3. T EORETISKE PLATTFORMER I OPPGAVEN
3.2 Initiativ for kunnskapsforvaltning
3.3.1 Hvordan lede praksisfellesskap?
Nesta seção desenvolveremos mais algumas particularidades de Ch(S), que serão utilizadas posteriormente.
Começamos com um resultado que diz respeito a determinados conjuntos de Ch(S), co- nhecido como seleção de uma função contínua. Mais especificamente, mostraremos que dado A∈ Ch(S)n+m, podemos encontrar uma função contínua, em Ch(S), cujo domínio é um cubo
aberto do Rn e cujo gráfico está contido em A, contanto que o interior de π
n+m,n[A] seja não
vazio. Ao final, apresentamos, sob as mesmas hipóteses, uma versão mais forte desta proposi- ção, que é a seleção de uma função Cp, sendo que p ∈ N. Para tanto, estabeleceremos lemas,
no decurso da seção, que serão suficientes para garantir nosso intento.
Lema 2.3.1 (Seleção de uma função contínua). Sejam n, m ∈ N+, A∈ Ch(S)
n+m e um cubo
B ⊆ Rn tal que
∀¯x ∈ B ∃~y ∈ Rm (¯x, ~y)
∈ A.
Então, existem um cubo B′ ⊆ B e uma função contínua f : B′ → Rm contida em Ch(S) n+m
(i. e., Gr(f )∈ Ch(S)n+m) de modo que Gr(f )⊆ A.
Demonstração. Sejam A∈ Ch(S)n+m e um cubo B ⊆ Rncom a propriedade: para todo ¯x ∈ B
existe ~y ∈ Rm, de modo que (¯x, ~y) ∈ A.
Afirmação. Sob as hipóteses apresentadas, existem um cubo ˜B ⊆ B e uma função (não necessariamente contínua) f : ˜B → Rm tal que Gr(f )∈ Ch(S)
n+m e Gr(f )⊆ A.
Prova da Afirmação. Vamos proceder por indução em m. Seja m = 1.
Se A ∩ (B × R) tem um ponto interior, então existem um cubo ˜B ⊆ B e um ponto b ∈ R tal que ˜B× { b } ⊆ A.
Seja f : ˜B → R a função dada por
f (¯x) = b, para todo ¯x∈ ˜B. Assim, Gr(f) = ˜B× { b } ∈ Ch(S).
Se A ∩ (B × R) não tem ponto interior, então, pelo Lema 2.2.1, existem um cubo ˜B ⊆ B e um natural k, de sorte que, para todo ¯x ∈ ˜B
|(A ∩ (B × R))x¯| = |Ax¯| = k > 0,
pela hipótese sobre A.
Seja f : ˜B → R a função dada por
Gr(f ) ={ (¯x, r1)∈ Rn+1 : ¯x∈ ˜B ∧ ∃r2 > 0· · · ∃rk> 0 k
V
i=1
((¯x, r1+· · · + ri)∈ A) }.
Então, Gr(f) ∈ Ch(S) e, pela própria definição de Gr(f), Gr(f) ⊆ A.
Suponha que m > 1 e que a afirmação seja válida para os naturais menores que m.
Então, para m − 1 (e πn+m,n+m−1[A] e B), existem um cubo B∗ ⊆ B e uma função
f∗: B∗ → Rm−1 tais que
Gr(f∗)⊆ Ch(S) e Gr(f∗)⊆ πn+m,n+m−1[A].
Considere a relação S dada por
S = { (¯x, y) ∈ Rn+1 : ¯x∈ B∗∧ (¯x, f∗(¯x), y)∈ A }.
Logo, pela hipótese de indução para m = 1 (e S e B∗), existem um cubo ˜B ⊆ B∗ e uma
função ˜f : ˜B → R tal que
Definimos, então, a função f : ˜B → Rm por
Gr(f ) ={ (¯x, y1, . . . , ym)∈ Rn+m : ¯x∈ ˜B ∧ f∗(¯x) = (y1, . . . , ym−1)∧ ˜f (¯x) = ym}.
Segue, diretamente da definição de Gr(f), que Gr(f) ⊆ A. Também, Gr(f) ∈ Ch(S)n+m.
Então, pela Afirmação, existem um cubo ˜B ⊆ B e uma função f : ˜B → Rm tal que
Gr(f ) ∈ Ch(S)n+m e Gr(f) ⊆ A.
Para cada j = 1, . . . , m, definimos a função fj: ˜B → R por
fj(¯x) = yj ⇔ f(¯x) = (y1, . . . , ym).
Seja
Dfj ={ ¯x ∈ ˜B : fj é descontínua em ¯x }.
Chamemos de D a união Df1 ∪ · · · ∪ Dfm.
Pelo Lema 2.2.2, Dfj ∈ Ch(S), para todo j. Logo, D ∈ Ch(S). Ainda pelo Lema 2.2.2,
˚
Dfj =∅. Assim, Dfj tem medida nula, para todo j. Então, D tem medida nula, o que implica
˚
D = ∅. Logo, pelo Corolário 2.1.19, ˜B ∩ (Rn\ D) = ˜B \ D tem um ponto interior. Por
conseguinte, existe um cubo B′ ⊆ ( ˜B \ D). Consequentemente, f
j ↾ B′ é contínua, para todo
j. Portanto, f ↾ B′ = (f
1 ↾B′, . . . , fm ↾B′) é contínua.
A seguir, inserimos um resultado que será usado tanto no lema ulterior quanto na propo- sição principal da Seção 4.
Lema 2.3.2. Seja A ∈ Ch(S)n+1 tal que
A⊆ Rn
×]0, ∞[ e ˚A =∅. Seja A0 ={ ¯x : (¯x, 0) ∈ A }. Então, ˚A0 =∅.
Demonstração. Em primeiro lugar, note que A0 ∈ Ch(S).
Suponha, por absurdo, que ˚A0 6= ∅. Então, existe um cubo aberto tal que B0 ⊆ A0. Como
˚
A =∅, logo, pelo Lema 2.2.1, existem k ∈ N e um cubo B1 ⊆ B0 de modo que
para todo ¯x ∈ B1, |Ax¯| = k.
Analogamente ao caso m = 1, na demonstração da Afirmação do Lema 2.3.1, existe uma função f : B1 → R tal que Gr(f) ∈ Ch(S), Gr(f) ⊆ A e
(†) para todo ¯x ∈ B1, (¯x, y) ∈ A implica f(¯x) ≤ y.
Também, analogamente à parte final da demonstração do Lema 2.3.1, existe um cubo B2 ⊆ B1 tal que f ↾ B2 é contínua.
