∃c ∈ C tal que u(vvf_{) = c(vv}f_{)u, tome v ∈ N (U} g,f).

Ent˜ao, para todo u ∈ Ug,f, temos v−1uv ∈ Ug,f. Disso, segue que v−1uv(v−1uv)f ∈ C, ou

seja , v−1_u(vvf_)uf_v−f _{= c}

1 com c1 ∈ C. Assim, uvvfufv−f = vc1. Ora, valem as seguintes

implica¸c˜oes

uvvfufv−f = vc1 ⇒ uvvfuf = vc1vf ⇒ uvvf = vc1vfu−f ⇒ uvvf = c1vvfu−f. (1)

Logo, temos que u ∈ Ug,f. Temos tamb´em as implica¸c˜oes

u ∈ Ug,f ⇒ uuf ∈ C ⇒ uuf = c2 ⇒ c−12 u = u−f.

Substituindo a igualdade c−1₂ u = u−f _{em (1) obtemos:}

uvvf _{= c}

1vvfc−12 u = c1c−12 vvfu ⇔ uvvf = cvvfu, ondec = c1c−12 .

Logo,

u(vvf) = c(vvf)u (2).

Resta mostrar a segunda parte, i.e., c = cf_{. Temos:}

uvvf _{= cvv}f_{u ⇒ (uvv}f₎f _{= (cvv}f_u)f

⇒ vvf_uf _{= u}f_vvf_cf_{. (3)}

Multiplicando (3) `a direita por (2) temos uvvf_vvf_uf _{= cvv}f_uuf_vvf_cf_{. Logo,}

u(vvf₎2_uf _{= cvv}f_vvf_uuf_cf

= c(vvf₎2_uuf_cf

= c(vvf₎2_cf_uuf

= ccf_(vvf₎2_uuf_{. (4)}

Por outro lado,

u(vvf₎2_uf _{= uvv}f_vvf_uf = cvvf_uvvf_uf = c2_(vvf₎2_uuf_{. (5)} De (4) e (5), temos: ccf(vvf)2uuf = c2(vvf)2uuf ⇒ ccf = c2 ⇒ cf = c.

Corol´ario 2.2.12. Para um grupo arbitr´ario G, se v ∈ N (Ug,f), ent˜ao o(vvf) = ∞ ou

(vvf₎2 _{= 1.}

Demonstra¸c˜ao:

Seja v ∈ N (Ug,f). Se o(vvf) < ∞, ent˜ao o(vvf)2 < ∞. Primeiro provemos que

(vvf₎2 _{∈ C.}

Do Teorema 2.2.11, temos que uvvf _{= cvv}f_{u com u ∈ U}

g,f e c = cf. Suponhamos

que (vvf₎n _{= 1. Assim, temos que:}

u = u(vvf₎n_{= uvv}f_(vvf₎n−1 _{= cvv}f_u(vvf₎n−1 _{= cvv}f_uvvf_(vvf₎n−2 _{= · · · = c}n_(vvf₎n_u

= cn_u.

Disso, segue que u = cn_{u e, por conseguinte, c}n _{= 1. Como c ´e unidade central}

de ordem finita, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.2.3, c = ±g. Portanto, de c = cf_{, tem-se}

c2 _{= cc}f _{= gg}−1 _{= 1. Logo, u(vv}f₎2 _{= uvv}f_vvf _{= cvv}f_uvvf _{= cvv}f_cvvf_{u = c}2_(vvf₎2_{u =}

(vvf₎2_{u para todo u ∈ U}

g,f. Assim, temos que (vvf)2 ∈ C.

Agora provaremos que (vvf₎2 _{= 1. De o(vv}f_{) < ∞, temos que o(vv}f₎2 _{< ∞.}

Segue disso que (vvf₎2 _{= ±g}

0. Portanto, pelo Lema 2.2.6, g0 = 1. 

Agora vamos apresentar um teorema que nos fornece condi¸c˜oes para que U = Ug,f

quando G ´e peri´odico.

Teorema 2.2.13. Para qualquer grupo peri´odico G, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equiva- lentes.

1. U = Ug,f;

2. Ug,f ✂U;

3. ∀v ∈ U ∀u ∈ Ug,f ∃c ∈ C tal que u(vvf) = c(vvf)u e c = cf;

4. Uf ✂U.

Demonstra¸c˜ao:

(1) ⇔ (2) Segue do Corol´ario 2.2.10.

