demonstrado que as ressonˆancias de Fano convencionais (FRs) est˜ao na origem do aumento de intensidade do campo pr´oximo fora da ressonˆancia de espalhamento – os chamados “estados escuros”. Devido ao efeito Fano, oriundo da hibridiza¸c˜ao de pl´asmons ou por efeitos polaritˆonicos do diel´etrico na camada, o m´aximo aumento de intensidade do campo dentro do centro espalhador n˜ao necessariamente corresponde a uma ressonˆancia na eficiˆencia de extin¸c˜ao, ao contr´ario do que afirma a teoria cl´assica de Lorenz para esferas homogˆeneas-Mie [67].
No gr´afico da Fig. 4.8(a), investigamos em que situa¸c˜ao as ressonˆancias de Fano n˜ao convencionais (UFRs) podem induzir um efeito similar – dessa vez, n˜ao apenas em Qback (dire¸c˜ao espec´ıfica de espalhamento), mas tamb´em em Qsca. Como
Qext = Qsca+ Qabs, apenas as eficiˆencias Qsca e Qabs s˜ao calculadas para uma esfera
met´alica n˜ao absortiva (ε1 < 0; µ1 = µ0) revestida por uma camada diel´etrica
(ε2/ε0 = 3, 4 + 0, 004ı; µ2 = µ0) em fun¸c˜ao de ε1. O perfil assim´etrico de Qsca
4.3 - Ressonˆancia de Fano n˜ao convencional 81 -12 -10 -8 -6 -4 0 2 4 6 -6,0 -5,5 -5,0 -4,5 0,2 0,3 Q back 1 / 0 Fano dip (a) quadrupolo dipolo Q sca Q abs Q s c a , Q a b s 1 / 0 0 1 2 3 4 5 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 (b) ( c a m a d a ) ( e s f e r a ) 1 / 0 = -7,91 (dipolo) 1 / 0 = -7,85 (off-res) 1 / 0 = -7,32 (Fano dip) 1 / 0 = -5,27 (quadrupolo) < | E / E 0 | 2 > r/a
Figura 4.8– Ressonˆancias de Fano e aumento de campo fora da ressonˆancia (“estado escuro”) para uma esfera met´alica n˜ao absortiva (ε1/ε0 < 0; µ1 = µ0)
revestida por uma camada diel´etrica (ε2/ε0 = 3, 4 + 0, 004ı; µ2 = µ0)
com parˆametros de tamanho ka = 0, 2 e kb = 1. (a) Qsca e
Qabs em fun¸c˜ao de ε1. A linha vertical pontilhada indica a posi¸c˜ao
da ressonˆancia de Fano n˜ao convencional (UFR). O inset mostra a eficiˆencia de retroespalhamento Qback em fun¸c˜ao de ε1 nas vizinhan¸cas
da ressonˆancia de quadrupolo – ressonˆancia de Fano convencional (FR). (b) M´edia angular da intensidade do campo el´etrico em fun¸c˜ao da distˆancia radial ao centro da esfera revestida para ε1/ε0 = −7, 91
(ressonˆancia de dipolo), ε1/ε0 = −7, 85 (UFR), ε1/ε0 =−7, 32 (Fano
82 4 - Ressonˆancias de Fano em esferas revestidas
uma vez que resulta da interferˆencia entre duas ressonˆancias de dipolo (exibida em ressonˆancia em |a1|2). A frequˆencia em que a URF ocorre corresponde a
ε1/ε0 =−7, 85, que ´e um valor escolhido entre o m´aximo e o m´ınimo de espalhamento
(interferˆencias construtiva e destrutiva): ε1/ε0 = −7, 91 (ressonˆancia de dipolo) e
ε1/ε0 = −7, 32 (antirressonˆancia ou m´ınimo de espalhamento), respectivamente.
Por simplicidade, nos referimos ao m´ınimo de espalhamento na curva de Fano como “Fano dip”. O valor ε1/ε0 =−7, 85 corresponde ao pico de absor¸c˜ao em Qabs, o qual,
pela Eq. (4.41), est´a relacionado ao m´aximo aumento de campo dentro do centro espalhador. Esse resultado demonstra que as ressonˆancias de Fano n˜ao convencionais podem tamb´em levar a um aumento de campo fora da ressonˆancia (estados escuros). Essa conclus˜ao ´e corroborada pela an´alise do gr´afico na Fig. 4.8(b), que mostra a m´edia angular do campo el´etrico no interior do centro espalhador em fun¸c˜ao da distˆancia ao centro da esfera revestida para diferentes valores de ε1. Como se nota,
o m´aximo aumento de intensidade do campo interno n˜ao corresponde ao m´aximo de espalhamento, ocorrendo para ε1/ε0 = −7, 85, que ´e precisamente a posi¸c˜ao da
URF e o pico em Qabs.