Podemos, então, tomar B2 como um cubo fechado. Como B2 é um compacto, segue que
f ↾ B2 possui valor mínimo ǫ. Uma vez que Gr(f) ⊆ A ⊆ Rn×]0, ∞[, temos ǫ > 0.
Vejamos, então, que existe ¯x ∈ B2, tal que (¯x, 0) 6∈ A.
De fato, como ˚B2 6= 0, então existe ¯x ∈ ˚B2. Agora, suponha, por absurdo, que (¯x, 0) ∈ A.
Então, existe uma sequência (¯zj, sj)j em A tal que ¯zj → ¯x e sj → 0.
De ¯zj → ¯x, temos que existe J0 ∈ N, de sorte que ¯zj ∈ ˚B2, para todo j > J0.
De sj → 0, segue que existe J1 ∈ N, de modo que sj < ǫ, para todo j > J1.
Tome J = max{J0, J1}. Assim, para todo j > J,
¯
zj ∈ ˚B2 e (¯zj, sj)∈ A.
Logo, de (†), f(¯zj) ≤ sj. Assim, f(¯zj) < ǫ. Contradição, pois ǫ ≤ f(¯z), para qualquer
¯ z ∈ B2.
Portanto, (¯x, 0) 6∈ A.
O restante desta seção consiste de lemas para o Teorema 2.3.14, que é o da seleção de uma função Cp. Este, por sua vez, será usado na demonstração da Afirmação 6, no Teorema 2.4.2.
Notação. Se A ⊆ Rn+1, então (¯a, +∞) ∈ A denota
(¯a, 0)∈ { (¯x, z) : ∃y ((¯x, y) ∈ A ∧ yz = 1 ∧ z > 0) } e (¯a,−∞) ∈ A denota
(¯a, 0)∈ { (¯x, z) : ∃y ((¯x, y) ∈ A ∧ yz = 1 ∧ z < 0) }.
Lema 2.3.3. Seja h: B × (0, λ) → R uma função, com B ⊆ Rn cubo aberto e λ > 0, tal que
Gr(h)∈ Ch(S)n+2 e h é contínua. Seja
S ={ ¯x : ∃y1∃y2 ∈ R±∞(y1 6= y2∧ (¯x, 0, y1)∈ Gr(h) ∧ (¯x, 0, y2)∈ Gr(h)) },
com R±∞= R∪ { ±∞ }. Então, S ∈ Ch(S) e ˚S = ∅.
Demonstração. A expressão
∃y1∃y2(y1 < y2∨ y2 < y1∧ ¯φGr(h)(¯x, 0, y1)∧ ¯φGr(h)(¯x, 0, y2)),
com φGr(h)(¯x, 0, yi) interpretado como (¯x, 0, yi) ∈ Gr(h), é uma Ch-fórmula que define S.
Então, S ∈ Ch(S). Vejamos que ˚S =∅.
Afirmação. Suponha (¯a, 0, b), (¯a, 0, c)∈ Gr(h), com b, c ∈ R±∞ e b < c. Então,
(¯a, 0, z)∈ Gr(h), para todo z ∈ [b, c].
Prova da Afirmação. É suficiente mostrar que dados d∈]b, c[, V ⊆ B um cubo aberto contendo ¯
a e η ∈]0, λ[ arbitrários, existe (¯x, γ) ∈ V ×]0, η[ tal que (¯x, γ, d) ∈ Gr(h). Fixemos d ∈]b, c[, V ⊆ B um cubo aberto contendo ¯a e η ∈]0, λ[.
Como (¯a, 0, b) ∈ Gr(h) e b < d, então para V ×] − η, η]×] − ∞, d[, aberto que contém (¯a, 0, b), existe um ponto (¯x′, γ′, z′) em (V×] − η, η[×] − ∞, d[) ∩ Gr(h). Isto implica que,
(¯x′, γ′, z′)∈ V ×]0, η[×] − ∞, d[ e h(¯x′, γ′) = z′.
Similarmente, como (¯a, 0, c) ∈ Gr(h) e d < c, então existe (¯x′′, γ′′, z′′) tal que
(¯x′′, γ′′, z′′)∈ V ×]0, η[×]d, ∞[ e h(¯x′′, γ′′) = z′′.
Como V × (0, η) é convexo, então contém o segmento L que liga (¯x′, γ′) a (¯x′′, γ′′). Logo,
L⊆ B×]0, λ[.
Como h(¯x′, γ′) = z′ < d < z′′ = h(¯x′′, γ′′), então, pelo Teorema do Valor Intermediário,
existe (¯x, γ) ∈ L ⊆ V ×]0, η[ tal que h(¯x, γ) = d, i. e.,
(¯x, γ, d)∈ Gr(h).
Segue da Afirmação, que para todo ¯x ∈ S existem y1 6= y2 (que supomos, sem perda de
generalidade, y1 < y2) tais que
[y1, y2]⊆ Gr(h)(¯x,0).
Então, µ1(Gr(h)(¯x,0)) > 0.
Agora, suponha, por absurdo, que S tenha interior não vazio. Então, S contém um cubo B′. Consequentemente,
B′ ⊆ { ¯x : µ1(Gr(h)(¯x,0)) > 0} = S.
Por Fubini, A0 = { (¯x, y) : (¯x, 0, y) ∈ Gr(h) } tem medida positiva. Logo, A0 tem interior
não vazio. Então, pelo Lema 2.3.2, Gr(h) também tem interior não vazio. Absurdo, pois h é função.
Introduziremos, agora, subconjuntos do Rn+m que são “quase funções”. Mais precisamente,
exigimos que cada elemento ¯x de um determinado subconjunto U ⊆ Rn esteja associado a
um elemento ~y de Rm. É permitido que esta associação não seja, necessariamente, unívoca.
Todavia, o conjunto dos pontos de U que têm mais de um correspondente possui medida nula. Definição 2.3.4. Seja A ⊆ U × Rm, com U ⊆ Rn, tal que:
1. para todo ¯x ∈ U existe ~y ∈ Rm, (¯x, ~y) ∈ A.
2. { ¯x ∈ U : ∃y1∃y2(y1 6= y2∧ (¯x, y1)∈ A ∧ (¯x, y2)∈ A) } é µn-nulo.
Então, dizemos que A é o gráfico de uma pseudofunção. Notação.
1. Pseudofunções serão denotadas por ˆf , ˆg, etc. e, analogamente às funções, usaremos as notações ˆf : U → Rm e Gr( ˆf ) como sinônimos do conjunto A da Definição 2.3.4.
2. Se ¯a∈ U e existe um único ~y ∈ Rm tal que (¯a, ~y)∈ Gr( ˆf ), então escrevemos ˆf (¯a) = ~y.
3. Sejam ε∈ R, n ∈ N+ e i∈ { 1, . . . , n }. Então, ¯ε
i denota a n-upla (0, . . . , 0, ε, 0, . . . , 0),
de modo que ε é a i-ésima coordenada. Lema 2.3.5. Seja U ⊆ Rn.
