Nessa seção linearizaremos os caminhos que criamos na seção anterior e os tornaremos transversais a um ponto. Também serão provados alguns resultados técnicos que usaremos na demonstração do teorema 4.1 .
Lema 4.8 Consideremos uma auto-aplicação f : M → M tal que F IX(fn) é finito, duas órbitas disjuntas {x0, x1, . . . , xk−1} e {y0, y1, . . . , yk−1}, um arco w de x0 a y0 tal que os arcos w, f ◦ w, . . . , fk−1 ◦ w sejam mutuamente disjuntos. Fixado um número ε > 0, existem vizinhanças Zi ⊂ Vi, i = 0, 1, . . . , k − 1, e uma (ε)-homotopia ft tais que:
1. f0 = f .
3. Próximo de zi = (0, 0) ∈ Zi = Rm−1 × R, i = 0, 1, . . . , k − 1, f1 é dado por Zi ∋ (x, t) 7→ (x, t) ∈ Vi+1, i = 0, 1, . . . , k − 2.
PROVA: Seja
h : Vi → Vi+1
(x, t) 7→ (x, t).
Então h(zi) = zi+1 = f (zi). Consideremos uma vizinhança Zi de zi tal que d(f, h) < ε em Zi, a homotopia linear ft′ : Zi → Vi = Rm entre f e h e uma função de Urysohn µ : M → [0, 1] que vale 1 em uma vizinhança de zi contida em Zi e vale 0 em M\Zi.
Dessa forma basta definir ft(z) = fµ(z)t′ (z). De fato, 1. f0(z) = fµ(z)0′ (z) = f0′(z) = f (z). 2. Para z /∈ Zi ft(z) = fµ(z)t′ (z) = f0′(z) = f (z). 3. Para z próximo de zi f1(z) = fµ(z)1′ (z) = f1′(z) = h(z). Lema 4.9 Sejam um espaço métrico compacto (M, d), f : M → M uma auto-aplicação, um número natural r fixado, um ponto a ∈ M e V um subconjunto aberto de M que satisfaz f−r({a}) ⊂ V . Então existe ε > 0 tal que se d(f, g) < ε então g−r({a}) ⊂ V .
PROVA: Se f−r({a}) ⊂ V então para todo ponto z ∈ M \V temos que fr(z) 6= a e assim a /∈ fr(M \V ). Como V é aberto e M é compacto temos que M \V é fechado e portanto compacto assim d(a, fr(M \V )) = η > 0 pois a /∈ fr(M \V ).
Segue do lema 2.17 que para ε > 0 existe δ > 0 tal que se d(f, g) < δ então d(fr, gr) < ε.
Solicitamos que ε < η, pois dessa forma para z ∈ M\V d(a, gr(z)) ≥ d(a, fr(z)) | {z } =η − d(fr(z), gr(z)) | {z } ε > 0. Portanto g−r({a}) ⊂ V .
Neste ponto analisaremos um pouco mais a fundo o que se pode construir com as hipóteses do lema 4.8. Nos é consentido considerar uma vizinhança Z′
0 ⊂ Z0 suficiente- mente pequena tal que f é um homeomorfismo em cada Z′
i = fi(Z0′), para i = 0, . . . , k −2. Note que
f−1({zk−1}) ∩ W = f−1({zk−1}) ∩ Zk−1 = {zk−2}
onde W = Z0∪ . . . ∪ Zk−1∪ fk−1◦ w[0, 1] ∪ F IX(fk), pois zk−1 = f (zk−2) e zk−1 ∈ Zk−1. Assim existe uma homotopia arbitrariamente pequena e constante em uma vizinhança de W que torna f transversal a zk−1. Com isso f−1({zk−1}) é um conjunto finito e qualquer ponto z ∈ f−1({z
k−1}) admite uma vizinhança que é levada homeomorficamente sobre uma vizinhança de zk−1.
É possível criar uma homotopia arbitrariamente pequena e constante em W para que f seja transversal a zk−1, f−1({zk−1}),. . . , f−i({zk−1}) para algum i ≤ k − 2. Assim f−i({z
k−1}) ∩ W = {zk−1−i}.
Ainda podemos criar uma homotopia suficientemente pequena para que f seja trans- versal a f−i({z
k−1}). De fato, suponha por absurdo que exista um ponto z na interseção f−j({z
k−1}) ∩ f−i−1({zk−1}) então: zk−1 = fi+1({z
k−1}) = fi+1−j({zk−1}) mas isso contradiz o fato de zk−1 6= fr({zk−1}) para r = 1, . . . , k.
