As noções corretas de razão, proporção e proporcionalidade são proveitosas em uma variedade de resoluções de problemas escolares e do dia a dia como, por exemplo, cálculos de velocidade, escala, concentração, densidade, conversão e outras comparações. O raciocínio algébrico, inclusive, muitas vezes, envolve modos diferentes de representação como gráficos, tabelas, diagramas e equações. A criação e a compreensão dessas representações e suas inter- relações é um elemento essencial de competência para além da Álgebra.
A compreensão de proporção e razão é fundamental para os trabalhos com grandezas direta e inversamente proporcionais e, assim sendo, é uma condição imprescindível para o desenvolvimento do pensamento proporcional. O raciocínio com proporções é considerado um dos componentes do raciocínio formal constituído na adolescência.
O raciocínio com proporções é uma forma de raciocínio matemático. Ele envolve senso de covariação, comparações múltiplas e capacidade de armazenar e processar mentalmente várias informações. Além disso, está muito ligado à inferência e à predição envolvendo métodos de pensamento qualitativos e quantitativos. O fato de muitos aspectos do mundo atual funcionar de acordo com regras de proporcionalidade faz com que a faculdade de raciocinar com proporções seja extremamente útil na interpretação dos fenômenos do mundo real. (ABREU; BEUST, 2008, p. 83).
Esse processo requer uma capacidade mental, que Piaget classificou no nível operacional formal do desenvolvimento cognitivo. Segundo Abreu e Beust (2008, p. 85), Piaget se refere a esse processo como “operar com operações, ou seja, a interpretação de cada uma dessas razões é uma operação em si e por si, a comparação é outro nível de operação, e isso requer um raciocínio comparativo em níveis múltiplos”. Para as autoras, o raciocínio proporcional
implica num domínio sólido de vários conceitos sobre números racionais, como, por exemplo, ordem e equivalência, a relação entre a unidade e as suas partes, significado e interpretação das razões e questões envolvendo a divisão, especialmente no que se refere a dividir um número menor por um maior. (ABREU; BEUST, 2008, p. 85).
Seu envolvimento em quase todas as subáreas da Matemática faz com que a proporcionalidade seja uma ideia unificadora da Matemática escolar, pois une e relaciona conteúdos individuais e revela princípios gerais. Os PCN (BRASIL, 1998) sugerem a utilização de situações de aprendizagem envolvendo o cotidiano e outras áreas do conhecimento que
levem o aluno a observar a variação entre grandezas, estabelecendo relação entre elas e construir estratégias de solução não convencionais. Também neste mesmo documento, a proporcionalidade é apontada como uma ideia matemática fundamental, um princípio geral do conhecimento matemático, que deve ser desenvolvido articulado com múltiplos aspectos dos diferentes conteúdos, visando possibilitar ao aluno a compreensão ampla deste saber.
Os PCN também reforçam a forma de tratamento da proporcionalidade em diferentes momentos:
3º Ciclo: “Resolução de situações-problema que envolvam a ideia de proporcionalidade, incluindo o cálculo com porcentagens, pelo uso de estratégias não convencionais” (BRASIL, 1998, p. 72);
4º Ciclo (BRASIL, 1998):
“[...] para a compreensão da proporcionalidade é preciso também explorar situações em que as relações não sejam proporcionais - os contraexemplos” (p.84);
“identificação da natureza da variação de duas grandezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais (afim ou quadrática), expressando a relação existente por meio de uma sentença algébrica e representando-a no plano cartesiano” (p. 87);
“resolução de problemas que envolvam grandezas diretamente proporcionais ou inversamente proporcionais com estratégias variadas, incluindo regra de três” (p. 87);
“divisão de segmentos em partes proporcionais e construção de retas paralelas e retas perpendiculares com régua e compasso (p. 88)”.
Portanto, de acordo com Soares e Nehring (2013), seu ensino não deveria ser tratado num instante particular da Educação Básica (7º ano) apresentados de uma só vez, num só momento. Trata-se de um conceito amplo e profundamente arraigado para ser explorado continuamente, promovendo a integração dos diferentes conteúdos. Assim, deve-se pensar proporcionalidade como tema de estudo ao longo da escolarização.
Durante muito tempo, a maioria das tentativas feitas para definir o raciocínio proporcional considerava, primordialmente, “as respostas individuais a problemas de valor ausente, em que se davam três dos quatro valores de duas razões ou taxas iguais e tinha-se de achar o quarto, nesse caso, o valor ausente” (SOARES; NEHRING, 2013). Esse tipo de problema matemático é o mais comum, o que Ponte et al. (2010) chamam de problema de valor omisso e Spinillo (1993), de tarefa de incógnita. Com riqueza de detalhes maior, Karplus, Pulos e Stage (1983) e Lesh, Post e Behr (1988, p. 95) classificam as atividades escolares com proporções em sete tipos:
1. missing value problems (problemas de valor omisso): numa relação A/B = C/D, dados três valores, deve-se encontrar o quarto.
2. comparations problems (problemas de comparação): deve-se estabelecer se a relação A/B é igual, maior ou menor que C/C.
3. transformation problems (problemas de transformação): onde A/B é maior ou menor que C/B, deve-se alterar um dos quatro termos para que haja equivalência. E.g.: encontrar o valor de x para que (A + x)/B =C/D.
4. mean value problems (problemas de valor médio): quando dois valores são dados e pede-se para encontrar um terceiro. E.g.: A/x = x/B.
5. proportions involving conversions from ratios, to rates, to fractions (proporções envolvendo conversões de razões para taxas, para frações): E.g., descobrir qual é a fração de meninos numa sala de aula onde a proporção de meninos para meninas é de 15 para 12.