(i) Qualquer função f : U → Rm é uma pseudofunção.
(ii) Seja ˆf : U → Rm uma pseudofunção tal que U é aberto e Gr( ˆf ) ∈ Ch(S), então existe
Demonstração.
(i) É imediato das definições de função e pseudofunção. (ii) Seja B′ ={ ¯x ∈ U : ∃y
1∃y2(y1 6= y2∧ (¯x, y1)∈ Gr( ˆf )∧ (¯x, y2)∈ Gr( ˆf ))}.
Dado que ˆf é pseudofunção, então ˚B′ = ∅. Além disso, como Gr( ˆf ) ∈ Ch(S), logo
B′ ∈ Ch(S). Assim, pelo Corolário 2.1.19, U ∩ (Rn\ B′) tem interior não vazio, ou seja, existe
B ⊆ (U \ B′) cubo aberto. Portanto, ˆf ↾ B é uma função.
Aviso. Daqui até o fim do Lema 2.3.11, fixamos uma pseudofunção ˆf : U → R, com U ⊆ Rn
aberto, tal que Gr( ˆf )∈ Ch(S).
Definição 2.3.6. Seja ˆf : U → R uma pseudofunção como a fixada logo acima. Sejam ¯a ∈ U e um vetor ¯v ∈ Rn. Então, dizemos que a derivada direcional de ˆf , em ¯a, na direção ¯v
existe se existe um aberto V ⊆ U, com ¯a ∈ V , tal que ˆf é função em V e o limite ∂ ˆf ∂¯v(¯a) = limε→0 ˆ f (¯a + ε¯v)− ˆf (¯a) ε existe.
Em seguida, definimos pseudofunções, a partir da pseudofunção fixada ˆf : U → R, que serão úteis na tentativa de investigar os pontos nos quais ˆf é uma função C1.
Definição 2.3.7. Para cada i = 1, . . . , n, seja ˆgi a pseudofunção dada por
Gr(ˆgi) = { (¯x, ε, y) : ¯x ∈ U ∧ ¯x + ¯εi ∈ U ∧ ∃z1∃z2[(¯x, z1)∈ Gr( ˆf )
∧ (¯x + ¯εi, z2)∈ Gr( ˆf )∧ εy = z2− z1]∧ (ε 6= 0) }.
Aqui, notamos que é um tanto difícil escrevermos de forma explícita o domínio das pseudo- funções ˆgi, uma vez que não conseguimos determinar um intervalo I ⊆ R, de modo que para
quaisquer ε ∈ I \ {0} e ¯x ∈ U, tenhamos ¯x + ¯ε ∈ U. Entretanto, podemos delimitar “domínios locais” para ˆgi, como assegura o lema seguinte.
1. Se ¯x ∈ U, então existem V ⊆ U um cubo, com ¯x ∈ V , e um η > 0 tal que ˆgi está
definida, como pseudofunção, em V × (] − η, η[\{ 0 }).
2. Seja Gi ={ (¯x, y) : (¯x, 0, y) ∈ Gr(ˆgi)}. Então, Gr(ˆgi), Gi ∈ Ch(S). 3. Gi é fechado. 4. Se ¯a∈ U e ∂x∂ ˆf i(¯a) existe, então ¯ a,∂x∂ ˆf i(¯a) ∈ Gi. Demonstração.
1. Fixe ¯x ∈ U. Então, existe um cubo aberto
B =]p1, q1[× · · · ×]pn, qn[,
tal que ¯x ∈ B ⊆ U. Logo, pi < xi < qi.
Sejam m = min{ qi− xi, xi− pi} e η = m/2. Então, tomando V como
]p1, q1[× · · · ×]xi− η, xi+ η[× · · · ×]pn, qn[,
segue o resultado.
2. De Gr( ˆf )∈ Ch(S) temos que, Gr(ˆgi)∈ Ch(S). Consequentemente, Gi ∈ Ch(S).
3. Seja (¯a, b) ∈ Gi. Vejamos que (¯a, 0, b) ∈ Gr(ˆgi).
Considere B um cubo aberto, com ¯a ∈ B, r > 0 e I um intervalo aberto, com b ∈ I. Uma vez que B × I é um aberto contendo (¯a, b) e (¯a, b) ∈ Gi, então, existe (¯a′, b′) ∈
(B× I) ∩ Gi.
Logo,
(¯a′, 0, b′)∈ Gr(ˆgi).
Visto que B×] − r, r[×I é um aberto ao qual (¯a′, 0, b′) pertence, então
4. Fixe ¯a ∈ U. Vejamos que ¯a, 0,∂x∂ ˆf
i(¯a)
∈ Gr(ˆgi).
Com efeito, pelo item 1, existem um cubo aberto V ⊆ U, tal que ¯a ∈ V , e um η > 0 de sorte que ˆgi está definida em V × (] − η, η[\{ 0 }) como pseudofunção.
Seja B×] − δ, δ[×]α, β[ uma vizinhança aberta arbitrária de (¯a, 0, L), com L = ∂ ˆf ∂xi(¯a) e
B ⊆ U um cubo aberto. Considere r > 0 tal que
]L− r, L + r[⊆]α, β[.
Logo, pela definição de L, temos que existem V1 ⊆ U um cubo aberto, tal que ¯a ∈ V1 e ˆf
restrita a V1 é função, e θ > 0 de modo que para qualquer ε ∈] − θ, θ[\{ 0 }, vale
ˆ gi(¯a, ε) = ˆ f (¯a + ¯εi)− ˆf (¯a) ε ∈ (L − r, L + r). Sejam W = B ∩ V ∩ V1 e λ = min{ θ, η, δ }. Tome ¯a,λ 2 ∈ W × (] − λ, λ[\{ 0 }). Então, ˆ gi ¯ a,λ 2 ∈]L − r, L + r[⊆]α, β[. Portanto, ¯ a,λ 2, ˆgi ¯ a,λ 2 ∈ (B×] − δ, δ[×]α, β[) ∩ Gr(ˆgi).
Esta última parte do Lema 2.3.8 pode ser reescrita como Gr ∂ ˆf ∂xi ⊆ Gi. A inclusão Gi ⊆ Gr ∂x∂ ˆf i
é válida para o caso de ˆf ser uma função diferenciável com derivada contínua. Portanto, sob esta condição e visto que Gi ∈ Ch(S), concluímos que Ch(S) é fechado sob
derivação parcial. É o que afirma o lema seguinte.