(2) ⇒ (3) Suponha que Ug,f´e um subgrupo normal de U . Ent˜ao, dado u ∈ U, u−1vu ∈ Ug,f

para todo v ∈ Ug,f. Repetindo a prova do Teorema 2.2.11, obtemos o resultado.

(3) ⇒ (2) Suponha que valha (3). Ent˜ao, dados v ∈ U e u ∈ Ug,f. Mostremos que

v−1_{uv ∈ U}

(v−1_uv)(v−1_uv)f _{= v}−1_uvvf_uf_v−f = v−1_cvvf_uuf_v−f = cvf_uuf_v−f = cuuf_vf_v−f = cuuf _{∈ C} Logo, v−1_{uv ∈ U} g,f. Portanto, Ug,f ✂U.

(1) ⇔ (4) Segue diretamente do Corol´ario 2.2.2. 

De maneira bastante an´aloga ao que fizemos para o Teorema 2.1.7, apresentare- mos condi¸c˜oes para que Ug,f = Uf.

Teorema 2.2.14. Para um um grupo G arbitr´ario, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalen- tes:

1. Ug,f = Uf;

2. [Ug,f : Uf] < ∞;

3. ∀u ∈ Ug,f ∃n ∈ N tal que un ∈ Uf onde n depende de u;

4. ∀u ∈ Ug,f∃n ∈ N tal que (uuf)n∈ Uf;

5. ∀c ∈ C tal que ccf _{= ±1.}

Demonstra¸c˜ao: (1) ⇒ (2) Imediato.

(2) ⇒ (3) Prova-se de maneira an´aloga ao que fizemos para a implica¸c˜ao (1) ⇒ (2) do Teorema 2.1.7.

(3) ⇒ (4) Prova-se de maneira an´aloga ao que fizemos para a implica¸c˜ao (2) ⇒ (3) do Teorema 2.1.7.

(4) ⇒ (5) Suponha que valha (4). Seja c ∈ C. Mostremos que ccf _{= ±1. Como C ⊆ U} g,f,

ent˜ao existe n tal que (ccf₎n_{= ±1. Tomando n = 1 temos o resultado.}

(5) ⇒ (1) Suponha que valha (5). Mostremos que Ug,f ⊆ Uf, pois j´a temos a outra in-

clus˜ao. Seja u ∈ Ug,f. Ent˜ao, uuf ∈ C. Assim, ±1 = (uuf)(uuf)f = uufuuf = (uuf)2 =

±1. Logo, uuf _{= ±1. Segue disso que U}

g,f ⊆ Uf. Portanto, Uf = Ug,f. 

Observemos que, quando o homomorfismo f ´e trivial tem-se que: para qualquer G, Ug,f = U se, e somente se, G ✂ U . Esta observa¸c˜ao ´e relevante, pois podemos descon-

uma condi¸c˜ao suficiente para que tenhamos U = Ug,f.

Teorema 2.2.15. Seja f : G → U (Z) um homomorfismo n˜ao trivial, com n´ucleo A. Suponha que G tem um elemento b tal que G = hA, bi, que A ´e um grupo abeliano e que a ordem de b ´e igual a 4 e bab−1 _{= a}−1 _{para todo a ∈ A. Ent˜ao, U = U}

g,f.

Demonstra¸c˜ao:

Suponha que A = ker(f ) ´e um grupo abeliano, o(b) | 4 e bab−1 _{= a}−1 _{∀a ∈ A.}

Note que f (b) = −1, pois do contr´ario, G = A e f seria trivial, implicando que b2 _{∈ A. J´a}

temos que Ug,f ⊆ U. Resta ver que U ⊆ Ug,f. Tome u = a1+ a2b ∈ U(ZG) onde ai ∈ ZA

e i ∈ {1, 2}. Sejam a1 =Pαgg e a2 =Pαhh onde g, h ∈ A. Observe que uf _{= a}∗ 1 − a2b−1. De fato, uf = af1 + a f 2bf implica que: uf ₌ P_α gf (g)g−1+ P αhf (hb)(hb)−1 = Pαgg−1− P αhb−1h−1 = a∗ 1− P αhhb−1 = a∗ 1− a2b−1.