6. proportions involving unit labels as well as numbers (proporções envolvendo unidades de medida bem como números): são as transformações de unidades de medida por si só ou acompanhados de valores. E.g.: transformação de milímetro para metro, centímetro quadrado para metro quadrado e metros por segundo em quilômetros por hora; cálculo de 3 pés em 2 segundos para milhas por hora.
7. between-mode translation problems (problemas de conversão entre representações): quando há uma razão, fração, taxa ou quociente é dado um sistema representativo e pede-se a mesma relação em outro sistema. E.g.: passar os números proporcionais contidos em uma tabela para um gráfico.
Lesh, Post e Behr (1988), Silva (2008) e Ponte et al. (2010) apresentam algumas estratégias utilizadas pelos alunos do Ensino Básico para resolver problemas de proporção:
Operação aritmética (multiplicação e divisão): estratégia para resolver um problema em que o aluno estabelece uma relação entre duas grandezas iguais ou diferentes para encontrar um terceiro valor, no caso o valor unitário (x = k.y). É utilizada em problemas como, por exemplo: “Se tenho R$ 30,00 quantos carrinhos de R$ 6,00 posso comprar?”. Neste caso (30/ 6) o raciocínio elaborado para a solução seria pensado assim: “quantas cotas de R$ 6,00 cabem em R$ 30,00? (SILVA, 2008, p. 108).
Adição sucessiva de parcelas: os alunos separam as duas grandezas em conjuntos distintos e por meio de adições sucessivas proporcionais vão calculando os valores dos dois conjuntos paralelamente. É um pensamento por progressão aritmética. Por exemplo: “Com R$12,50 posso comprar duas garrafas de vinho. Quanto pagarei por 6 garrafas?”. Somam-se os
valores de duas em duas garrafas: 2 garrafas = R$12,50; 4 garrafas = R$25,00; e 6 garrafas R$37,50 (SILVA, 2008).
Razão unitária: compõe-se de dois passos (algoritmos). Descobre-se primeiro o valor correspondente à unidade para depois multiplicá-lo pela outra quantidade. Por exemplo, no problema “se 5 jacas pesam 14 quilos, qual o peso de 6 jacas?”, o primeiro passo é descobrir o peso de uma única jaca, dividindo 14 por 5, e o segundo é multiplicar o produto por 6. Essa é “a estratégia mais intuitiva atendendo ao fato de os alunos a usarem desde os primeiros anos de escolaridade” (PONTE et al., 2010, p. 5).
Fator de mudança ou fator escalar (HART, 1983 apud PONTE et al., 2010) ou fator proporção ou constante de proporcionalidade (SILVA, 2008, p. 109): “o aluno estabelece uma relação proporcional dentro de uma das grandezas para em seguida aplicá-lo a outra grandeza”. No problema anterior, o fator de mudança é “14 quilos/5 jacas”. Se 5 jacas vezes 14/5 são 14 quilos, 6 jacas pesam então 6 vezes 14/5 também.
Interpretação gráfica: usam-se gráficos para identificar razões equivalentes ou para identificar um valor desconhecido num problema de valor omisso (LESH; POST; BEHR, 1988).
Algoritmo do produto cruzado (cross multiplication)6 ou Regra de Três: para resolver proporções do tipo A/B = x/D, usa-se o método de multiplicação A × D = x × B, onde x = A × D/ B. Lesh, Post e Behr (1988) e Ponte et al. (2010, p. 5) alertam que, apesar de ser um método mais operativo, pode não contemplar o pensamento proporcional, mostrando-se “um processo mecânico desprovido de significado no contexto dos problemas”. A Regra de Três é um método prático, mas
[...] os métodos mais eficientes são, com frequência, aqueles menos significativos, que devem, portanto, ser evitados nas fases de ensino iniciais. Infelizmente, muitas vezes confundimos eficiência com significação e, por descuido, embora com a melhor das intenções, introduzimos um conceito da maneira mais eficiente, porém menos significativa. (POST; BEHR; LESH, 1995 apud SOARES; NEHRING, 2013, pp. 4-5).
Soares e Nehring (2013) alertam que esse tipo de procedimento só deve ser ensinado depois que o conceito de proporção e o pensamento proporcional já estiverem bem
6 Na Idade Média, os árabes desenvolveram bem mais a Matemática do que o Ocidente, inclusive utilizando a noção da Regra de Três, já conhecida pelos chineses desde 200 a.C. No século XIII, o italiano Leonardo Fibonacci, ou Leonardo de Pisa, tendo contato com a Matemática árabe em suas viagens pelo mar Mediterrâneo difundiu os princípios dessa regra em seu Liber Abbaci, com o nome de Regra dos Três Números Conhecidos (GARBI, 2009).
sedimentados nos alunos, para que não haja uma resolução mecânica do problema sem real compreensão do que está acontecendo.
A Regra de Três é uma dentre tantas estratégias de elucidação de problemas de proporção e cabe ao professor, considerando a sala de aula é um espaço de pessoas de capacidade de raciocínio diferentes, saber o momento e qual aluno precisa de um atendimento diferenciado.
A autonomia matemática para a resolução de problemas de proporcionalidade que requer um bom desenvolvimento de habilidades do pensamento proporcional pode vir a acontecer para alguns alunos com maior rapidez, para outros de uma forma mais lenta. Disso decorre a necessidade de em alguns momentos ensinar certos passos para a resolução de problemas e em outros delegar ao aluno a liberdade de selecionar conceitos e adotar suas estratégias próprias de resolução. (SILVA, 2008, p. 42).
Para raciocínios proporcionais é necessário haver flexibilidade mental para tratar os problemas por várias perspectivas, e, simultaneamente, ter noções consideravelmente sólidas para não se deixar afetar por grandes e/ou complicados números ou pela circunstância em que o problema se insere.