Lema 2.3.9 (Fecho sob diferenciação). Se ˆf é uma função diferenciável com derivada contí- nua, então Gr ∂x∂ ˆf i = Gi, para i = 1, . . . , n e, portanto, Gr ∂x∂ ˆfi ∈ Ch(S).
Demonstração. Fixemos i∈ { 1, . . . , n }. O caso Gr ∂ ˆf
∂xi
⊆ Gi segue diretamente do Lema 2.3.8.
Vejamos, então, que Gi ⊆ Gr ∂x∂ ˆf
i
.
Para isso, basta mostrarmos que se ¯a ∈ U e r > 0, então existe um cubo aberto B ⊆ Rn+1,
com (¯a, 0) ∈ B, tal que
(†) para todo (¯x, ε) ∈ B, (¯x, ε, y)∈ Gr(ˆgi) implica
y − ∂x∂ ˆfi(¯a) < r. Fixemos ¯a ∈ U e r > 0. Por hipótese, ∂ ˆf
∂xi(¯a) existe. Logo, por definição, existem γ > 0 e um cubo aberto V ⊆ U,
com ¯a ∈ V , tal que ˆf é função em V e tal que para qualquer ε ∈] − γ, γ[\{ 0 }, tem-se ¯ a + ¯εi ∈ V e ˆ f (¯a + ¯εi)− ˆf (¯a) ε − ∂ ˆf ∂xi (¯a) < r.
Ainda por hipótese, ∂ ˆf
∂xi é contínua em ¯a. Logo, existe W ⊆ U um cubo aberto, com ¯a ∈ W ,
tal que para todo ¯x ∈ W ,
∂x∂ ˆf i (¯x)− ∂ ˆf ∂xi (¯a) < r. Considere o cubo aberto W∗ = V ∩ W . Podemos escrever
W∗ =]p1, q1[× · · · ×]pn, qn[.
Como ¯a ∈ W∗, então p
j < aj < qj, para j = 1, . . . , n.
Considere mi =min{ qi − ai, ai− pi}.
Se mi > γ, então tomamos
Se mi ≤ γ, então tomamos B =]p1, q1[× · · · × i ai− mi 2 , ai+ mi 2 h × · · · ×]pn, qn[× i − m2i,mi 2 h . Em ambos os casos, segue que
¯
x + ¯εi ∈ W∗, para todo (¯x, ε)∈ B.
Seja (¯x, ε) ∈ B e suponha, sem perda de generalidade, que ε > 0. Assim, se (¯x, ε, y) ∈ Gr(ˆgi), então
y = f (¯ˆx + ¯εi)− ˆf (¯x)
ε .
Denotemos por ˇf : I → R a função ˇ
f (t) = ˆf (x1, . . . , xi−1, xi+ t, xi+1, . . . , xn),
sendo que I é um intervalo aberto que contém [0, ε].
Como ˇf é composição de duas funções diferenciáveis, então é diferenciável. Assim, pelo Teorema do Valor Médio, existe η ∈]0, ε[ tal que
d ˇf dt(η) = ˆ f (¯x + ¯εi)− ˆf (¯x) ε = y. Mas, d ˇf dt(η) = ∂ ˆf ∂xi (¯x + ¯ηi). Logo, y = ∂ ˆf ∂xi (¯x + ¯ηi).
Uma vez que ¯x + ¯ηi ∈ W∗, então ∂x∂ ˆf i (¯x + ¯ηi)− ∂ ˆf ∂xi (¯a) < r, ou seja, y − ∂x∂ ˆf i (¯a) < r.
Considere, agora, os subconjuntos de Rn
Ci ={ ¯x ∈ Rn: ∃y1∃y2[y1 6= y2∧ (¯x, y1)∈ Gr( ˆf )∧ (¯x, y2)∈ Gr( ˆf )] ∨ (¯x, +∞) ∈ Gi∨ (¯x, −∞) ∈ Gi∨ ∃y1∃y2[y1 6= y2∧ (¯x, y1)∈ Gi∧ (¯x, y2)∈ Gi]} e C = n [ i=1 Ci.
Nossa meta é mostrar que C contém todos os pontos nos quais ˆf não é uma função C1.
Isto será feito no lema a seguir. No lema subsequente, garantimos que C tem interior vazio. Lema 2.3.10. Denotemos por f∗ a restrição de ˆf ao aberto U\ C. Então, f∗ é uma função
e as derivadas parciais ∂f∂x∗
i existem e são contínuas, para i = 1, . . . , n.
Demonstração. Fixemos i = 1, . . . , n. Vejamos que f∗ é função.
Suponha, por absurdo, que existam ¯a ∈ U \ C e y1, y2 ∈ R, com y1 6= y2, tais que
(¯a, y1), (¯a, y2)∈ Gr(f∗).
Então, (¯a, y1), (¯a, y2)∈ Gr( ˆf ). Portanto, ¯a∈ Ci. (⇒⇐)
Vejamos que ∂f∗
∂xi existe.
Suponha, por absurdo, que ∂f∗
Então, o limite lim ε→0 ˆ f (¯a + ¯εi)− ˆf (¯a) ε = limε→0ˆgi(¯a, ε) não existe.
Assim, temos dois casos a considerar:
(a) existem sequências (¯xj, δj)j e (¯zj, θj)j, com ¯xj, ¯zj → ¯a e δj, θj → 0, tais que
y1 = lim j ˆgi(¯xj, δj)6= limj ˆgi(¯zj, θj) = y2. (b) lim ε→0ˆgi(¯a, ε) =±∞. No caso (a), (¯a, 0, y1), (¯a, 0, y2)∈ Gr(ˆgi). Já no caso (b), (¯a, 0, +∞) ∈ Gr(ˆgi) ou (¯a, 0,−∞) ∈ Gr(ˆgi).
Em qualquer dos casos, ¯a ∈ Ci. (⇒⇐)
Portanto, ∂f∗
∂xi é uma função definida no aberto U \ C.
Resta mostrar que ∂f∗
∂xi é contínua.
Antes, note que, pelo Lema 2.3.8, temos
(†) Gr(∂f∂x∗
i)⊆ Gi.
Suponha, por absurdo, que ∂f∗
∂xi seja descontínua num ponto ¯a ∈ U \ C.
Então, existe (¯aj)j ∈ U \ C, com ¯aj → ¯a, tal que
∂f∗ ∂xi (¯aj) 9 ∂f∗ ∂xi (¯a).