Agora considere v = uuf _{e note que v = a}

1a∗1− a2a∗2+ a1a2b(1 − b−2), pois v = (a1+ a2b)(a∗1− a2b−1) = a1a∗1− a1a2b−1+ a2ba∗1 − a2ba2b−1 = a1a∗1− a1a2b−1+PαhhbPαgg−1− a2bPαhhb−1 = a1a∗1− a1a2b−1+Pαhαghbg−1− a2Pαhbhb−1 = a1a∗1− a1a2b−1+Pαhαghbg−1− a2Pαhh−1 = a1a∗1− a1a2b−1+Pαhαghgb − a2a2 = a1a∗1− a1a2b−1+Pαgαhhgb − a2a∗2 = a1a∗1− a1a2b−1+ a1a2b − a2a∗2 = a1a∗1− a2a∗2+ a1a2b(1 − b−2) Se o(b) = 2, ent˜ao v = uuf _{= a}

1a∗1− a2a∗2. N˜ao ´e dif´ıcil ver que uuf ∈ C. Basta

verificar que uuf _{comuta com os geradores de G. Se g ∈ A, ent˜ao usando o fato de A ser}

abeliano conclu´ımos que g(uuf_{) = (uu}f_{)g para g ∈ A. Agora vejamos que b comuta com}

uuf_{. Temos que buu}f _{= uu}f_{b se, e somente se, buu}f_b−1 _{= uu}f_{. Tamb´em temos :}

b(a1a∗1− a2a∗2)b−1 = ba1b−1ba∗1b−1− ba2b−1ba∗2b−1.

Usando a hip´otese de que bab−1 _{= a}−1_{, para todo a ∈ A, e o fato de A ser abeliano,}

conclu´ımos que buuf_b−1 _{= uu}f_{. Segue disso que uu}f _{∈ C e conclu´ımos que u ∈ U} g,f.

Agora suponha que o(b)|4. Fazendo um c´alculo simples conclu´ımos que v∗ ₌

(uuf₎∗ _{= a}

1a∗1− a2a∗2− a1a2b(1 − b2). Disso, segue que vv∗ = (a1a∗1)2+ (a2a2∗)2− 2(a1a∗1−

a2a∗2)b2 = (a1a∗1 − a2a∗2b)2 = c2, com c = (a1a∗1 − a2a2∗b) = c∗ = cf ∈ C. Seja v1 = vc−1.

Assim,

v1v1∗ = vc−1(c−1)∗v∗ = vv∗c−1(c∗)−1 = 1.

Conclu´ımos, ent˜ao que v1 = ±g para algum g ∈ G e v = ±cg. Seja g = abi com a ∈ A e

i = 0, 1. Se i = 1, ent˜ao g = ab e v = ±cab. Logo,

c = a−1vb3 = a−1(a1a∗1− a2a∗2)b3+ a−1(a1a2(1 − b2)) ∈ C.

Observe que, como c ∈ ZA, cada parcela tamb´em tem que pertencer a ZA. Entretanto, a−1_(a

1a∗1−a2a∗2)b3 ∈ ZA, pois b/ 3 ∈ A. Assim, devemos ter a/ −1(a1a∗1−a2a∗2)b3 =

0. Absurdo, pois ε(a1a∗1− a2a∗2) = 1. Esta ´ultima igualdade ´e devido ao fato de termos c

sendo uma unidade e, por isto, ter aumento igual a ±1. Segue que i = 0 e g = a. Agora, de

a−1(a1a∗1− a2a2∗) + a−1(a1a2(1 − b2)b) = a−1v = ±c ∈ ZA,

conclu´ımos que (a1a2(1 − b2)b) = 0, pois ±c ∈ ZA e a1a2(1 − b2)b /∈ ZA (pelo fato de

b /∈ A). Multiplicando `a esquerda por a, obtemos a1a2(1 − b2)b = 0. Logo, v = uuf =

a1a∗1− a2a∗2 ∈ C. Portanto, u ∈ Ug,f e, consequentemente, U = Ug,f. 

Vale ressaltar que o teorema acima, mostrou apenas a suficiˆencia de uma das condi¸c˜oes necess´arias para se ter U = Ug,f.

In document Konsesjonssøknad for Salvasskardelva kraftverk (sider 21-0)