Neste modelo, o espaço-tempo tem uma única dimensão extra compactada por meio da existência de duas branas que estão localizadas em dois pontos …xos do es- paço ambiente [66]. Uma brana com tensão positiva (+ ) está localizada em z = 0 e uma de tensão negativa ( ) está localizada em z = zc: Dizemos que zc é, então, o
comprimento da dimensão extra. Admitimos que a dimensão extra possua a topologia do espaço S1=Z
2. que pode ser descrita da seguinte forma: se 2 [ ; ] é a coor-
denada angular que localiza os pontos em um círculo, então, o espaço S1=Z
2 é obtido
indenti…cando-se os pontos e . Nessas coordenadas as branas de tensão positiva e negativa estão localizadas nos dois pontos …xos, = 0 e = . Podemos ainda relacionar as coordenadas com a coordenada z através de z l, onde l é o raio da dimensão extra [2].
A métrica do modelo RSI possui a seguinte forma:
Figura 2.6: Comportamento do fator de deformação (warp factor).
onde é a métrica de Minkowski em quatro dimensões e a(z) é chamado de fator de deformação "warping factor"que tem a forma:
a(z) = e jzj: (2.45)
O comportamento da função a (z) em S1=Z
2 está ilustrado na fugura (2:6) :
Determinaremos por meio das soluções das equações de Einstein em cinco di- mensões, dadas por
^ RAB
1
2g^ABR = T^ AB: (2.46) onde o tensor energia momento TAB pode ser escrito como[66, 75]
TAB = ^gAB+ 8 G(5) AB; (2.47)
onde e G(5) são as constantes cosmológica e gravitacional em cinco dimensões. O
termo AB descreve a energia das branas e é dado por AB =
(
= g(5) (z) g(5) (z zc) Az = 0
: (2.48)
Utilizando a métrica (2:44), as equações de Einstein juntamente com o tensor energia-momento (2:48), levam ao seguinte sistema de equações [66, 75]
" 3 a 0 a 2 3 a 00 a # = 8 G(5) g(5) (z) g(5) (z zc) + g(5); (2.49a) G z = 0 (2.49b) " 6 a 0 a 2# = ; (2.49c)
onde a equação (2:49b) é automaticamente satisfeita. A equação (2:49c) é satisfeita se
2 = 1
6 : (2.50)
Segue, então, que a constante cosmológica deve ser negativa para que a métrica (2:44) seja solução das equações de Einstein.
Integrando a equação (2:49a) em torno de z = 0 (brana com tensão positiva); no intervalo " < z < ", no limite em que " ! 0; veri…camos que a tensão na brana está ajustada a constante cosmológica do espaço ambiente do seguinte modo:
2 = 3
32 2G2 (5)
: (2.51)
De maneira análoga, a solução em torno da outra brana z = zc conduz ao mesmo
resultado.
Linearização da gravidade e espectro de massa dos grávitons
Desejamos encontrar as correções causadas pela dimensão extra na solução das equações de campo. Essas correções serão tratadas como perturbações na métrica quadrimensional. Portando, podemos obter tais correções por meio da linearização das equações de Einstein. A métrica perturbada em cinco dimensões é dada por [66]
onde h é o termo de perturbação e satisfaz à condição jh j 1. Escolhendo um sistema de coordenadas no qual h z = 0, vamos resolver a equação de Einstein para a
métrica dada em (2:52): Se introduzirmos matéria na brana, as equações de Einstein serão
^
GAB = 8 G(5)TABmat+ 8 G(5) branaAB + ~gAB (2.53)
onde Tmat
AB e branaAB são os tensores energia-momento da matéria e da brana respectiva-
mente, e a constante cosmológica do espaço ambiente.