Por conseguinte, existem um intervalo aberto I, com ∂f∗
∂f∗ ∂xi(¯ajl) l tal que ∂f∗ ∂xi (¯ajl)6∈ I, para todo l. Assim: (i) Se∂f∗ ∂xi(¯ajl)
lé limitada, então, por Bolzano-Weierstrass, tem subsequência
∂f∗ ∂xi(¯ajk) k convergente. Seja lim k ∂f∗ ∂xi(¯ajk) = b. Logo, (¯a, b)∈ Gr∂f∗ ∂xi . Por (†), temos que
(¯a, b),¯a,∂f ∗ ∂xi (¯a)∈ Gi. Também, como ∂f∗ ∂xi(¯ajk) 9 ∂f∗ ∂xi(¯a), então b6= ∂f ∗ ∂xi (¯a). Portanto, ¯a ∈ Ci. (⇒⇐) (ii) Se ∂f∗ ∂xi(¯ajl)
l é ilimitada, então tem subsequência
∂f∗ ∂xi(¯ajk) k tal que ∂f∗ ∂xi (¯ajk)→ ±∞. Logo, (¯a,±∞) ∈ Gr∂f ∗ ∂xi . Por (†), obtemos (¯a, ±∞) ∈ Gi e, assim, ¯a ∈ Ci. (⇒⇐)
Demonstração. Suponha, por absurdo, que C tenha um ponto interior. Então, pelo Corolário 2.1.18, Sn
i=1
Ci tem medida não nula. Logo, existe i ∈ { 1, . . . , n } tal que Ci tem medida não
nula. Novamente, pelo Corolário 2.1.18, Ci tem um ponto interior. Então, existe um cubo
aberto B contido em Ci. Como Ci ⊆ U, então B pode ser reduzido de tal modo que B ⊆ U.
Assim, pelo Lema 2.3.1, existem um cubo B′ ⊆ B e uma função contínua f : B′ → R tal
que Gr(f) ∈ Ch(S)n+1 e Gr(f) ⊆ Gr( ˆf ). Dessa forma, podemos assumir que B tenha sido
reduzido a um cubo aberto no qual ˆf é uma função contínua. Passaremos, então, a denotar ˆf por f. Como consequência, a função
ˆ
gi(¯x, εi) =
f (¯x + ¯εi)− f(¯x)
ε ,
restrita a B × (] − λ, λ[\{ 0 }), com λ > 0, é uma função contínua. Denotaremos ˆgi ↾B × (] − λ, λ[\{ 0 }) por g. Note que,
Gr(g) ={ (¯x, ε, y) ∈ Rn+2: ¯x∈ B ∧ ε ∈] − λ, λ[∧ε 6= 0
∧ ∃z1∃z2((¯x, z1)∈ Gr(f) ∧ (¯x + ¯εi, z2)∈ Gr(f) ∧ εy = z2− z1)}
ou seja, Gr(g) é definido por uma Ch-fórmula. Portanto, Gr(g) ∈ Ch(S)n+2.
Indiquemos g ↾ B×]0, λ[ por g+ e definamos g−: B×]0, λ[→ R por
g−(¯x, ε) = g(¯x,−ε). Sejam G = { (¯x, y) : (¯x, 0, y) ∈ Gr(g) }, G+={ (¯x, y) : (¯x, 0, y) ∈ Gr(g+)} e G− ={ (¯x, y) : (¯x, 0, y) ∈ Gr(g−)}.
Considere, ainda,
Sg+ ={ ¯x : ∃y1∃y2 ∈ R±∞(y1 6= y2∧ (¯x, 0, y1)∈ Gr(g+)∧ (¯x, 0, y2)∈ Gr(g+))}
e
Sg− ={ ¯x : ∃y1∃y2 ∈ R±∞(y1 6= y2∧ (¯x, 0, y1)∈ Gr(g−)∧ (¯x, 0, y2)∈ Gr(g−))},
com R±∞= R∪ { ±∞ }.
Então, pelo Lema 2.3.3, Sg+ e Sg− têm interior vazio. Uma vez que Sg+, Sg− ∈ Ch(S),
então, pelo Corolário 2.1.19,
˚ \ B\ Sg+ 6= ∅ 6= ˚ \ B\ Sg−.
DeB\\ S˚ g+ 6= ∅, temos que existe um cubo aberto B1 contido em B \Sg+. Como B1 6⊆ Sg−,
então existe ¯b1 ∈ B1 tal que ¯b1 6∈ Sg−. Seja
m = min{ d(¯b1, Sg−), d(¯b1, Sg+)},
em que d(¯x, D) é a distância entre o ponto ¯x e o conjunto D. Seja B(¯b1; m) ={ ¯x ∈ B : k¯x − ¯b1k < m }. Então,
B(¯b1; m)⊆ B \ (Sg−∪ Sg+)
e, portanto
B(¯b1; m)∩ (Sg−∪ Sg+) = ∅.
Assim, podemos assumir que B tenha sido reduzido de tal forma que B ∩ (Sg−∪ Sg+) =∅.
Portanto, para todo ¯x ∈ B valem:
(1*) Existe um único y ∈ R ∪ { ±∞ } tal que (¯x, y) ∈ G+. Chamemos tal y de y+(¯x).
Agora, considere os seguintes conjuntos: U1 ={ ¯x ∈ B : y+(¯x) = +∞ = y−(¯x)}, U2 ={ ¯x ∈ B : y+(¯x) = −∞ = y−(¯x)}, e U3 ={ ¯x ∈ B : y+(¯x)6= y−(¯x)}. Então, (i) G = G+∪ G−.
Com efeito, como Gr(g+)⊆ Gr(g), então
Gr(g+)⊆ Gr(g).
Assim,
G+ ⊆ G.
Agora, seja (¯x, y) ∈ G−. Então, (¯x, 0, y) ∈ Gr(g−). Logo, existe uma sequência (¯x
n, εn, yn)n
em Gr(g−) tal que (¯x
n, εn, yn) → (¯x, 0, y). Portanto, (¯xn,−εn, yn)n ∈ Gr(g) e, além disso,
(¯xn,−εn, yn)→ (¯x, 0, y). Assim, (¯x, 0, y) ∈ Gr(g) e, portanto, (¯x, y) ∈ G.
Em resumo, G+∪ G− ⊆ G.
Inversamente, seja (¯x, y) ∈ G. Então, (¯x, 0, y) ∈ Gr(g). Logo, existe uma sequência (¯xj, εj, yj)j em Gr(g) tal que (¯xj, εj, yj)→ (¯x, 0, y).
Seja J = { j : εj ∈]0, λ[ }.
Então, |J| ≤ ω.