O gr´afico na Fig. 4.8(a) tamb´em revela a existˆencia de uma UFR em ε1/ε0 = −5, 27. Ela aparece na eficiˆencia de retroespalhamento Qback [veja o
inset da Fig. 4.8(a)] e resulta da interferˆencia entre um dipolo n˜ao ressonante e uma ressonˆancia estreita de quadrupolo, como discutido na Ref. [67]. Usando a Eq. (4.41) e o fato da ressonˆancia em Qback n˜ao aparecer como um pico em
Qsca (ela foi eliminada pela m´edia angular), podemos concluir que essa UFR est´a
relacionada a um poss´ıvel estado escuro, o qual ´e verificado na Fig. 4.8(b). Para esses parˆametros, podemos ver do gr´afico na Fig. 4.8(b) que o aumento de campo fora da ressonˆancia associado `a FR ´e aproximadamente uma ordem de magnitude menor do que aquele encontrado para UFR. Tirante a dependˆencia ´obvia com rela¸c˜ao aos parˆametros que escolhemos para a an´alise, podemos explicar parcialmente esse resultado atrav´es da observa¸c˜ao de que o efeito Fano n˜ao convencional (UFR) envolve duas ressonˆancias de dipolo (a1a∗1) enquanto o efeito Fano convencional
(FR) envolve ressonˆancias de dipolo e quadrupolo (a1a∗2), que s˜ao de ordem mais
alta (n = 2). No entanto, ´e preciso notar que a energia armazenada na ressonˆancia de quadrupolo depende crucialmente da absor¸c˜ao no caro¸co (ε1; µ1 = µ0) e na
4.3 - Ressonˆancia de Fano n˜ao convencional 83
camada (ε2/ε0 = 3, 4 + 0, 004ı; µ2 = µ0). Se ε′′2/ε0 < 0, 004 no exemplo de caro¸co
sem perdas (ε′′1 = 0), pode obter-se, na ressonˆancia de quadrupolo, uma energia
eletromagn´etica armazenada na part´ıcula maior do que na ressonˆancia de dipolo. Todavia, nesse caso pouco realista de um diel´etrico completamente transparente, a ressonˆancia de quadrupolo apareceria como um pico em Qsca(“delta de Dirac”). Isso
indica que, para uma camada diel´etrica sem perdas, uma absor¸c˜ao finita no caro¸co dispersivo ´e necess´aria para minimizar o espalhamento na ressonˆancia de quadrupolo no limite de pequena part´ıcula, condi¸c˜ao essa que sempre ´e satisfeita para meios dispersivos causais [93]. Ainda, para um caro¸co met´alico e uma camada diel´etrica, um aumento de intensidade do campo fora da ressonˆancia de espalhamento nas vizinhan¸cas do quadrupolo surge apenas para S ≪ 1 [67], que ´e a mesma condi¸c˜ao que obtivemos para as UFRs em esferas concˆentricas, Eq. (4.43). Esse resultado sugere a possibilidade de combinarmos estes dois efeitos de interferˆencia (FR e UFR em esferas concˆentricas) no sentido de maximizar o aumento de campo fora da ressonˆancia de espalhamento.
Embora as FRs em Qback existam mesmo para esferas homogˆeneas [55],
ressonˆancias de quadrupolo “escondidas” em Qsca (elas aparecem apenas em Qabs
e levam a um aumento de campo fora da ressonˆancia) s˜ao usualmente obtidas em part´ıculas heterogˆeneas, como mostramos aqui para esferas revestidas. De fato, na solu¸c˜ao de Aden-Kerk do Cap´ıtulo3, para um parˆametro de tamanho kb em regi˜oes fora da ressonˆancia, temos que ka ≪ 1 leva a |An| ≪ 1 e |Bn| ≪ 1, onde An e
Bn est˜ao definidos nas Eqs. (4.15) e (4.16). Obter condi¸c˜oes de ressonˆancia para as
fun¸c˜oes An e Bn´e importante `a discuss˜ao, uma vez que, em ´ultima an´alise, quando
essas fun¸c˜oes s˜ao identicamente nulas, recuperamos a solu¸c˜ao da esfera homogˆenea (Lorenz-Mie). S˜ao elas, portanto, que est˜ao na origem dos estados escuros, os quais n˜ao observados na solu¸c˜ao cl´assica de Lorenz-Mie para a esfera homogˆenea.
No limite de Rayleigh, obtemos as seguintes aproxima¸c˜oes:
A1 ≈ −2(m2x)3 ε1− ε2 ε1+ 2ε2 1 3+ (m2x)2 5 ε1− 2ε2 ε1+ 2ε2 +O(x7) , (4.46) A2 ≈ − (m2x)5 15 ε1− ε2 2ε1 + 3ε2 +O(x7) . (4.47)
Assim, ressonˆancias em A1 e A2 s˜ao obtidas quando as partes reais de seus
84 4 - Ressonˆancias de Fano em esferas revestidas
n˜ao existe absor¸c˜ao (ε′′1 = ε′′2 = 0), para um x = ka finito, ambos A1 e A2 divergem
na ressonˆancia e n˜ao h´a ressonˆancia de quadrupolo “escondida” em Qsca. Em vez
disso, uma ressonˆancia estreita ´e observada em |a2|2. Considere agora um meio
fracamente absortivo tal que o primeiro termo na Eq. (4.46) n˜ao depende de ka na ressonˆancia de dipolo: x3 ≈ (ε′′1 + 2ε′′2)/ε0. Isso leva a x5 ≪ (2ε′′1 + 3ε′′2)/ε0,
de forma que a Eq. (4.47) ´e parcialmente suprimida na ressonˆancia de quadruplo, enquanto o segundo termo dentro dos colchetes na Eq. (4.46) fornece A1 ∼ 1/x em
regi˜oes fora da ressonˆancia e est´a associado ao dipolo n˜ao ressonante a1. Portanto,
nesta aproxima¸c˜ao, a ressonˆancia de dipolo ´e grande comparada a de quadruplo em Qsca e pode obter-se interferˆencia entre a1 e a2 em Qback. Esse resultado, embora
aproximado e indireto (olhamos para A1 e A2 em vez de a1 e a2), fornece uma
condi¸c˜ao simples para a obten¸c˜ao de“estados escuros”no limite de pequena part´ıcula. De fato, no gr´afico das Figs.4.8, supomos x3 = (ε′′1+ 2ε′′2)/ε0 = 8× 10−3, e condi¸c˜oes
similares podem ser obtidas para outros caro¸cos dispersivos.