Portanto existe uma homotopia, arbitrariamente pequena, constante próxima de W que torna f,. . . , fk−1 transversais a z
k−1 = fk−1◦ w(0). Segue que a união f−1({zk−1}) ∪ · · · ∪ f−k+1({zk−1})
é finita e cada ponto z ∈ f−i({z
k−1}) admite vizinhança Uz levada homeomorficamente por fi em um vizinhança de z k−1. Assim V = k−1 \ i=0 [ \ z∈f−i({z k−1}) fi(Uz)]
é uma vizinhança de zk−1. Por outro lado zk−1 não está no compacto A = k−1 [ i=0 fi(M \ [ z∈f−i({z k−1}) Uz).
Portanto existe uma vizinhança U0 ⊂ V de zk−1 conexa e disjunta de A. Consideremos z′ ∈ f−i(U
0), então fi(z′) ∈ U0 e fi(z′) /∈ A. z′ ∈ A consequentemente/ z′ ∈ Uz′′ para algum z′′ ∈ f−i({zk
−1}). Segue que a componente de z′ está contida em Uz′′ (U0 ⊂ fi(Uz′′)). Por conseguinte esta componente é levada homeomorficamente por
fi para U 0.
Como Uz′′ é finito, temos que o número máximo de componentes conexas de f−i(U0)
é finito para i = 1, . . . k. Logo zk−1 admite uma vizinhança U0 tal que a união U0∪ f−1(U0) ∪ · · · ∪ f−k+1(U0)
se fatora em uniões finitas de componente conexas, cada uma levada homeomorficamente em U0.
Já construímos f, f2, . . . , fk−1 transversais a z
k−1 portanto a f−r({zk−1}) é finita, para r = 1, . . . , k − 1. Fixemos r ∈ {0, . . . , k − 1}, segue do lema 4.9 que existe εr > 0 tal que se d(f, g) < εr então g−r({zk−1}) ⊂ f−r(U0).
Seja ε = min{ε1, . . . , εk−1}, temos que se d(f, g) < ε então :
g−1({zk−1}) ∪ · · · ∪ g−k+1({zk−1}) ⊂ f−1(U0) ∪ · · · ∪ f−k+1(U0) que é um número finito de abertos mutuamente disjuntos.
Ganharemos mais alguns resultados se munirmos nossos comentários com o que foi feito na seção anterior.
Corolário 4.10 Sejam f : M → M uma auto-aplicação com F IX(fk) finito, duas ór- bitas disjuntas {x0, . . . , xk−1} e {y0, . . . , yk−1} de comprimento k e w : [−1, 1] → M um caminho de x0 a y0. Suponhamos que próximo do conjunto {xi, yj; i, j = 0, . . . , k − 1} f é um PL-homomorfismo e que w, f ◦ w, . . . , fk−1 ◦ w são PL-arcos. Então existe uma homotopia arbitrariamente pequena ft tal que:
1. f0 = f .
2. Existem vizinhanças V0,. . . , Vk−1 mutuamente disjuntas tais que: • fi
1◦ w(t) = (0, t) ∈ Vi =Rm−1×R, para i = 0, . . . , k − 1.
• f1(Vi+) ⊂ Vi+1+ , f1(Vi−) ⊂ Vi+1− , f1(Vi0) = 0 ∈ Vi+1=Rm, para i = 0, . . . , k − 2. • f1|Vi\Vi0 é um homeomorfismo para i = 0, . . . , k − 2.
3. Os conjuntos fi ◦ w[ε − 1, 1 − ε], para i = 0, . . . , S
0, são mutuamente disjuntos. (Estamos usando S0 e ε do lema 4.7.)
4. f−1({zk−1}) ∪ · · · ∪ f1−k({zk−1}) está contido em uma quantidade finita de abertos mutuamente disjuntos.
5. F IX(fk) não se altera.
PROVA: Como as hipóteses do lema 4.7 estão satisfeitas temos que os itens 1 e 2 são válidos. Os itens 3, 4 e 5 estão assegurados pelos comentários anteriores.
O resultado a seguir é o primeiro em que usaremos a dimensão da PL-variedade maior que 3.
Lema 4.11 Consideremos uma PL-variedade m-dimensional M, onde m ≥ 4, uma auto- aplicação f : M → M tal que f é um homeomorfismo próximo de cada ponto x ∈ F IX(f ) e F IX(f ) finito, um PL-arco w0[0, 1] ⊂ M e um aberto V0 tal que:
1. w0[0, 1] ⊂ V0 ⊂ M .
2. Os conjuntos V0, f (V0),. . . , fS0(V0) e F IX(fk) são mutuamente disjuntos, onde S0 =Pki=1i.
3. f |fi(V 0) : f
i(V
0) → fi+1(V0), i = 0, . . . , k − 2, são homeomorfismos. Então existe uma homotopia ft: M → M (0 ≤ t ≤ k − 1) tal que:
1. f0 = f .
2. ft é constante em f (V0),. . . , fk−1(V0) e próximo a F IX(fk). 3. F IX(fk
t) = F IX(fk).