Se |J| ∈ ω, então existe j′ = max J. Dessa forma, (ε
j)j>j′ é uma subsequência de (εj)j, tal
que
Portanto, (¯xj,−εj, g−(¯xj,−εj)) = (¯xj,−εj, g(¯xj, εj)) = (¯xj,−εj, yj), para todo j > j′. Logo, (¯xj,−εj, yj)j>j′ ∈ Gr(g−) e, além disso (¯xj,−εj, yj)→ (¯x, 0, y). Assim, (¯x, 0, y)∈ Gr(g−), o que implica (¯x, 0, y)∈ G−. Se |J| = ω, então (¯x, 0, y) ∈ Gr(g+). Ou seja, (¯x, 0, y)∈ G+. (ii) B = U1∪ U2∪ U3.
Seja ¯x ∈ B tal que ¯x 6∈ U2 e ¯x 6∈ U3. Então,
y+(¯x) = y−(¯x) = y e y6= −∞. Logo, y ∈ R ou y = +∞.
Suponha y ∈ R. Pela definição de y e pelo item (i), (¯x, y) ∈ G. Vejamos que este y é único.
De fato, suponha, por absurdo, que exista y∗ ∈ R \ { y } tal que (¯x, y∗)∈ G. Então, pelo
item (i), (¯x, y∗)∈ G+ ou (¯x, y∗)∈ G−.
Se (¯x, y∗)∈ G−, então, uma vez que (¯x, y) ∈ G−, temos, por (2∗), que y = y∗. (⇒⇐)
Analogamente, se (¯x, y∗) ∈ G+, então, uma vez que (¯x, y) ∈ G+, temos, por (1∗), que
Assim, existe um único y ∈ R tal que (¯x, y) ∈ G(= Gi).
Portanto, pela definição de Ci, (¯x, y) 6∈ Ci. Contradição, pois B ⊆ Ci.
Assim, y = +∞.
Para completarmos a demonstração, mostraremos que U1, U2 e U3 têm interior vazio.
Afirmação 1. U1 tem interior vazio.
Prova da Afirmação. Suponha, por absurdo, que exista um cubo aberto B1 contido em U1.
Sejam ¯a, ¯a + ¯ηi ∈ B1, para algum η > 0, e L o segmento (em Rn+1) que liga o ponto
(¯a, f (¯a)) ao ponto (¯a + ¯ηi, f (¯a + ¯ηi)).
Então, não existe um segmento não degenerado I ⊆ L, com um dos extremos igual a (¯a, f (¯a)) e tal que I ⊆ Gr(f).
Suponha, por absurdo, que exista tal segmento I. Então, existe 0 < s ≤ 1 tal que I ={ (¯x, f(¯x)) : ¯x = (1 − t)¯a + t(¯a + ¯ηi) e f (¯x) = (1− t)f(¯a) + tf(¯a + ¯ηi), t∈ [0, s] }.
Vejamos, então, que para todo t ∈ (0, s), g+(¯a, tη) = g+(¯a, η).
De fato, seja t ∈]0, s[. Então, ¯
x = (1− t)¯a + t(¯a + ¯ηi) = ¯a + t¯ηi e f(¯x) = (1 − t)f(¯a) + tf(¯a + ¯ηi).
Logo,
f (¯a + t¯ηi)− f(¯a) = t[f(¯a + ¯ηi)− f(¯a)],
ou seja
f (¯a + t¯ηi)− f(¯a)
tη =
f (¯a + ¯ηi)− f(¯a)
η .
Uma vez que, tηi = t¯ηi, temos g+(¯a, tη) = g+(¯a, η).
Agora, tome a sequência (s
j)j ∈]0, s[. Então, ηs j → 0. Além disso, g +(¯a,s jη) = g +(¯a, η),
para todo j. Assim, g+(¯a,s jη)→ g +(¯a, η). Portanto, (¯a,ηs j , g +(¯a,sη j ))∈ Gr(g
+) tem o ponto (¯a, 0, g+(¯a, η)) como limite, o que implica
que (¯a, g+(¯a, η))∈ G+.
Entretanto, de ¯a ∈ B1 ⊆ U1, temos que y+(¯a) = +∞. Assim, por (1*), g+(¯a, η) = +∞.
Contradição, pois g+(¯a, η)∈ R.
Portanto, não existe tal segmento I.
Como L é afim, então, por (EF5) para Gr(f), temos que Gr(f)∩L tem N ≥ 1 componentes conexas A1, . . . , AN.
Suponha, sem perda de generalidade, que (¯a, f(¯a)) ∈ A1. Como não pode haver um
segmento contido em L ∩ Gr(f), com extremo igual a (¯a, f(¯a)), então A1 não pode ser um
segmento. Portanto, A1 ={(¯a, f(¯a))}.
A componente A2 é dada por
A2 = (¯a + ¯µi, f (¯a + ¯µi))· (1 − t) + (¯a + ¯ηi, f (¯a + ¯ηi))· t,
sendo que 0 ≤ t < 1 e η > µ > 0, já que A1∩ A2 =∅.
Segue, portanto, que reduzindo η a µ, podemos assumir que
(†) não existem pontos em Gr(f) ∩ L diferentes dos extremos de L. Para cada ¯x ∈ πn+1,n[L], denotemos por l(¯x)∈ R a coordenada tal que (¯x, l(¯x)) ∈ L.
Vejamos que existem δ ∈ (0, η) e γ ∈ (δ, η), de sorte que
f (¯a + ¯γi) < l(¯a + ¯γi) e l(¯a + ¯δi) < f (¯a + ¯δi).
Da implicação (¯a, y) ∈ G+⇒ y = +∞, temos que lim ε→0+g(¯a, ε) = +∞. Portanto, lim ε→0+ f (¯a + ¯εi)− f(¯a) ε = +∞.
Então, pela definição de limite, temos que para η−1[f (¯a + ¯η
i)− f(¯a)] > 0, existe s1 > 0 tal
que f (¯a + ¯εi)− f(¯a) > ε η[f (¯a + ¯ηi)− f(¯a)], para 0 < ε < s1. Seja s∗ 1 = min{η, s1} e tome δ = s∗ 1 2. Portanto,
f (¯a+ ¯δi)−f(¯a) > t[f(¯a+ ¯ηi)−f(¯a)] ⇔ f(¯a+¯δi) > (1−t)f(¯a)+tf(¯a+ ¯ηi) = l(¯a+t¯ηi) = l(¯a+ ¯δi),
com t = δ
η ∈]0, 1[.
Analogamente, de (¯a + ¯ηi, y)∈ G−⇒ y = +∞, segue que
lim
ε→0−
f (¯a + ¯ηi+ ¯εi)− f(¯a + ¯ηi)
ε = +∞.