Escrevendo as equações de Einstein para a métrica perturbada (2:52), obtemos:
1 2a 2(z)[h ; ; + h ; ; + h ; ; h ; ; ] + 1 2h 00 + " 1 2 a0 a h 0 a0 a 2 h # (2.54) +2 [ (z) (z zc)]h 2 2h = 8 G(5) (z) T(mat) 1 3T (mat) ; 1 2a 2(h0 ; h 0 ; ) + a0 a3 (h ; h ; ) = 0 (2.55) 1 2a 2h00 + a0 a3h 0 + a00 a3 a02 a4 h = 8 G(5)a2 3 (z)T (mat) (2.56)
É possível escolher um gauge (sistema de coordenadas) no qual h é transverso e possui traço nulo [66], isto é :
@ h = h = 0 (2.57)
Para esse gauge as equações (2:55) e (2:56) são automaticamente satisfeitas na região externa. Enquanto que a equação (2:54) assume a seguinte forma:
h00 2[2 2 2 (z) + 2 (z zc)]h a 2@ @ h = 0: (2.58)
No intervalo 0 < z < zc esta equação se reduz a
h00 4 2h a 2@ @ h = 0 (2.59)
E integrando (2:58) em torno dos pontos z = 0 e z = zc, obtemos respectivamente
as seguintes equações:
(h0 + 2 h ) j
z=0= 0 (2.60a)
(h0 + 2 h ) jz=zc= 0: (2.60b)
As equação (2:60a) e (2:60b) podem ser entendidas como condições de contorno para a equação (2:58). Portanto, uma solução que satisfaça à equação (2:58) deve satisfazer simultaneamente as equações (2:59); (2:60a) e (2:60b). Essas duas últimas, como veremos a seguir, vão resultar na quantização do espectro de massa dos grávitons vistos pelos observadores quadrimensionais [2].
Para resolver a equação (2:59) vamos utilizar o método de separação de variáveis, escrevendo h (x; z) = (z) (x): Podemos veri…car que (2:59) possui solução se existir uma constante C tal que
00(z) 4 2 (z) + Ca 2 (z) = 0 (2.61)
(x) + C (x) = 0; (2.62)
onde é operador D’Lambertiano
É possível mostrar que os valores que a constante de separação C pode assumir são positivos de modo que podemos escrever C = m2: Logo a equação (2:62) …ca
(x) + m2 (x) = 0: (2.63) Essa equação é uma equação de Klein-Gordon para o campo (x) com massa m. Como o campo (x) depende das coordenadas da brana podemos interpretá-lo como um gráviton (uma perturbação linear da métrica) de massa m, que pode ser visto pelos observadores con…nados na brana. O conjunto de valores de m constituem o espectro dos modos KK [75].
A equação (2:61) …ca escrita como
00(z) 4 2 (z) + m2
a2 (z) = 0 (2.64)
Tomando m = 0, obtemos uma solução particular importante da equação (2:64): Temos então:
(z) = C0e 2 jzj; (2.65)
onde C0 é uma constante de normalização. Essa solução é chamada de modo zero
(m = 0). Através dela podemos recuperar o comportamento quadrimensional do campo gravitacional, para grandes distâncias, na brana.
Para m 6= 0, fazendo a seguinte mudança de coordenadas x = me z, podemos
escrever (2:64) da seguinte forma:
d2 (x) dx2 + 1 x d (x) x + 1 4 x2 (x) = 0 (2.66)
Esta equação apresenta a forma de uma equação diferencial de Bessel com índice n = 2; cuja solução mais geral é dada por [4]:
(m)(z) = AJ2
m
e z + BN2
m
e z ; (2.67)
respectivamente. As constantes A e B, podem ser determinadas impondo as condições de contorno (2:60a) e (2:60b) em z = 0 e z = zc.
Para a primeira condição em z = 0, a solução pode ser escrita como
(z) = Cm h J1 m N2 m e z N1 m J2 m e z i; (2.68) onde Cm é uma constante de normalização.
Impondo a segunda condição de contorno em z = zc, obtemos:
J1 me zc N1 me zc = J1 m N1 m : (2.69)
Os valores permitidos de m são as raízes de (2:69), sendo assim o espectro de massa dos grávitons será dado pelo conjunto de soluções desta equação.
Podemos mostrar que, para as primeiras raízes temos:
m1 ' e zc (2.70)
Assim, percebemos que a massa dos grávitons depende de comprimento da di- mensão extra. Portanto, se escolhemos zc su…cientemente pequeno, e su…ciente-
mente grande, a massa do primeiro modo KK seria muito grande de tal maneira que a energia necessária para excitá-lo estaria fora do alcance dos nossos instrumentos. Isso implicaria que apenas grávitons sem massa poderiam ser vistos por um observador quadrimensional que habita na brana. Então, um espaço-tempo com apenas uma dimensão extra é compatível com os dados observacionais na escala de energia dos aceleradores de partículas atuais.