4. fk−1, (fk−1)2,. . . , (fk−1)k−1 são transversais ao arco wk−1 = fk−1◦ w0. PROVA: Seja r um número natural e defina:
Ur = {V0, f (V0), . . . , fr(V0)}.
Dessa forma podemos reescrever a segunda hipótese da seguinte forma: Os conjuntos da família US0 ∪ {F IX(f
k)} são mutuamente disjuntos.
Construiremos por indução em i = 0, . . . , k−1, uma sequência de homotopias {ft}0≤t≤1 com as seguintes propriedades:
1. f0 = f .
2. ft é constante nos conjuntos da família USi e em uma vizinhança de F IX(f
k) para 0 ≤ t ≤ i e Si = (i + 1) + (i + 2) + · · · + (i + k).
3. F IX(fk
t) = F IX(fk) para 0 ≤ t ≤ i.
4. fi, (fi)2, . . . , (fi)i são transversais ao arco wk−1 = fk−1◦ w0. Dessa forma {ft}0≤t≤k−1 será a homotopia que estamos procurando.
Para i = 0 temos que f0 = f e assim as propriedades são trivialmente satisfeitas. Suponha que as propriedades são satisfeitas para 0 ≤ i ≤ k − 2. Por hipótese:
1. Os conjuntos da família USi ∪ {F IX((fi)
2. fi|fj i(V0)
: fij(V0) → fij+1(V0), j = 0, . . . , k − 2, são homeomorfismos.
Montaremos a próxima parte da homotopia {ft}0≤t≤i+1. Pelo corolário 4.10 temos que os conjuntos
wk−1, fi−1(wk−1), . . . , fi−k+1(wk−1), F IX(fik)
são mutuamente disjuntos. Consequentemente existe uma vizinhança U tal que wk−1 ⊂ U ⊂ fik−1(V0). Dai, segue do lema 2.18 que os conjuntos
U , (fi)−1(U ), . . . , (fi)−k+1(U ), F IX((fi)−1) são mutuamente disjuntos.
Observamos que: (fi)−i−1(wk−1 | {z } ⊂U ) | {z } ⊂(fi)−i−1(U ) = (fi)−1((fi)−i(wk−1)).
Então existe uma homotopia {ft}i≤t≤i+1 arbitrariamente pequena tal que: 1. Existe um aberto W tal que:
(fi)−i−1◦ wk−1 ⊂ int(W ) ⊂ W ⊂ (fi)−i−1(U ). 2. fi+1 é transversal a (fi)−i(wk−1).
3. ft(W ) ⊂ (fi)−i(U ) tal que t ∈ [i, i + 1].
Agora construiremos a parte adjacente da homotopia {ft}1+1≤t≤i+2.
1. Segue da propriedade 1 da parte anterior dessa homotopia que os conjuntos da família USi ∪ {F IX((fi)
k)} são mutuamente disjuntos e U ⊂ fk−1
i (V0). Portanto fi−i−1(wk−1) é disjunto de todos os elementos de USi+1 com exceção de f
k−i−2
i (V0).
Como fi : Vk−i−2 → Vk−1 é homeomorfismo temos que : fi−i−1(wk−1) ∩ fik−i−2(V0) = wk−i−2.
Assim fi é transversal a wk−1 nos conjuntos da família USi+1 e por conseguinte
podemos assumir que W é disjunto destes conjuntos. Por fim, se existisse x ∈ W ∩ F IX(fk
i ) então fii+1(x) ∈ fii+1(W ) ⊂ U , contudo U é disjunto de F IX(fk
i) o que é um absurdo. Logo W é disjunto de USi+1∪ F IX(f
k
i ).
2. Vamos provar que F IX(fk
i+1) = F IX(fik). Porque W ∩ F IX(fik) = ∅ temos que F IX(fk
i ) ⊂ F IX(fi+1k ).
Seja A uma órbita de F IX(fk
i+1). Se x ∈ A ∩ W então: y = fii+1(x) ∈ U ∩ F IX(fk
i) ⇒ y ∈ U ∩ fik(U ) ⊂ fik−1(V0) ∩ fi2k−1(V0). Mas isso é um absurdo pois 2k − 1 ≤ Si.
3. U, f−1
i (U ), . . . , fi−k+1(U ) são disjuntos e na construção da homotopia {ft} tal que i ≤ t ≤ i + 1 nós mudamos fi apenas dentro de fi−i−1(U ) mantendo ft(fi−i−1(U )) em f−i
i (U ).
Consequentemente f−j
i+1(U ) = fi−j(U ) para j ≤ i. Portanto fi+1, fi+12 ,. . . , fi+1i permanecem transversais a zk−1 ∈ U dai fi+2 é transversal a fi−i(wk−1).