Então, para η−1[f (¯a + ¯η
i)− f(¯a)] > 0, existe s2 > 0 tal que
f (¯a + ¯ηi+ ¯εi)− f(¯a + ¯ηi) ε > f (¯a + ¯ηi)− f(¯a) η , para todo ε ∈] − s2, 0[. Considere s∗ 2 = min{s2, η− δ} e tome δ∗ =−s ∗ 2 2 ∈] − s2, 0[. Assim, f (¯a + ¯ηi+ ¯δ∗i)− f(¯a + ¯ηi) δ∗ > f (¯a + ¯ηi)− f(¯a) η ,
que é equivalente a f (¯a + (η + δ∗) i) < 1 + δ ∗ η f (¯a + ¯ηi)− δ∗ ηf (¯a). Note que, 0 < η + δ∗ < η. Consequentemente, t = 1 + δ∗
η ∈]0, 1[. Podemos, portanto,
reescrever o membro direito da desigualdade acima como 1 + δ ∗ η f (¯a + ¯ηi)− δ∗ ηf (¯a) = tf (¯a + ¯ηi) + (1− t)f(¯a) = l(¯a + ¯ηi) = l(¯a + (η + δ ∗) i).
Ao tomar γ = η + δ∗ > δ, concluímos que
f (¯a + ¯γi) = f (¯a + (η + δ∗)i) < l(¯a + (η + δ∗)i) = l(¯a + ¯γi).
O caso f(¯a + ¯ηi)− f(¯a) < 0 é análogo.
Agora, uma vez que f é contínua, segue do Teorema do Valor Intermediário, que existe ε∈]δ, γ[ de sorte que f(¯a + ¯εi) = l(¯a + ¯εi), o que contradiz (†).
Afirmação 2. U2 não tem ponto interior.
Prova da Afirmação. A demonstração é análoga ao caso anterior.
Afirmação 3. U3 não tem ponto interior.
Prova da Afirmação. Suponha, por contradição, que exista um cubo aberto B3 ⊆ U3.
Seja ¯a ∈ B3 e sejam b = y+(¯a) e c = y−(¯a). Assim,
b = lim ε→0g +(¯a, ε) = lim ε→0+g(¯a, ε) e c = lim ε→0g −(¯a, ε) = lim ε→0−g(¯a, ε)
Suponha, sem perda de generalidade, que b < c e seja d = (c + b)/2.
Por definição de limite, segue da primeira igualdade, que para (c − b)/2 > 0, existe um cubo B∗
3×]0, s∗[, sendo que s∗ > 0 e B3∗ ⊆ B3 é um cubo de centro ¯a e lados de comprimento
2β∗ > 0 e, além disso, |g+(¯x, γ)− b| < c− b 2 , para (¯x, γ) ∈ B∗ 3×]0, s∗[. Em particular, g+(¯x, γ) < c− b 2 + b = d.
De maneira análoga, segue, para (c − b)/2 > 0, que existe um cubo B∗∗
3 ×]0, s∗∗[, em que
s∗∗ > 0 e B∗∗
3 ⊆ B3 é um cubo de centro ¯a e lados de comprimento 2β∗∗> 0 e, também,
|g−(¯x, γ)− c| < c− b 2 , para todo (¯x, γ) ∈ B∗∗ 3 ×]0, s∗∗[. Particularmente, d =−c − b 2 + c < g−(¯x, γ). Agora, tome ϑ = min{s∗, s∗∗, β∗, β∗∗}.
Seja B′
3 o cubo de centro ¯a cujos lados têm comprimento 2ϑ.
Portanto,
para todo (¯x, γ) ∈ B′
Seja γ ∈]0, ϑ[. Então, d > g+(¯a, γ) = f (¯a + ¯γi)− f(¯a) γ = f ((¯a + ¯γi)− ¯γi)− f(¯a + ¯γi) −γ = g(¯a + ¯γi,−γ) = g−(¯a + ¯γi, γ) > d,
uma vez que (¯a + ¯γi, γ)∈ B3′×]0, ϑ[. (⇒⇐)
Como os conjuntos U1, U2 e U3 estão em Ch(S) e têm interior vazio, então, pelo Corolário
2.1.18, cada um deles tem medida nula. Logo, U1 ∪ U2 ∪ U3 tem medida nula e, novamente
pelo Corolário 2.1.18, U1∪ U2∪ U3 = B tem interior vazio. (⇒⇐)
Definição 2.3.12. Suponha f : U → Rm, com U ⊆ Rn aberto. Então, dizemos que f é C1 se
todas as derivadas parciais ∂f
∂xi (i = 1, . . . , n) existem e são contínuas.
Seja p > 1. Dizemos, então, que f é Cp se f é C1 e a diferencial df : U → Rmn é Cp−1.
Por convenção, f é dita C0 se f é contínua.
As asserções a seguir são resultados bastante conhecidos. Vamos usá-las para verificar se uma função é Cp.
Fato. Seja f : U → Rm, com U ⊆ Rn aberto. Então, para p≥ 1:
1. f é Cp ⇔ ∂f
∂xi (i = 1, . . . , n) existe e é C
p−1.
2. f é Cp ⇔ f
j: U → R (j = 1, . . . , m) é Cp, de modo que f = (f1, . . . , fm).
Teorema 2.3.13. Sejam m, n ∈ N+ e p ∈ N. Considere ˆf : U → Rm uma pseudofunção tal
que Gr( ˆf ) ∈ Ch(S)n+m e U ⊆ Rn é aberto. Então, existe um conjunto fechado C ∈ Ch(S)n,
com interior vazio, tal que a restrição de ˆf a U \ C é uma função Cp.
Vamos proceder por indução em p.
Seja p = 1. Note que este caso cobre o p = 0. Tome C como Sn
i=1
Ci, com
Ci ={ ¯x ∈ Rn : ∃y1∃y2[y1 6= y2 ∧ (¯x, y1)∈ Gr( ˆf )∧ (¯x, y2)∈ Gr( ˆf )]
∨ (¯x, +∞) ∈ Gi∨ (¯x, −∞) ∈ Gi∨ ∃y1∃y2[y1 6= y2∧ (¯x, y1)∈ Gi∧ (¯x, y2)∈ Gi]}.
Pelo Lema 2.3.11, C tem interior vazio. Além disso, chamando de f∗ a restrição de ˆf a
U \ C, temos, pelo Lema 2.3.10, que as derivadas parciais ∂f∗
∂xi’s existem e são contínuas. Ou
seja, f∗ é C1.
Seja p > 1.
Suponha que a proposição em questão valha para todo 1 ≤ q < p.
Seja C(1) ∈ Ch(S) o conjunto que testemunha C para o caso m = 1, p = 1.
Seja, ainda,
Gi ={ (¯x, y) : (¯x, 0, y) ∈ Gr(ˆgi)},
de modo que ˆgi é a pseudofunção da Definição 2.3.7.
