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Neste capítulo, foram revisados os principais passos da identificação de sistemas dinâmicos não-lineares. O processo de obtenção de modelos não-lineares é, em essência, semelhante à identificação de sistemas lineares (problema este conhecido na literatura).

Os dois procedimentos são diferenciados pela maneira que cada etapa do processo é

implementada.

O projeto de excitações para coleta de dados de sistemas não-lineares deve levar em consideração que tais sistemas podem apresentar comportamentos dinâmicos distintos, de acordo com a região de operação considerada.

Os algoritmos de detecção de não-linearidades têm como função informar o grau de não- linearidade apresentado nos dados de experimentação do sistema. De acordo com a indicação destes algoritmos, será feita a opção entre a utilização de um modelo linear ou um modelo não-linear. Assim, os dados de experimentação devem refletir o comportamento do sistema em todas as suas faixas de operação. Sempre que possível, é desejável utilizar modelos lineares, pois estes são mais simples e fáceis de serem analisados e controlados.

A grande dificuldade verificada na modelagem não-linear é a escolha da estrutura a ser utilizada para representar a dinâmica do sistema em estudo. Essa estrutura deve ser suficientemente complexa para permitir a representação de uma ampla classe de não- linearidades, garantindo-se que os modelos obtidos sejam passíveis de manipulação computacional posterior.

Nesse trabalho, utilizaram-se modelos NARMAX polinomiais para representar a dinâmica de sistemas não-lineares. Os algoritmos de identificação devem ser capazes de selecionar os termos do modelo que são necessários para reproduzir o comportamento dinâmico refletido nos dados de experimentação. A sobreparametrização de modelos não-lineares polinomiais faz com que estes apresentem dinâmicas não contidas nos dados. A estimação de parâmetros deverá ajustar a estrutura escolhida para representar o sistema original. Por fim, os modelos obtidos devem passar por testes que irão avaliar a sua capacidade em ajustar os dados de identificação e reproduzir a dinâmica apresentada pelo sistema.

Uma outra estrutura bastante utilizada na representação de sistemas não-lineares é a rede neural. As redes neurais têm estruturas muito flexíveis que podem ajustar dados de treinamento com considerável exatidão. A derivação de modelos dinâmicos na forma de redes neurais também pode ser subdividida nas cinco etapas do procedimento de identificação descrito nesse capítulo. A seleção de estrutura de redes neurais consiste em determinar:

• o número de neurônios em cada uma das camadas da rede;

• o número de camadas de entrada, de camadas escondidas e de camadas de saída; • a interconexão entre os neurônios da rede.

Os modelos em redes neurais também apresentam regimes dinâmicos espúrios quando sobreparametrizados. Mais uma vez, o procedimento de seleção de estrutura é de vital importância na derivação de modelos matemáticos (Narendra e Parthasarathy, 1990). Destaca-se que as redes são estruturas não-lineares nos pesos (ou parâmetros), o que exige a utilização de algoritmos mais complexos para a estimação dos mesmos sobre os dados de treinamento. Um algoritmo muito utilizado para estimar pesos de uma rede neural é o "back-propagation". Este algoritmo é uma versão não-linear do método dos mínimos quadrados (Rummelhart et al., 1986; Casdagli et al., 1992).

Ali Çinar (1995) descreve e analisa o desempenho de algumas estruturas na derivação de modelos entrada-saída para sistemas dinâmicos não-lineares. As estruturas analisadas são polinômios não-lineares, redes neurais, funções de base radial, funções lineares por partes, funções de regressão, entre outras. O autor conclui que a utilização de uma estrutura não compatível com os tipos de não-linearidades existentes nos dados tem um efeito significativo sobre o esforço de identificação e a qualidade do modelo gerado. Assim, o processo de seleção da estrutura de um modelo dinâmico para sistemas não- lineares deve receber uma atenção especial durante o procedimento de identificação. A determinação do retardo ou tempo morto de um sistema dinâmico é uma tarefa difícil e de vital importância para o sucesso dos procedimentos de modelagem, análise e controle. Em princípio, o critério do ERR deve ser capaz de selecionar termos de entrada com atraso igual ou maior que o retardo, embora isso nem sempre aconteça na prática. Nessa situação, é necessário conhecer o retardo do sistema "a priori". Jota (1994) discute a determinação do retardo de um sistema dinâmico com base na qualidade de ajuste dos dados de identificação.

O procedimento de identificação de modelos NARMAX para sistemas multivariáveis é semelhante àquele utilizado para derivar modelos monovariáveis. Neste caso, as funções que relacionam cada uma das saídas do sistema com as demais saídas e entradas são funções não-lineares que podem ser representadas por modelos NARMAX polinomiais de grau l. Estes modelos NARMAX polinomiais serão identificados simultaneamente, a partir de dados, utilizando as técnicas descritas nesse capítulo. As grandes dificuldades associadas à identificação de modelos NARMAX multivariáveis são a ordem elevada da matriz de regressores (acarretando um elevado esforço computacional) e a necessidade de sincronismo na amostragem de todas as variáveis envolvidas. Um exemplo da utilização das técnicas de identificação de modelos NARMAX polinomiais na modelagem de sistemas multivariáveis é apresentado em (Billings et al., 1989).

A técnica de reconstrução de espaços de estados é semelhante ao procedimento de identificação de sistemas não-lineares. A equação de estados obtida através da técnica de reconstrução pode ser utilizada na derivação de um mapeamento suave f que descreve o comportamento entrada-saída do sistema (empregando algoritmos de identificação). Este mapeamento f será utilizado para a análise, predição e controle do sistema modelado.

Capítulo 3

3. Seleção de Estrutura de Modelos Não-

Lineares: Agrupamentos de Termos e

Coeficientes de Agrupamentos

3.1 Introdução

Uma importante etapa no procedimento de obtenção de modelos não-lineares é a escolha da estrutura a ser empregada na representação do sistema em estudo. Estruturas passíveis de serem utilizadas na modelagem de sistemas não-lineares foram apresentadas no capítulo anterior. O número de termos possíveis nestas estruturas cresce bastante com o aumento do grau de não-linearidade e da ordem do modelo considerado. Modelos com um números excessivo de termos podem apresentar regimes dinâmicos espúrios (Aguirre e Billings, 1995a), além da dificuldade na manipulação analítica e computacional. Dessa maneira, torna-se importante desenvolver procedimentos que permitam selecionar os termos da estrutura que serão importantes na reprodução da dinâmica do sistema original.

Um dos métodos empregados na seleção de estrutura de modelos não-lineares é o ERR, apresentado no capítulo anterior. Será descrito, nas seções seguintes, um método para escolha de termos em modelos não-lineares baseado nos conceitos de agrupamentos de termos e de coeficientes de agrupamentos. Este método ajusta a estrutura de um modelo NARMAX polinomial através da determinação dos agrupamentos de termos necessários para reproduzir a dinâmica do sistema. Feito isso, os termos do modelo poderão ser selecionados dentro destes agrupamentos de termos, através do critério do ERR.

Será discutida, ainda, a utilização de funções de correlação não-lineares para determinar o tempo de atraso adequado para a identificação de modelos NARMAX e para a reconstrução de espaços de estados de sistemas dinâmicos.