Então, para cada i = 1, . . . , n, definimos:
Gr(ˆhi) = Gi∪ G′i,
em que G′
i ={ (¯x, y) : (¯x, ±∞) ∈ Gi∧ y = 1 }
Considere, para cada i,
Di ={ ¯x : ∃y1∃y2(y1 6= y2∧ (¯x, y1)∈ Gr(ˆhi)∧ (¯x, y2)∈ Gr(ˆhi))}.
De fato, dado ¯x ∈ Di, segue que existem distintos y1 e y2 tal que (¯x, y1), (¯x, y2)∈ Gr(ˆhi).
Temos, então, pela definição de ˆhi, duas situações a serem consideradas:
(a) (¯x, y1), (¯x, y2)∈ Gi.
(b) (¯x, y1)∈ Gi e (¯x, y2)∈ G′i.
No caso (a), temos, da definição de Gi e do fato de y1 6= y2, que o limite
lim ε→0gˆi(¯x, ε) = ∂ ˆf ∂xi (¯x) não existe.
Pela hipótese de indução, ˆf ↾ (U \ C(1)) é C1. Em particular, ∂x∂ ˆfi(¯z) existe, para todo
¯
z ∈ U \ C(1). Assim, devemos ter ¯x ∈ C(1).
No caso (b), temos, de (¯x, y2) ∈ G′i, que (¯x, ±∞) ∈ Gi. Então, novamente ∂x∂ ˆf
i(¯x) não
existe. E, analogamente ao caso (a), ¯x ∈ C(1).
Portanto, Di ⊆ C(1).
Como consequência desta inclusão e da hipótese de indução (i. e., C(1) tem interior vazio),
temos ˚Di =∅.
Uma vez que Gr(ˆhi) ∈ Ch(S), então Di ∈ Ch(S). Logo, pelo Corolário 2.1.18, Di tem
medida nula. Portanto, ˆhi é pseudofunção.
Vejamos, agora, que ˆhi ↾(U \ C(1)) = ∂f
∗
∂xi, com f
∗ = ˆf ↾ (U \ C (1)).
Com efeito, temos, pela hipótese de indução, que f∗ é C1. Então, pelo Lema 2.3.9,
Gr ∂f∂x∗
i
= Gi.
É suficiente, portanto, mostrarmos que Gr(ˆhi ↾ (U\ C(1))) = Gi.
Seja (¯x, y) ∈ Gr(ˆhi ↾(U \ C(1))). Então, (¯x, y)∈ Gi ou (¯x, y) ∈ G′i.
Se (¯x, y) ∈ G′
i, então ¯x ∈ C(1). Mas, do fato (¯x, y) ∈ Gr(ˆhi ↾ (U \ C(1))), segue que
¯
x∈ U \ C(1). Contradição.
Por outro lado, se (¯x, y) ∈ Gi, então, da definição de ˆhi, concluímos que (¯x, y) ∈ Gr(ˆhi).
Uma vez que
Gr∂f ∗ ∂xi = Gi, obtemos ¯ x∈ dom∂f ∗ ∂xi = U\ C(1).
Concluímos, assim, que (¯x, y) ∈ Gr(ˆhi ↾ (U\ C(1))).
Agora, aplicando a hipótese de indução para p −1, m = 1 a cada pseudofunção ˆhi, teremos
que existem fechados Cˆh1, . . . , Cˆhn ∈ Ch(S), com interior vazio, tal que a restrição de ˆhi a
U \ Cˆhi é uma função Cp−1, para cada i = 1, . . . , n.
Seja C = n [ i=1 Cˆhi ∪ C(1).
Então, C é fechado e C ∈ Ch(S). Deste último e do Corolário 2.1.18, segue que ˚C =∅. A fim de concluir a indução para o caso m = 1, resta mostrar que ˆf ↾ (U \ C) é Cp. Para
tanto, basta verificarmos que ∂f∗
∂xi, com f
∗ = ˆf ↾ (U \ C) e i = 1, . . . , n, é uma função Cp−1.
De fato, seja ¯x ∈ U \ C. Então, ¯x ∈ U \ C(1) e ¯x ∈ U \ Cˆhi.
De ¯x ∈ U \ Cˆhi e da hipótese de ˆhi ↾(U \ Cˆhi) ser C
p−1, segue que ˆh
i é Cp−1 em ¯x.
Agora, em U \ C(1), as funções ˆhi e ∂x∂ ˆfi assumem os mesmos valores. Logo, de ¯x ∈ U \ C(1),
concluímos que ∂ ˆf ∂xi é C
p−1.
Visto que este ¯x ∈ U \ C é arbitrário, então ∂ ˆf ∂xi é C
p−1 em U \ C.
Assim, a proposição é válida para m = 1 e para todo p ∈ N. Agora, considere m ≥ 1 e p ∈ N quaisquer.
Escreva ˆf = ( ˆf1, . . . , ˆfm) : U → Rm. Então, ˆf1, . . . , ˆfm: U → R são pseudofunções.
de ˆfj a U \ Cfˆj é uma função C p, para j = 1, . . . , m. Seja C = m [ j=1 Cfˆj.
Então, C é fechado, já que é união finita de fechados, e C ∈ Ch(S). Deste último e do Corolário 2.1.18, segue que C tem interior vazio.
Fixemos j ∈ { 1, . . . , m }.
Visto que ˆfj restrita a U \ Cfˆj é Cp e que U \ C ⊆ U \ Cfˆj, então ˆfj ↾(U \ C) é Cp.
Portanto, ˆf restrita a U\ C é Cp.
Com estes resultados preliminares firmados, podemos, enfim, assegurar o principal resul- tado desta terceira parte do Capítulo 2.
Teorema 2.3.14 (Seleção de uma função Cp). Sejam m, n ∈ N+ e p ∈ N. Sejam, ainda,
A∈ Ch(S)n+m e B⊆ Rn um cubo tais que
∀¯x ∈ B ∃~y ∈ Rm
(¯x, ~y)∈ A.
Então, existem um cubo aberto B′ ⊆ B e uma função f : B′ → Rm que éCp e, além disso,
Gr(f )∈ Ch(S)n+m e Gr(f )⊆ A.
Demonstração. Fixe p≥ 1.
Pelo Lema 2.3.1, temos que existem um cubo aberto B∗ ⊆ B e uma função contínua
f∗: B∗ → Rm tal que Gr(f∗) ∈ Ch(S) e Gr(f∗) ⊆ A. Logo, pelo Teorema 2.3.13, existe um
fechado C ∈ Ch(S), com interior vazio, tal que f∗ ↾(B∗\ C) é uma função Cp.
Pelo Corolário 2.1.19, B∗ \ C tem ponto interior. Assim, B∗\ C contém um cubo aberto
B′. Portanto, f∗ ↾B′ é Cp.